矩阵转置的公式如何使用？
矩阵转置是线性代数中一个基础且重要的概念，它指的是将矩阵的行换成列，列换成行。如果有一个𝑚
×
𝑛
m×n的矩阵
𝐴
A，其转置记作
𝐴
𝑇
A
T
，那么
𝐴
𝑇
A
T
将会是一个
𝑛
𝑡
𝑖
𝑚
𝑒
𝑠
𝑚
ntimesm的矩阵。
假设有矩阵
𝐴
A如下：
𝐴
=
[
𝑎
11
𝑎
12
⋯
𝑎
1
𝑛
𝑎
21
𝑎
22
⋯
𝑎
2
𝑛
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎
𝑚
1
𝑎
𝑚
2
⋯
𝑎
𝑚
𝑛
]
A=
a
11
a
21
⋮
a
m1
a
12
a
22
⋮
a
m2
⋯
⋯
⋱
⋯
a
1n
a
2n
⋮
a
mn
则矩阵
𝐴
A的转置
𝐴
𝑇
A
T
表示为：
𝐴
𝑇
=
[
𝑎
11
𝑎
21
⋯
𝑎
𝑚
1
𝑎
12
𝑎
22
⋯
𝑎
𝑚
2
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎
1
𝑛
𝑎
2
𝑛
⋯
𝑎
𝑚
𝑛
]
A
T
=[
a
11
⋮
a
21
⋮
⋯
⋱
a
m1
a
12
⋮ a
1n
a
22
a
2n
⋯
⋯
a
m2
a
mn
]
即原矩阵的第
𝑖
i行第
𝑗
j列元素在转置后的矩阵中变成了第
𝑗
j行第
𝑖
i列的元素。
矩阵转置具有以下性质：
(
𝐴
𝑇
)
𝑇
=
𝐴
(A
T
)
T
=A，即矩阵转置的转置是其本身。
若
𝐴
A是一个
𝑛
×
𝑛
n×n的方阵，则
𝐴
𝐴
𝑇
AA
T
和
𝐴
𝑇
𝐴
A
T
A都是对称矩阵。
对于任意矩阵
𝐴
A和
𝐵
B，有
(
𝐴
𝐵
)
𝑇
=
𝐵
𝑇
𝐴
𝑇
(AB)
T
=B
T
A
T
，即两个矩阵乘积的转置等于它们转置后以相反顺序的乘积。
若
𝐴
A是一个方阵且可逆，则
(
𝐴
−
1
)
𝑇
=
(
𝐴
𝑇
)
−
1
(A
−1
)
T
=(A
T
)
−1
，即方阵的逆的转置等于其转置的逆。
在应用上，矩阵转置常用于矩阵运算中的公式简化、坐标系的变换、以及某些类型的数学问题的求解，例如在解析几何中找到向量的投影或计算两个向量的点积时。此外，在统计学中，转置也常用于处理数据表格和协方差矩阵。
总结来说，矩阵转置是一个简单的操作，但它在数学和科学领域中有着广泛的应用。掌握矩阵转置及其性质对于理解更复杂的线性代数概念至关重要。
绛旓細璁 A=(aij) ,B=(bij)鍒 (A+B)^T = (aij+bij)^T = (aji+bji)= (aji) + (bji)= A^T+B^T 鐭╅樀鏄珮绛変唬鏁板涓殑甯哥敤宸ュ叿锛屼篃澶氳浜庣粺璁″垎鏋愮瓑杩愮敤鏁板瀛︾涓傚湪鐗╃悊涓紝鐭╅樀浜庣數璺锛岀粨鏋勫姏瀛︼紝鐢靛瓙鍏夊鍜岄噺瀛愮墿鐞嗕笂閮芥湁杩愮敤锛涚數瀛愪俊鎭瀛︿腑锛屼笁缁村姩鐢诲埗浣滀篃瑕浣跨敤鐭╅樀銆鐭╅樀鐨杩愮畻...
