三等分角是怎样的？ 三等分角问题是什么？
\u4e00\u4e2a\u89d2\u5982\u4f55\u4e09\u7b49\u5206\u53e4\u5e0c\u814a\u4e09\u4e2a\u8457\u540d\u95ee\u9898\u4e4b\u4e00\u7684\u4e09\u7b49\u5206\u89d2\uff0c\u73b0\u5728\u7f8e\u56fd\u5c31\u8fde\u8bb8\u591a\u6ca1\u5b66\u8fc7\u6570\u5b66\u7684\u4eba\u4e5f\u90fd\u77e5\u9053\uff0e\u7f8e\u56fd\u7684\u6570\u5b66\u6742\u5fd7\u793e\u548c\u4ee5\u6559\u4e66\u4e3a\u804c\u4e1a\u7684\u6570\u5b66\u4f1a\u5458\uff0c\u6bcf\u5e74\u603b\u8981\u6536\u5230\u8bb8\u591a\u201c\u89d2\u7684\u4e09\u7b49\u5206\u8005\u201d\u7684\u6765\u4fe1\uff1b\u5e76\u4e14\uff0c\u5728\u62a5\u7eb8\u4e0a\u5e38\u89c1\u5230\uff1a\u67d0\u4eba\u5df2\u7ecf\u6700\u7ec8\u5730\u201c\u89e3\u51b3\u4e86\u201d\u8fd9\u4e2a\u4e0d\u53ef\u6349\u6478\u7684\u95ee\u9898\uff0e\u8fd9\u4e2a\u95ee\u9898\u786e\u5b9e\u662f\u4e09\u4e2a\u8457\u540d\u7684\u95ee\u9898\u4e2d\u6700\u5bb9\u6613\u7406\u89e3\u7684\u4e00\u4e2a\uff0c\u56e0\u4e3a\u4e8c\u7b49\u5206\u89d2\u662f\u90a3\u4e48\u5bb9\u6613\uff0c\u8fd9\u5c31\u81ea\u7136\u4f1a\u4f7f\u4eba\u4eec\u60f3\u5230\u4e09\u7b49\u5206\u89d2\u4e3a\u4ec0\u4e48\u4e0d\u540c\u6837\u7684\u5bb9\u6613\u5462\uff1f
\u7528\u6b27\u51e0\u91cc\u5f97\u5de5\u5177\uff0c\u5c06\u4e00\u7ebf\u6bb5\u4efb\u610f\u7b49\u5206\u662f\u4ef6\u7b80\u5355\u7684\u4e8b\uff1b\u4e5f\u8bb8\u53e4\u5e0c\u814a\u4eba\u5728\u6c42\u89e3\u7c7b\u4f3c\u7684\u4efb\u610f\u7b49\u5206\u89d2\u7684\u95ee\u9898\u65f6\uff0c\u63d0\u51fa\u4e86\u4e09\u7b49\u5206\u89d2\u95ee\u9898\uff1b\u4e5f\u8bb8(\u66f4\u6709\u53ef\u80fd)\u8fd9\u95ee\u9898\u662f\u5728\u4f5c\u6b63\u4e5d\u8fb9\u5f62\u65f6\u4ea7\u751f\u7684\uff0c\u5728\u90a3\u91cc\uff0c\u8981\u4e09\u7b49\u5206\u4e00\u4e2a60\u00b0\u89d2\uff0e
