为什么f(x)是偶函数，则∫{0,x}f(t)dt是奇函数 若f(t)是连续函数且为奇函数，证明他的0到x的积分是偶函数...
\u8bc1\u660e\uff1a\u82e5f(x)\u662f\u5947\u51fd\u6570\uff0c\u5219f(t)dt\u57280\u5230x\u4e0a\u7684\u5b9a\u79ef\u5206F(x)\u662f\u5076\u51fd\u6570\u9996\u5148\u8bc1\u660e\u5076\u51fd\u6570\u7684\u5bfc\u6570\u662f\u5947\u51fd\u6570
\u8bbe f(x)\u4e3a\u53ef\u5bfc\u7684\u5076\u51fd\u6570\u3002f(x)=f(-x)
g(x)\u4e3af(x)\u7684\u5bfc\u51fd\u6570\u3002
\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u7684\u81ea\u53d8\u91cf\u4f4d\u7f6e x0
g(x0) = lim[f(x0+dx)-f(x0)]/dx
g(-x0) = lim[f(-x0+dx)-f(-x0)]/dx = lim[f(x0-dx)-f(x0))/dx
f(x)\u53ef\u5bfc\uff0c\u5176\u5de6\u53f3\u5bfc\u6570\u76f8\u7b49\u3002
\u5373\uff1alim[f(x0+dx)-f(x0)]/dx = lim[f(x0)-f(x0-dx)]/dx
\u4e0a\u9762\u8fd9\u4e2a\u7b49\u5f0f\u4e2d\uff0c\u5de6\u7aef\u5c31\u662f g(x0)\u7684\u8868\u8fbe\u5f0f\uff0c\u800c\u53f3\u7aef\u5373\u4e3a -g(-x0)\u7684\u8868\u8fbe\u5f0f\u3002
\u5373 g(x0) = - g(-x0)
x0 \u5177\u5907\u4efb\u610f\u6027\uff0c\u56e0\u6b64 g(x) = - g(-x)
\u5373\u5728 f(x)\u662f\u53ef\u5bfc\u5076\u51fd\u6570\u524d\u63d0\u4e0b\uff0c\u5176\u5bfc\u51fd\u6570\u662f\u5947\u51fd\u6570
\u5219\u4e0a\u8ff0\u95ee\u9898\u5c31\u5f88\u5bb9\u6613\u8bc1\u660e\u4e86
\u58f0\u660e\uff1a\u222b(a,b)f(x)dx=F(x)|(a,b)\u8868\u793af(x)\u4ecea\u5230b\u7684\u5b9a\u79ef\u5206\uff0cF(x)\u4e3a\u539f\u51fd\u6570\u4e4b\u4e00
\u8bbeF(x)=\u222b(0,x)f(t)dt,
F(x)-F(-x)
=\u222b(0,x)f(t)dt-\u222b(0,-x)f(t)d(t)(\u505a\u66ff\u6362s=-t\uff0c\u79ef\u5206\u9650\u76f8\u5e94\u5730\u8ddf\u7740\u53d8)
=\u222b(0,x)f(t)dt-\u222b(0,x)f(-s)d(-s)
=\u222b(0,x)f(t)dt-\u222b(0,x)[-f(s)](-ds)
=\u222b(0,x)f(t)dt-\u222b(0,x)f(s)ds
=0
\u6240\u4ee5F(x)=\u222b(0,x)f(t)dt\u662f\u5076\u51fd\u6570.
则F(-x)=∫[0,-x]f(t)dt
作换元u=-t,则dt=-du,当t从0变到-x时,u从0变到x
F(-x)=∫[0,x]f(-u)*(-du)
=-∫[0,x]f(u)du
=-F(x)
∴F(x)为奇函数
设x1=-t，则dx1=-dt
带入积分F(-x)=∫{0,x}f(-t)dt=-∫{0,-x}f(x1)dx1=-∫{0,x}f(x1)dx1
我感觉这个错了 比如f(x)=x^2 原函数可以是1/3x^3+1根本不是奇函数啊 求解答
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