绛旓細鐭╅樀杞疆鍏紡锛(A^T)^T=A锛(A+B)^T = A^T + B^T锛(AB)^T = B^T*A^T銆傜煩闃垫槸涓涓寜鐓ч暱鏂归樀鍒楁帓鍒楃殑澶嶆暟鎴栧疄鏁伴泦鍚堬紝鏈鏃╂潵鑷簬鏂圭▼缁勭殑绯绘暟鍙婂父鏁版墍鏋勬垚鐨勬柟闃点傜煩闃垫槸楂樼瓑浠ｆ暟瀛︿腑鐨勫父瑙佸伐鍏凤紝涔熷父瑙佷簬缁熻鍒嗘瀽绛夊簲鐢ㄦ暟瀛﹀绉戜腑銆傜煩闃电殑杩愮畻鏄暟鍊煎垎鏋愰鍩熺殑閲嶈闂銆傚皢鐭╅樀鍒嗚В涓虹畝鍗...
绛旓細姝ラ涓锛氶夋嫨鏁版嵁鎵鍦ㄧ殑鍗曞厓鏍煎尯鍩燂紝鍗曞嚮鈥鍏紡鈥濋夐」鍗★紝鍗曞嚮鈥滃嚱鏁板簱鈥濆伐鍏风鍗曞嚮鈥滄彃鍏ュ嚱鏁扳濆伐鍏凤紝鎵惧埌TRANSPOSE鍑芥暟锛屽崟鍑烩滅‘瀹氣濇寜閽傛楠や簩锛氬湪寮瑰嚭鐨凾RANSPOSE鍑芥暟鍙傛暟瀵硅瘽妗嗕腑杩涜璁剧疆銆傚崟鍑籄rray鍙宠竟鐨勬枃鏈锛岀敤榧犳爣閫夋嫨鏁版嵁鎵鍦ㄧ殑鍗曞厓鏍煎尯鍩燂紝鍚屾椂鎸変綇Ctrl+Shift+Enter閿紝鍗冲彲寰楀埌鐭╅樀杞疆鐨璁＄畻...
绛旓細a-b鐨杞疆鏄痗=a-b锛宑^t=(a-b)^t=a^t-b^t 鐢ㄥ畾涔夎瘉鏄庯細璁続=(aij)锛孊=(bij)锛屽垯C=锛坈ij锛=锛坅ij-bij锛=锛坅ij锛-锛坆ij锛=A-B 閭ｄ箞C^t=锛坈ji锛=锛坅ji-bji锛=锛坅ji锛-锛坆ji锛=A^t-B^t 鐭╅樀鐨杩愮畻 鐭╅樀鐨勮繍绠楁槸鏁板煎垎鏋愰鍩熺殑閲嶈闂銆傚皢鐭╅樀鍒嗚В涓虹畝鍗曠煩闃电殑缁勫悎鍙互鍦ㄧ悊璁...
绛旓細鎺ヤ笅鏉ワ紝鎴戜滑鏉ョ湅琛屽垪寮杞疆鍏紡鐨鍏蜂綋褰㈠紡銆傚浜庝换鎰忎竴涓猲闃舵柟闃礎锛屾垜浠湁濡備笅鐨勮鍒楀紡杞疆鍏紡锛殀A| = |A^T| 杩欎釜鍏紡鐨勫惈涔夋槸锛岀煩闃礎鐨勮鍒楀紡绛変簬鍏杞疆鐭╅樀A^T鐨勮鍒楀紡銆傝繖涓ц川鏄鍒楀紡鐨勪竴涓噸瑕佹ц川锛屽畠鍦ㄨ澶氭暟瀛﹂棶棰樹腑閮芥湁搴旂敤銆傞偅涔堬紝杩欎釜鍏紡鎬庝箞鐢鍛紵鎴戜滑鍙互閫氳繃浠ヤ笅姝ラ鏉浣跨敤杩欎釜鍏紡锛...
