正四面体外接圆半径公式是什么？
R=（√6）a/4。a为正四面体的棱长。
设正四面体的棱长为a,求其外接球的半径.设正四面体V-ABC,D为BC的中点,E为面ABC的中心,外接球半径为R,则AD=（√3）a/2,AE=2/3*AD=（√3）a/3.在Rt△VAE中,有VE^2=VA^2-AE^2=a^2-a^2/3=(2a^2)/3,VE=(√6)a/3。
在Rt△AEO中,有AO^2=AE^2+OE^2=R^2+(VE-R) ^2,即R^2=a^2/3+[(√6)a/3-R] ^2,可解得：R=（√6）a/4.另外,我们也可以先求出OE,因为OE恰好是四面体的内切球的半径r。
利用等积法可求得r.设四面体的底面积为S,则1/3*S*（R+r）=4*1/3*S*r,可得r=R/3.于是在Rt△AEO中,有R^2 = AE^2+r^2=a^2/3+R^2/9,从而得R=（√6）a/4。
扩展资料：
正四面体的性质：
1、正四面体的四个旁切球半径均相等，等于内切球半径的2倍，或等于四面体高线的一半。
2、正四面体的内切球与各侧而的切点是侧I面三角形的外心，或内心，或垂心，或重心，除外心外，其逆命题均成立。
3、正四面体的外接球球心到四面体四顶点的距离之和，小于空间中其他任一点到四顶点的距离之和。
4、正四面体内任意一点到各侧面的垂线长的和等于这四面体的高。
5、对于四个相异的平行平面，总存住一个正四面体，其顶点分别在这四个平面上。
参考资料来源：百度百科-正四面体
绛旓細R=锛堚垰6锛塧/4銆俛涓姝ｅ洓闈綋鐨勬１闀裤傝姝ｅ洓闈綋鐨勬１闀夸负a,姹傚叾澶栨帴鐞冪殑鍗婂緞.璁炬鍥涢潰浣揤-ABC,D涓築C鐨勪腑鐐,E涓洪潰ABC鐨勪腑蹇,澶栨帴鐞冨崐寰勪负R,鍒橝D=锛堚垰3锛塧/2,AE=2/3*AD=锛堚垰3锛塧/3.鍦≧t鈻砎AE涓,鏈塚E^2=VA^2-AE^2=a^2-a^2/3=(2a^2)/3,VE=(鈭6)a/3銆傚湪Rt鈻矨EO涓,鏈...
绛旓細姝ｅ洓闈綋鐨勫鎺ョ悆鍗婂緞鍏紡R=(鈭6)a/4銆1銆佹涓夋１閿ュ鎺ョ悆蹇冨湪椤剁偣涓庡簳闈㈤噸蹇冪殑杩炵嚎鐨勮窛搴曢潰1/4澶勩傚拰璁＄畻鍐呭垏鐞冨績涓鏍风畻鍑哄渾蹇冩墍鍦ㄧ洿绾匡紙鍗抽《鐐逛笌搴曢潰閲嶅績鐨勮繛绾匡級鐨勯暱搴︼紝鍗冲彲绠楀嚭椤剁偣涓庣悆蹇冪殑璺濈锛堝嵆澶栨帴鐞冨崐寰勶級銆2銆侀暱鏂逛綋鐨勫鎺ョ悆鍗婂緞锛2r锛²=a²+b²+c²...