\u5728\u7814\u7a76\u4e09\u7b49\u5206\u89d2\u95ee\u9898\u65f6\uff0c\u770b\u6765\u5e0c\u814a\u4eba\u9996\u5148\u628a\u5b83\u4eec\u5f52\u7ed3\u6210\u6240\u8c13\u659c\u5411(verging problem)\u95ee\u9898\uff0e\u4efb\u4f55\u9510\u89d2ABC(\u53c2\u770b\u56fe31)\u53ef\u88ab\u53d6\u4f5c\u77e9\u5f62BCAD\u7684\u5bf9\u89d2\u7ebfBA\u548c\u8fb9BC\u7684\u5939\u89d2\uff0e\u8003\u8651\u8fc7B\u70b9\u7684\u4e00\u6761\u7ebf\uff0c\u5b83\u4ea4CA\u4e8eE\uff0c\u4ea4DA\u4e4b\u5ef6\u957f\u7ebf\u4e8eF\uff0c\u4e14\u4f7f\u5f97EF=2(BA)\uff0e\u4ee4G\u4e3aEF\u4e4b\u4e2d\u70b9\uff0c\u5219
EG=GF=GA=BA\uff0c
\u4ece\u4e2d\u5f97\u5230\uff1a
\u2220ABG=\u2220AGB=\u2220GAF+\u2220GFA=2\u2220GFA=2\u2220GBC\uff0c
\u5e76\u4e14BEF\u4e09\u7b49\u5206\u2220ABC\uff0e\u56e0\u6b64\uff0c\u8fd9\u4e2a\u95ee\u9898\u88ab\u5f52\u7ed3\u4e3a\u5728DA\u7684\u5ef6\u957f\u7ebf\u548cAC\u4e4b\u95f4\uff0c\u4f5c\u4e00\u7ed9\u5b9a\u957f\u5ea62(BA)\u7684\u7ebf\u6bb5EF\uff0c\u4f7f\u5f97EF\u659c\u5411B\u70b9\uff0e
\u5982\u679c\u4e0e\u6b27\u51e0\u91cc\u5f97\u7684\u5047\u5b9a\u76f8\u53cd\uff0c\u5141\u8bb8\u5728\u6211\u4eec\u7684\u76f4\u5c3a\u4e0a\u6807\u51fa\u4e00\u7ebf\u6bb5E\u2019F\u2019=2(BA)\uff0c\u7136\u540e\u8c03\u6574\u76f4\u5c3a\u7684\u4f4d\u7f6e\uff0c\u4f7f\u5f97\u5b83\u8fc7B\u70b9\uff0c\u5e76\u4e14\uff0cE\u2019\u5728AC\u4e0a\uff0cF\u2019\u5728DA\u7684\u5ef6\u957f\u7ebf\u4e0a\uff1b\u5219\u2220ABC\u88ab\u4e09\u7b49\u5206\uff0e\u5bf9\u76f4\u5c3a\u7684\u8fd9\u79cd\u4e0d\u6309\u89c4\u5b9a\u7684\u4f7f\u7528\uff0c\u4e5f\u53ef\u4ee5\u770b\u4f5c\u662f\uff1a\u63d2\u5165\u539f\u5219(the insertion principle)\u7684\u4e00\u79cd\u5e94\u7528\uff0e\u8fd9\u4e00\u539f\u5219\u7684\u5176\u5b83\u5e94\u7528\uff0c\u53c2\u770b\u95ee\u9898\u7814\u7a764\uff0e6\uff0e
\u4e3a\u4e86\u89e3\u4e09\u7b49\u5206\u89d2\u5f52\u7ed3\u6210\u7684\u659c\u5411\u95ee\u9898\uff0c\u6709\u8bb8\u591a\u9ad8\u6b21\u5e73\u9762\u66f2\u7ebf\u5df2\u88ab\u53d1\u73b0\uff0e\u8fd9\u4e9b\u9ad8\u6b21\u5e73\u9762\u66f2\u7ebf\u4e2d\u6700\u53e4\u8001\u7684\u4e00\u4e2a\u662f\u5c3c\u79d1\u6885\u5fb7\u65af(\u7ea6\u516c\u5143\u524d240\u5e74)\u53d1\u73b0\u7684\u868c\u7ebf\uff0e\u8bbec\u4e3a\u4e00\u6761\u76f4\u7ebf\uff0c\u800cO\u4e3ac\u5916