绛旓細璁剧煩闃礱缁忚繃鍒濈瓑琛屽彉鎹箣鍚庯紝鍖栦负涓婁笁瑙掔煩闃礲锛屽垯a绛変环浜巄銆傜煩闃礱'缁忚繃鍒濈瓑鍒楀彉鎹箣鍚庯紝鍙寲涓轰笅涓夎鐭╅樀c锛屽垯a'绛変环浜巆銆傛樉鐒讹紝b鐨勮浆缃煩闃礲'=c銆傛墍浠ワ紝鐭╅樀a涓庣煩闃礱鐨杞疆鐭╅樀鐨鐗瑰緛鍊肩浉鍚屻傚寲鎴愪笁瑙掑舰琛屽垪寮忔硶锛氬厛鎶婅鍒楀紡鐨勬煇涓琛岋紙鍒楋級鍏ㄩ儴鍖栦负 1 銆傚啀鍒╃敤璇ヨ锛堝垪锛夋妸琛屽垪寮忓寲涓轰笁瑙掑舰...
绛旓細杞疆鐭╅樀銆傛嫇灞曪細璁続涓簃脳n闃剁煩闃(鍗砿琛宯鍒)锛岀i 琛宩 鍒楃殑鍏冪礌鏄痑(i,j)锛屽嵆:A=a(i,j)瀹氫箟A鐨勮浆缃负杩欐牱涓涓猲脳m闃剁煩闃礏锛屾弧瓒矪=a(j,i)锛屽嵆 b (i,j)=a (j,i)(B鐨勭i琛岀j鍒楀厓绱犳槸A鐨勭j琛岀i鍒楀厓绱)锛岃A'=B銆(鏈変簺涔﹁涓篈T=B锛岃繖閲孴涓篈鐨勪笂鏍)鐩磋鏉ョ湅锛屽皢A鐨...
绛旓細AA^T| = |A| |A^T| = |A||A| = |A|^2鍗崇煩闃礎涔樹互A鐨勮浆缃瓑浜嶢鐨勮鍒楀紡鐨勫钩鏂广鐭╅樀杞疆鐨涓昏鎬ц川锛1銆佸疄瀵圭О鐭╅樀A鐨勪笉鍚岀壒寰佸煎搴旂殑鐗瑰緛鍚戦噺鏄浜ょ殑锛堢綉鏄撶瑪璇曢鏇捐冭繃锛夈2銆佸疄瀵圭О鐭╅樀A鐨勭壒寰佸奸兘鏄疄鏁帮紝鐗瑰緛鍚戦噺閮芥槸瀹炲悜閲忋3銆乶闃跺疄瀵圭О鐭╅樀A蹇呭彲瀵硅鍖栵紝涓旂浉浼煎瑙掗樀涓婄殑...
绛旓細锛圓B锛杞疆锛滲杞疆锛夾杞疆銆侫B鐨勮浆缃瓑浜嶣鐨勮浆缃箻浠鐨勮浆缃瓵涓簃琛宯鍒鐭╅樀锛宨琛宩鍒椾氦鐐瑰鍏冪礌璁帮箼A锕歩j B涓簄琛宬鍒楃煩闃点傜煩闃典笌鏁扮殑涔樻硶 1銆 杩愮畻瑙勫垯銆傛暟涔樼煩闃礎锛屽氨鏄皢鏁颁箻鐭╅樀A涓殑姣忎竴涓厓绱狅紝璁颁负鎴栥傜壒鍒湴锛岀О绉颁负鐨勮礋鐭╅樀銆2銆 杩愮畻鎬ц川銆傛弧瓒崇粨鍚堝緥鍜屽垎閰嶅緥銆傜粨鍚堝緥锛 (位渭)...
绛旓細= (1-位)[(2-位)(9-位)-8] (鎸夌3琛屽睍寮, 鍐鐢鍗佸瓧鐩镐箻娉)= (1-位)(位^2-11位+10)= (10-位)(1-位)^2.濡傛灉鏈塶闃剁煩闃礎锛屽叾鐭╅樀鐨鍏冪礌閮戒负瀹炴暟锛屼笖鐭╅樀A鐨杞疆绛変簬鍏舵湰韬紙aij=aji锛(i,j涓哄厓绱犵殑鑴氭爣)锛岃屼笖璇ョ煩闃靛搴旂殑鐗瑰緛鍊煎叏閮ㄤ负瀹炴暟锛屽垯绉癆涓哄疄瀵圭О鐭╅樀銆備富瑕佹ц川锛1....