绛旓細姝ｅ洓闈綋澶栨帴鍦嗗崐寰勫叕寮忔槸锛鍦嗗崐寰=0.5脳姝ｅ洓鏂逛綋杈归暱脳鏍瑰彿2
绛旓細褰撴１闀挎槸a鏃讹紝澶栨帴鐞鍗婂緞鏄鈭6a/4銆
绛旓細璁炬１闀夸负a锛屽垯姣忎竴闈笂鐨勯珮涓轰簩鍒嗕箣鏍瑰彿3a銆傜劧鍚庡湪楂楢D涓婂彇鐐笶锛屼娇AE=2DE锛孍涓虹瓑杈逛笁瑙掑舰ABC鐨勪腑蹇冿紝搴曢潰澶栨帴鍦鐨勫渾蹇冿紝杩炴帴PE锛屽垯pe鍨傜洿搴曢潰銆傜劧鍚庡湪PE涓婂彇涓鐐筄锛屽垯PO=AO=r,oE=涓夊垎涔嬫牴鍙6a-r锛屽埄鐢ㄥ嬀鑲″畾鐞嗐傛墍浠ユ１闀縜鐨勪负姝ｅ洓闈綋澶栨帴鐞鍗婂緞涓哄洓鍒嗕箣鏍瑰彿6a銆
绛旓細瀵逛簬鍚勭鍑犱綍浣擄紝涓囪兘鍏紡鐨勮〃杈惧舰寮忓彲鑳芥湁鎵涓嶅悓銆備互涓嬫槸涓浜涘父瑙佸嚑浣曚綋鐨澶栨帴鐞鍗婂緞鐨勪竾鑳藉叕寮忥細1. 瀵逛簬姝ｅ叚闈綋锛堟绔嬫柟浣擄級锛氬鎺ョ悆鍗婂緞锛圧锛= a * 鈭2 / 2 鍏朵腑锛宎 琛ㄧず姝ｅ叚闈綋鐨勮竟闀裤2. 瀵逛簬姝ｅ洓闈綋锛氬鎺ョ悆鍗婂緞锛圧锛= a * 鈭6 / 4 鍏朵腑锛宎 琛ㄧず姝ｅ洓闈綋鐨勮竟闀裤3. 瀵逛簬姝ｅ叓闈...
绛旓細澶栨帴鐞冨崐寰勪竾鑳鍏紡锛歊=鈭歔R_1^2+R_2^2- (L^2)/4]銆傝嫢鐩镐簰鍨傜洿鐨勪袱鍑稿杈瑰舰鐨澶栨帴鍦嗗崐寰鍒嗗埆涓篟_1锛孯_2锛屼袱澶栨帴鍦嗗叕鍏卞鸡闀夸负L锛屽垯鐢变袱鍑稿杈瑰舰椤剁偣杩炴帴鑰屾垚鐨勫嚑浣曚綋鐨勫鎺ョ悆鍗娿1銆佸鎺ョ悆銆傝竟闀夸负a鐨姝ｅ洓闈綋鍙互鐪嬫垚鏄竟闀挎槸(鈭2/2)a鐨勬鏂逛綋鎴嚭鏉ョ殑锛屽垯鍏跺鎺ョ悆鐩村緞鏄鏂逛綋杈归暱...
绛旓細浠庝笂鍥句腑鍙互鐪嬪嚭锛姝ｅ洓闈綋鐨勫唴鎺ュ渾鐨勭洿寰勶紝灏辨槸姝ｅ洓闈綋鐨勬１闀 2r=a锛宺=a/2銆傛鍥涢潰浣撶殑澶栨帴鍦鐨勭洿寰勶紝灏辨槸姝ｅ洓闈綋鐨勫瑙掔嚎銆2R=鈭(a²+a²+a²)=鈭(3a²)=a鈭3, R=a*鈭3/2
绛旓細sin45掳锛屾鏂逛綋鐨勫鎺ョ悆鐨勫崐寰勬槸鍏舵１闀跨殑浜屽垎涔嬫牴鍙蜂笁鍊嶏紝鎵浠ュ叕鍏辩殑澶栨帴鐞冪殑鍗婂緞鏄洓鍒嗕箣鏍瑰彿鍏璦銆俁=鈭6a/4 鎵浠姝ｅ洓闈綋澶栨帴鍦嗗崐寰涓 鈭6a/4 鎶奱=2R甯﹀叆鍗充负锛氣垰6R/2 鎵浠+R=鈭6R/2 鍏崇郴灏卞嚭鏉ュ暒~~~鏂囧瓧鑳界湅鏄庣櫧涔堬紵锛熷緟浼氱粰浣犱笂鍥撅紝鎴戠敤鐢绘澘缁欎綘鐢 ...
绛旓細鍐呮帴鍦嗕负1/4楂,澶栨帴鍦涓3/4楂 鍐呮帴鍦嗙畻娉曪細鍒╃敤绛変綋绉鍏紡锛鍥涢潰浣锛圫銆丠锛夊彲鎹负鍥涗釜绛変綋绉笁瑙掗敟锛圫銆乭锛4*1/3*Sh=1/3SH,寰梙=1/4H
