为什么(tanx -sinx)/x^3的极限 x趋向于0？不等于零 数学理工学科

\u6570\u5b66 \u7406\u5de5\u5b66\u79d1 \u5b66\u4e60

\u7528\u9006\u63a8\u6cd5\uff0c\u5148\u53bb\u5206\u6bcd\uff0c\u4e24\u8fb9\u540c\u4e584\uff081+x\uff09(1+y)(1+z),\u53c8\u56e0\u4e3ax+y+z=1\u5f974+12xzy+8zy+8xz+8xy<=6+3zy+3xy+3zx+6zxy
6zxy+5zy+5xz+5xy<=2
\u53c8\u56e0\u4e3ax,y,z\u662f\u6b63\u6570\uff0cx+y+z=1\u53ef\u77e5x,y,z\u90fd\u662f\u5c0f\u4e8e1\u5927\u4e8e0\u7684\u6570
\u6545xzy,zy,xz,xy\u90fd\u662f\u662f\u767e\u5206\u4f4d\uff0c\u5341\u5206\u4f4d\u7684\u5c0f\u6570,\u7531\u6b64\u53ef\u77e5
1<6zxy+5zy+5xz+5xy<=2
\u6ee1\u8db3\u6761\u4ef6\uff0c\u5373\u6210\u7acb\u3002
\u8fd8\u6709\u5176\u5b83\u7684\u65b9\u6cd5\uff0c\u4f60\u4e5f\u53ef\u4ee5\u8bd5\u7740\u53bb\u63a8\u6572\u3002

\u8fd9\u6837\u89c9\u5f97\u5fc3\u5b89\u3002\u4eba\u6d3b\u7740\uff0c\u603b\u8981\u6709\u4e9b\u575a\u6301
\u522b\u8ba9\u9aa8\u5934\u8f6f\u4e86\uff0c\u5c0a\u4e25\u8dcc\u5012\u3002
\u4ece\u4e0d\u8f7b\u6613\u627f\u8bfa\u4efb\u4f55\u4e8b\uff0c\u56e0\u4e3a\u8bf4\u4e86\u5c31\u8a00\u51fa\u5fc5\u884c

学到的等价无穷小tanx~x，sinx~x，是等价无穷小，但不是相等。

由麦克劳林公式，tanx=x+o1(x³)，sinx=x+o2(x³)
tanx-sinx=x+o1(x³)-[x+o2(x³)]=o3(x³)，是x³的同阶无穷小，而不是0
如果误以为等价无穷小就是相等，就容易得到tanx-sinx=0的错误结论。
lim (tanx-sinx)/x³
x→0
=lim tanx(1-cosx)/x³
x→0
=lim x·½x²/x³
x→0
=lim ½x³/x³
x→0
=½

为什么会等于0?你从哪里得到的?加减法中等价替换?

扩展阅读：limx 0 x-sinx ... sinx<x<tanx适用范围 ... limsinx-tanx ... sin x ... 几何证明x小于tanx ... sinx与x大小比较和tanx ... tanx 1-cosx ... 在第一象限x大于sinx ... x tanx ...