求曲线ρ=2acosθ所围成图形的面积 用定积分 求由r=acosθ所围成的图形的面积，用定积分方法求
\u6c42\u66f2\u7ebf\u6240\u56f4\u6210\u56fe\u5f62\u7684\u9762\u79ef \u03c1=2acos\u03b8\uff0c\u7528\u5b9a\u79ef\u5206\u7b97\u89e3\u9898\u8fc7\u7a0b\u5982\u4e0b\uff1a
cos\u03b8=\u03c1/2a>=0
\u6240\u4ee5\u03b8\u8303\u56f4\u662f\uff08-\u03c0/2,\u03c0/2)
S=\u222b1/2*\u03c1^2d\u03b8
=\u222b2a^2cos\u03b8d\u03b8
=a^2\u222b(1+cos2\u03b8)d\u03b8
=a^2+1/2a^2sin2\u03b8
\u79ef\u5206\u8303\u56f4\u662f\uff08-\u03c0/2,\u03c0/2\uff09
\u6545S=a^2(\u03c0/2+\u03c0/2)
=\u03c0a^2
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\u5b9a\u79ef\u5206\u4e0e\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\uff1a\u82e5\u5b9a\u79ef\u5206\u5b58\u5728\uff0c\u5219\u5b83\u662f\u4e00\u4e2a\u5177\u4f53\u7684\u6570\u503c\uff08\u66f2\u8fb9\u68af\u5f62\u7684\u9762\u79ef\uff09\uff0c\u800c\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u662f\u4e00\u4e2a\u51fd\u6570\u8868\u8fbe\u5f0f\uff0c\u5b83\u4eec\u4ec5\u4ec5\u5728\u6570\u5b66\u4e0a\u6709\u4e00\u4e2a\u8ba1\u7b97\u5173\u7cfb\uff08\u725b\u987f-\u83b1\u5e03\u5c3c\u8328\u516c\u5f0f\uff09\uff0c\u5176\u5b83\u4e00\u70b9\u5173\u7cfb\u90fd\u6ca1\u6709\uff01
\u4e00\u4e2a\u51fd\u6570\uff0c\u53ef\u4ee5\u5b58\u5728\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\uff0c\u800c\u4e0d\u5b58\u5728\u5b9a\u79ef\u5206\uff1b\u4e5f\u53ef\u4ee5\u5b58\u5728\u5b9a\u79ef\u5206\uff0c\u800c\u4e0d\u5b58\u5728\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u3002\u4e00\u4e2a\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\uff0c\u4e00\u5b9a\u5b58\u5728\u5b9a\u79ef\u5206\u548c\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\uff1b\u82e5\u53ea\u6709\u6709\u9650\u4e2a\u95f4\u65ad\u70b9\uff0c\u5219\u5b9a\u79ef\u5206\u5b58\u5728\uff1b\u82e5\u6709\u8df3\u8dc3\u95f4\u65ad\u70b9\uff0c\u5219\u539f\u51fd\u6570\u4e00\u5b9a\u4e0d\u5b58\u5728\uff0c\u5373\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u4e00\u5b9a\u4e0d\u5b58\u5728\u3002
\u5373\u5df2\u77e5\u5bfc\u6570\u6c42\u539f\u51fd\u6570\u3002\u82e5F\u2032(x)=f(x)\uff0c\u90a3\u4e48[F(x)+C]\u2032=f(x).(C\u2208R C\u4e3a\u5e38\u6570).\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\uff0c\u628af(x)\u79ef\u5206\uff0c\u4e0d\u4e00\u5b9a\u80fd\u5f97\u5230F(x)\uff0c\u56e0\u4e3aF(x)+C\u7684\u5bfc\u6570\u4e5f\u662ff(x)\uff08C\u662f\u4efb\u610f\u5e38\u6570\uff09\u3002\u6240\u4ee5f(x)\u79ef\u5206\u7684\u7ed3\u679c\u6709\u65e0\u6570\u4e2a\uff0c\u662f\u4e0d\u786e\u5b9a\u7684\u3002\u6211\u4eec\u4e00\u5f8b\u7528F(x)+C\u4ee3\u66ff\uff0c\u8fd9\u5c31\u79f0\u4e3a\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u3002\u5373\u5982\u679c\u4e00\u4e2a\u5bfc\u6570\u6709\u539f\u51fd\u6570\uff0c\u90a3\u4e48\u5b83\u5c31\u6709\u65e0\u9650\u591a\u4e2a\u539f\u51fd\u6570\u3002