\u4efb\u4f55\u4e00\u70b9\uff0cP\u4e3ac\u4e0a\u4efb\u4f55\u4e00\u70b9\uff0c\u5728PO\u7684\u5ef6\u957f\u7ebf\u4e0a\u622aPQ\u7b49\u4e8e\u7ed9\u5b9a\u7684\u56fa\u5b9a\u957f\u5ea6k\uff0e\u4e8e\u662f\uff0c\u5f53P\u6cbf\u7740c\u79fb\u52a8\u65f6\uff0cQ\u7684\u8f68\u8ff9\u662fc\u5bf9\u4e8e\u6781\u70b9O\u548c\u5e38\u6570k\u7684\u868c\u7ebf(conchoid)(\u5b9e\u9645\u4e0a\uff0c\u53ea\u662f\u8be5\u868c\u7ebf\u7684\u4e00\u652f)\uff0e\u8bbe\u8ba1\u4e2a\u753b\u868c\u7ebf\u7684\u5de5\u5177\u5e76\u4e0d\u96be\u2460\uff0c\u7528\u8fd9\u6837\u4e00\u4e2a\u5de5\u5177\uff0c\u5c31\u53ef\u4ee5\u5f88\u5bb9\u6613\u5730\u4e09\u7b49\u5206\u89d2\uff0e\u8fd9\u6837\uff0c\u4ee4\u2220AOB\u4e3a\u4efb\u4f55\u7ed9\u5b9a\u7684\u9510\u89d2\uff0c\u4f5c\u76f4\u7ebfMN\u5782\u76f4\u4e8eOA\uff0c\u622aOA\u4e8eD\uff0c\u622aOB\u4e8eL(\u5982\u56fe32\u6240\u793a)\uff0e\u7136\u540e\uff0c\u5bf9\u6781\u70b9O\u548c\u5e38\u65702(OL)\uff0c\u4f5cMN\u7684\u868c\u7ebf\uff0e\u5728L\u70b9\u4f5cOA\u7684\u5e73\u884c\u7ebf\uff0c\u4ea4\u868c\u7ebf\u4e8eC\uff0e\u5219OC\u4e09\u7b49\u5206\u2220AOB\uff0e
\u501f\u52a9\u4e8e\u4e8c\u6b21\u66f2\u7ebf\u53ef\u4ee5\u4e09\u7b49\u5206\u4e00\u4e2a\u4e00\u822c\u7684\u89d2\uff0c\u65e9\u671f\u5e0c\u814a\u4eba\u8fd8\u4e0d\u77e5\u9053\u8fd9\u4e00\u65b9\u6cd5\uff0e\u5bf9\u4e8e\u8fd9\u79cd\u65b9\u6cd5\u7684\u6700\u65e9\u8bc1\u660e\u662f\u5e15\u666e\u65af(Pappus\uff0c\u7ea6\u516c\u5143300\u5e74)\uff0e\u5229\u7528\u4e8c\u6b21\u66f2\u7ebf\u4e09\u7b49\u5206\u89d2\u7684\u4e24\u79cd\u65b9\u6cd5\u5728\u95ee\u9898\u7814\u7a764\uff0e8\u4e2d\u53ef\u4ee5\u627e\u5230\uff0e
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只准用直尺和圆规，你能将一个任意的角两等分吗？
这是一个很简单的几何作图题。几千年前，数学家们就已掌握了它的作图方法。
在纸上任意画一个角，以这个角的顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出这段弧与两条边的交点A、B。
然后，分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，只要选用的半径比A、B之间的距离的一半还大些，这两段弧就会相交。找出这两段弧的交点C。
最后，用直尺将O点与C点联接起来。不难验证，直线OC已经将这个任意角分成了相等的两部分。
