极坐标系下的二重积分的计算问题(高等数学一) 高等数学，极坐标下计算二重积分？
\u5173\u4e8e\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u6781\u5750\u6807\u8fd0\u7b97\u7684\u95ee\u9898\u8fd9\u4e2a\u56fe\u5f62\u662f\u4e0a\u4e0b\u5bf9\u79f0\u7684\uff0c\u6240\u4ee5\u6c42\u4e0a\u9762\u7684\u9762\u79ef\u518d\u4e58\u4ee52\u5c31\u662f\u4e86
\u89d2\u5ea6\u7684\u53d8\u5316\u8303\u56f4\u53bb0\u5230 \u03c0/6
\u7136\u540e\u5f53\u89d2\u5ea6\u53d6\u5b9a\u65f6\uff0cr\u7684\u53d6\u503c\u662f2/\u221a3cos\u03b8
\u88ab\u79ef\u51fd\u6570\u662f1\uff0crdrd\u03b8\u76f8\u5f53\u4e8e\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u7684dxdy\uff0c\u6240\u4ee5\u6781\u5750\u6807\u8ba1\u7b97\u65f6\u88ab\u79ef\u51fd\u6570\u4e0a\u8981\u4e58\u4e00\u4e2ar\u3002
0≤r≤1,0≤θ≤π/2
∴∫∫ln(1+x2+y2)dxdy=∫∫ln(1+r2)rdrdθ
=∫ln(1+r2)rdr∫dθ
=π/2*∫ln(1+r2)rdr(0～1)
=π/4*∫ln(1+r2)dr2
=π/4*[ln(1+r2)*r2-∫r2dln(1+r2)]
=π/4*[ln(1+r2)*r2-∫r2/(1+r2)dr2]
=π/4*[ln2-∫(1-a)/ada]
其中，r自0至1，故ln(1+r2)*r2=2；
a=1+r2,故a自1至2，∫(1-a)/ada=∫1da-∫1/ada=1-ln2
再带回去，就得到：∴∫∫ln(1+x2+y2)dxdy=π/4*[2ln2-1]
注意，2ln2=ln4；r2表示r的平方
设极坐标参量r,a，a是角度。
r^2=x^2+y^2
dxdy=rdrda
代换，原式=ln(1+r^2)rdrda，积分区间r,[0,1];a[0,pi/2]
分离变量分别积分
da积分的pi/2
ln(1+r^2)rdr
可作适当变换,变为1/2*ln(1+r^2)d(1+r^2)
换元Y=1+r^2，积分范围变为[1,2]
得到1/2*lnYdY
用分部积分得到1/2[YlnY-Y]，代入上下限[1,2]得
1/2*(ln4-1)
在乘上da积分的pi/2即得答案。
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