\u6c42\u66f2\u7ebf\u03c1=2acos\u03b8\u6240\u56f4\u6210\u56fe\u5f62\u7684\u9762\u79ef
cos\u03b8=\u03c1/2a>=0
\u6240\u4ee5\u03b8\u8303\u56f4\u662f\uff08-\u03c0/2,\u03c0/2)
S=\u222b1/2*\u03c1^2d\u03b8=\u222b2a^2cos\u03b8d\u03b8=a^2\u222b(1+cos2\u03b8)d\u03b8=a^2+1/2a^2sin2\u03b8
\u79ef\u5206\u8303\u56f4\u662f\uff08-\u03c0/2,\u03c0/2\uff09
\u6545S=a^2(\u03c0/2+\u03c0/2)=\u03c0a^2
\u53ef\u5316\u4e3a\u76f4\u89d2\u5ea7\u6807\u5f62\u5f0f\uff1ax^2+y^2=2ax
\u5373:(x-a)^2+y^2=a^2
\u5b83\u662f\u5706\u5fc3\u5728(a,0)\u70b9\uff0c\u534a\u5f84\u4e3aa\u7684\u5706\uff0c\u6240\u4ee5\u9762\u79ef\u7b49\u4e8e\u03c0a^2
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u79ef\u5206\u51fd\u6570\u7684\u53d6\u503c\u6cbf\u7684\u4e0d\u662f\u533a\u95f4\uff0c\u800c\u662f\u7279\u5b9a\u7684\u66f2\u7ebf\uff0c\u79f0\u4e3a\u79ef\u5206\u8def\u5f84\u3002\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\u6709\u5f88\u591a\u79cd\u7c7b\uff0c\u5f53\u79ef\u5206\u8def\u5f84\u4e3a\u95ed\u5408\u66f2\u7ebf\u65f6\uff0c\u79f0\u4e3a\u73af\u8def\u79ef\u5206\u6216\u56f4\u9053\u79ef\u5206\u3002\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\u53ef\u5206\u4e3a\uff1a\u7b2c\u4e00\u7c7b\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\u548c\u7b2c\u4e8c\u7c7b\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\u3002
\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\u5206\u4e3a\uff1a
\uff081\uff09\u5bf9\u5f27\u957f\u7684\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206 \uff08\u7b2c\u4e00\u7c7b\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\uff09
\uff082\uff09\u5bf9\u5750\u6807\u8f74\u7684\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\uff08\u7b2c\u4e8c\u7c7b\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\uff09
\u4e24\u79cd\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\u7684\u533a\u522b\u4e3b\u8981\u5728\u4e8e\u79ef\u5206\u5143\u7d20\u7684\u5dee\u522b\uff1b\u5bf9\u5f27\u957f\u7684\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\u7684\u79ef\u5206\u5143\u7d20\u662f\u5f27\u957f\u5143\u7d20ds\uff1b\u4f8b\u5982\uff1a\u5bf9L\u7684\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\u222bf(x,y)*ds \u3002
\u5bf9\u5750\u6807\u8f74\u7684\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\u7684\u79ef\u5206\u5143\u7d20\u662f\u5750\u6807\u5143\u7d20dx\u6216dy\uff0c\u4f8b\u5982\uff1a\u5bf9L\u2019\u7684\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\u222bP\uff08x,y\uff09dx+Q(x,y)dy\u3002\u4f46\u662f\u5bf9\u5f27\u957f\u7684\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\u7531\u4e8e\u6709\u7269\u7406\u610f\u4e49\uff0c\u901a\u5e38\u8bf4\u6765\u90fd\u662f\u6b63\u7684\uff0c\u800c\u5bf9\u5750\u6807\u8f74\u7684\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\u53ef\u4ee5\u6839\u636e\u8def\u5f84\u7684\u4e0d\u540c\u800c\u53d6\u5f97\u4e0d\u540c\u7684\u7b26\u53f7\u3002