显然，采用同样的方法，是不难将一个任意角4等分、8等分或者16等分的；只要有耐心，将一个任意角512等分或者1024等分，也都不会是一件太难的事情。
那么，只准用直尺与圆规，能不能将一个任意角3等分呢？
这个题目看上去也很容易，似乎与两等分角问题差不多。所以，在2000多年前，当古希腊人见到这个题目时，有不少人甚至不假思索就拿起了直尺与圆规……
一天过去了，一年过去了，人们磨秃了无数支笔，始终也画不出一个符合题意的图形来！
由2等分到3等分，难道仅仅由于这么一点小小的变化，一道平淡无奇的几何作图题，就变成了一座高深莫测的数学迷宫？
这个题目吸引了许多数学家。公元前3世纪时，古希腊最伟大的数学家阿基米德，也曾拿起直尺与圆规，用这个题目测试过自己的智力。
阿基米德想出了一个办法。他预先在直尺上记一点P，令直尺的一个端点为C。对于任意画的一角，他以这个角的顶点O为圆心，以CP的长度为半径画半个圆，使这半个圆与角的两条边相交于A、B两点。
然后，阿基米德移动直尺，使C点在AO的延长线上移动，使p点在圆周上移动。当直尺正好通过B点时停止移动，将C、P、B三点连接起来。
接下来，阿基米德将直尺沿直线CPB平行移动，使C点正好移动到O点，作直线OD。
可以检验，AOD正好是原来的角AOB的1/3。也就是说，阿基米德已经将一个任意角分成了3等分。
但是，人们不承认阿基米德解决了三等分角问题。
为什么不承认呢？理由很简单：阿基米德预先在直尺上作了一个记号P，使直尺实际上具备有刻度的功能。这是一个不能容许的“犯规”动作。因为古希腊人规定：在尺规作图法中，直尺上不能有任何刻度，而且直尺与圆规都只准许使用有限次。
阿基米德失败了。但他的解法表明，仅仅在直尺上作一个记号，马上就可以走出这座数学迷宫。数学家们想：能不能先不在直尺上作记号，而在实际作图的过程中，逐步把这个点给找出来呢……
古希腊数学家全都失败了。2000多年来，这个问题激动了一代又一代的数学家，成为一个举世闻名的数学难题。笛卡儿、牛顿等许许多多最优秀的数学家，也都曾拿起直尺圆规，用这个难题测试过自己的智力……
无数的人都失败了。2000多年里，从初学几何的少年到天才的数学大师，谁也不能只用直尺和圆规将一个任意角三等分！一次接一次的失败，使得后来的人们变得审慎起来。渐渐地，人们心中生发出一个巨大问号：三等分一个任意角，是不是一定能用直尺与圆规作出来呢？如果这个题目根本无法由尺规作出，硬要用直尺与圆规去尝试，岂不是白费气力？
以后，数学家们开始了新的探索。因为，谁要是能从理论上予以证明：三等分任意角是无法由尺规作出的，那么，他也就解决了这个著名的数学难题。
1837年，数学家们终于赢得了胜利。法国数学家闻脱兹尔宣布：只准许使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是根本不可能的！
这样，他率先走出了这座困惑了无数人的数学迷宫，了结了这桩长达2000多年的数学悬案。
古希腊三个著名问题之一的三等分角，现在美国就连许多没学过数学的人也都知道．美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员，每年总要收到许多“角的三等分者”的来信；并且，在报纸上常见到：某人已经最终地“解决了”这个不可捉摸的问题．这个问题确实是三个著名的问题中最容易理解的一个，因为二等分角是那么容易，这就自然会使人们想到三等分角为什么不同样的容易呢？
用欧几里得工具，将一线段任意等分是件简单的事；也许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时，提出了三等分角问题；也许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的，在那里，要三等分一个60°角．
在研究三等分角问题时，看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging problem)问题．任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角．考虑过B点的一条线，它交CA于E，交DA之延长线于F，且使得EF=2(BA)．令G为EF之中点，则
EG=GF=GA=BA，
从中得到：
∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC，
并且BEF三等分∠ABC．因此，这个问题被归结为在DA的延长线和AC之间，作一给定长度2(BA)的线段EF，使得EF斜向B点．
如果与欧几里得的假定相反，允许在我们的直尺上标出一线段E’F’=2(BA)，然后调整直尺的位置，使得它过B点，并且，E’在AC上，F’在DA的延长线上；则∠ABC被三等分．对直尺的这种不按规定的使用，也可以看作是：插入原则(the insertion principle)的一种应用．这一原则的其它应用，参看问题研究4．6．
为了解三等分角归结成的斜向问题，有许多高次平面曲线已被发现．这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240年)发现的蚌线．设c为一条直线，而O为c外任何一点，P为c上任何一点，在PO的延长线上截PQ等于给定的固定长度k．于是，当P沿着c移动时，Q的轨迹是c对于极点O和常数k的蚌线(conchoid)(实际上，只是该蚌线的一支)．设计个画蚌线的工具并不难①，用这样一个工具，就可以很容易地三等分角．这样，令∠AOB为任何给定的锐角，作直线MN垂直于OA，截OA于D，截OB于L(如图32所示)．然后，对极点O和常数2(OL)，作MN的蚌线．在L点作OA的平行线，交蚌线于C．则OC三等分∠AOB．
借助于二次曲线可以三等分一个一般的角，早期希腊人还不知道这一方法．对于这种方法的最早证明是帕普斯(Pappus，约公元300年)．利用二次曲线三等分角的两种方法在问题研究4．8中可以找到．
有一些超越(非代数的)曲线，它们不仅能够对一个给定的角三等分，而且能任意等分．在这这样的曲线中有：伊利斯的希皮阿斯(Hippias，约公元前425年)发明的割圆曲线(quadratrix)和阿基米得螺线(spiral of Archimeds)．这两种曲线也能解圆的求积问题．关于割圆曲线在三等分角和化圆为方问题上的应用，见问题研究4．10．
多年来，为了解三等分角问题，已经设计出许多机械装置、联动机械和复合圆规．①参看R．C．Yates．The Trisection Prolem．其中有一个有趣的工具叫做战斧，不知道是谁发明的，但是在1835年的一本书中讲述了这种工具．要制做一个战斧，先从被点S和T三等分的线段RU开始，以SU为直径作一半圆，再作SV垂直于RU，如图33所示．用战斧三等分∠ABC时，将这一工具放在该角上，使R落在BA上，SV通过B点，半圆与BC相切于D．于是证明：△RSB，△TSB，△TDB都全等，所以，BS和BT三等分给定的角．可以用直尺和圆规在描图纸上绘出战斧，然后调整到给定的角上．在这种条件下，我们可以说用直角和圆规三等分一个角(用两个战斧，则可以五等分一个角)．
欧几里得工具虽然不能精确地三等分任意角，但是用这些工具的作图方法，能作出相当好的近似的三等分．一个卓越的例子是著名的蚀刻师、画家A．丢勒(Albrecht Durer)于1525年给出的作图方法．取给定的∠AOB为一个圆的圆心角(参看图34)，设C为弦AB的靠近B点的三等分点．在C点作AB的垂线交圆于D．以B为圆心，以BD为半径，作弧交AB于E．设令F为EC的靠近E点的三等分点，再以B为圆心，以BF为半径，作弧交圆于G．那么，OG就是∠AOB的近似的三等分线．我们能够证明：三等分中的误差随着∠AOB的增大而增大；但是，对于60°的角大约只差1〃，对于90°角大约只差18〃．
最新办法是分段式角分法，可以对任意角作任意等分。
角九等分（尺规作图）
一，作角AOB弧AB，直线连接AB并延长线。
二，作角AOB四等分，角BOC等于角AOB四分之一，直线连接BC。作BC中垂线，交弧BC于点D，直线BC于点E。
三，以B点为圆心，直线BD长为半径作弧，交直线BC于点F，交直线AB的延长线于点G。
四，在AG的延长线上取点H，使GH等于4EF。AH=AB+BG+GH
五，以A，B点为圆心，AH长为半径作弧分别交于点J，K。直线连接AJ，AK，BJ，BK。
六，以A，B点为圆心，AB长为半径作弧，分别交于直线AJ，AK于点a1.a2。交于直线BJ，BK于点b1.b2。
直线连接a1.a2交于弧AB于点R。直线连接b1.b2交于弧AB于点T。
直线连接OR，OT。角ROT等于角AOB九分之一。
七，作角AOR，BOT四等分。
这也可作角三等分的另一个作法。
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