\u5728\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\u4e2d\uff0c\u88ab\u79ef\u7684\u51fd\u6570\u53ef\u4ee5\u662f\u6807\u91cf\u51fd\u6570\u6216\u5411\u91cf\u51fd\u6570\u3002\u79ef\u5206\u7684\u503c\u662f\u8def\u5f84\u5404\u70b9\u4e0a\u7684\u51fd\u6570\u503c\u4e58\u4e0a\u76f8\u5e94\u7684\u6743\u91cd\uff08\u5f27\u957f\uff0c\u5728\u79ef\u5206\u51fd\u6570\u662f\u5411\u91cf\u51fd\u6570\u65f6\uff0c\u662f\u51fd\u6570\u503c\u4e0e\u66f2\u7ebf\u5fae\u5143\u5411\u91cf\u7684\u6807\u91cf\u79ef\uff09\u540e\u7684\u9ece\u66fc\u548c\u3002\u5e26\u6709\u6743\u91cd\u662f\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\u4e0e\u4e00\u822c\u533a\u95f4\u4e0a\u7684\u79ef\u5206\u7684\u4e3b\u8981\u4e0d\u540c\u70b9\u3002
\u51fd\u6570\u7684\u79ef\u5206\u8868\u793a\u4e86\u51fd\u6570\u5728\u67d0\u4e2a\u533a\u57df\u4e0a\u7684\u6574\u4f53\u6027\u8d28\uff0c\u6539\u53d8\u51fd\u6570\u67d0\u70b9\u7684\u53d6\u503c\u4e0d\u4f1a\u6539\u53d8\u5b83\u7684\u79ef\u5206\u503c\u3002\u5bf9\u4e8e\u9ece\u66fc\u53ef\u79ef\u7684\u51fd\u6570\uff0c\u6539\u53d8\u6709\u9650\u4e2a\u70b9\u7684\u53d6\u503c\uff0c\u5176\u79ef\u5206\u4e0d\u53d8\u3002\u5bf9\u4e8e\u52d2\u8d1d\u683c\u53ef\u79ef\u7684\u51fd\u6570\uff0c\u67d0\u4e2a\u6d4b\u5ea6\u4e3a0\u7684\u96c6\u5408\u4e0a\u7684\u51fd\u6570\u503c\u6539\u53d8\uff0c\u4e0d\u4f1a\u5f71\u54cd\u5b83\u7684\u79ef\u5206\u503c\u3002\u5982\u679c\u4e24\u4e2a\u51fd\u6570\u51e0\u4e4e\u5904\u5904\u76f8\u540c\uff0c\u90a3\u4e48\u5b83\u4eec\u7684\u79ef\u5206\u76f8\u540c\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u2014\u2014\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206
用极坐标作方便
s=1/2∫ρ^2dθ=＝4a^2∫cos^2θdθ 0→π/2
=2a^2θ | 0→π/2
=a^2π
g
绛旓細鈶犗=2asin胃锛屸憽蟻=2acos胃锛屸憿蟻= -2asin胃锛屸懀蟻=-2acos胃 鍥涗釜鏇茬嚎鐨勫浘褰㈤兘鏄互a涓哄崐寰勭殑鍥紝鍙槸浣嶇疆涓嶅悓锕欏鍥撅箽銆傞潰绉兘鏄a²銆傚鏋滈鐩槸瑕佽绠楀畠浠湭鎴愮殑鈥滃洓鍙惰姳鈥濈殑闈㈢Н锛屽垯姝ら潰绉紳4脳[蟺a²/2-a²]锛濓箼2蟺-4锕歛²
绛旓細鏋佽酱娌℃湁璐熷崐杞寸殑璇存硶銆傘傘
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绛旓細杩欐槸鏋佸潗鏍囪〃绀虹殑鏇茬嚎锛屽畾涔夊煙灏辨槸胃灞炰簬R銆備絾鏄紝娉ㄦ剰cos胃鐨勫懆鏈熸э紝瀹為檯涓婂氨绛夋晥涓篬-蟺锛屜]鍖洪棿鐨勫浘褰 骞朵笖锛蟻=2acos胃>=0锛屽緱鍒拔歌寖鍥存槸[-蟺/2, 蟺/2]鏋佸潗鏍囩郴涓嬮潰绉井鍏冨叕寮忥細ds = 1/2*蟻^2 * d胃 = 1/2 * (2acos胃)^2*d胃 鏈鍚庯紝鏍规嵁胃鐨勮寖鍥村啓鍑轰笂鍥剧殑绉垎鍏紡銆==...
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绛旓細杩欎釜鏇茬嚎杩囧師鐐癸紝杩欎釜鏃跺胃鏄/4锛屽す瑙掍箣闂寸┖鐧界殑娌℃湁鍙栧笺傛瀬鍧愭爣鏄湪骞抽潰鍐呭彇涓涓畾鐐筄(鏋佺偣)寮曚竴鏉″皠绾縊x(鏋佽酱)锛屽啀閫夊畾涓涓暱搴﹀崟浣蟻鍜岃搴ξ哥殑姝ｆ柟鍚戯紙閫氬父鍙栭嗘椂閽堟柟鍚戯級銆傚弻绾界嚎锛屼篃绉颁集鍔埄鍙岀航绾匡紝璁惧畾绾挎AB闀垮害涓2a锛岃嫢鍔ㄧ偣M婊¤冻MA*MB=a^2锛岄偅涔圡鐨勮建杩圭О涓哄弻绾界嚎銆
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绛旓細鎵囧舰闈㈢Н鐨勫叕寮 S=r^2胃/2 dS=r^2d胃/2 S=1/2鈭蟻^2d胃
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绛旓細蹇冨舰,涓婂浘鏄痑 =1鏃剁殑鎯呭舰锛
