如图,△abc是直角三角形,∠abc=90°,以ab为直径的圆o交ac于点e,点d是边bc的中点,
\u5982\u56fe\uff0c\u25b3ABC\u662f\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u2220ABC=90\u00b0\uff0c\u4ee5AB\u4e3a\u76f4\u5f84\u7684\u5706O\u89d2AC\u4e8e\u70b9E\uff0c\u70b9D\u662fBC\u8fb9\u7684\u4e2d\u70b9\uff0c\u8fde\u7ed3DE\u3002(1)\u3001\u8fde\u7ed3BE,AB\u662f\u5706\u7684\u76f4\u5f84,<AEB=90\u5ea6,(\u534a\u5706\u4e0a\u5706\u5468\u89d2\u662f\u76f4\u89d2)
\u2235OE\u662f\u659c\u8fb9\u7684\u4e2d\u7ebf\uff08\u534a\u5f84\uff09,
\u2234OE=OB,\u4e09\u89d2\u5f62OBE\u662f\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62,
\u2234<ABE=<OEB,
\u2235\u4e09\u89d2\u5f62BEC\u662f\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62,D\u662fBC\u4e2d\u70b9,
\u2234DE=BD,<BED=<EBD,
<ABE+<DBE=<OEB+<BED=90\u00b0,
\u2234DE\u22a5OE,
\u2234DE\u4e0e\u5706O\u76f8\u5207.
\uff082\u3001BC=2DE=6,AB=2OA=2\u221a3\uff0c
\u6839\u636e\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\uff0cAC=4\u221a3\uff0c
<A=<A,<C=<ABE,
\u25b3ABE\u223d\u25b3ACB\uff0c
AB/AC=AE/AB\uff0cAB^2=AC*AE,
AE=(2\u221a3)^2/(4\u221a3)
=\u221a3.
\u5df2\u77e5\u6761\u4ef6,<ABC=90\u00b0,<ABE+<DBE=<ABC=90\u00b0,
\u8bc1\u660e\uff1a(1)
\u8bbe\u5706\u5fc3\u4e3aO\uff0c\u53ef\u77e5O\u5728AB\u4e2d\u70b9\uff0c
\u8fde\u63a5OB\u3001BE\u3001DE
\u56e0\u4e3aAB\u4e3a\u76f4\u5f84\uff0c\u6240\u4ee5\u2220AEB\u4e3a\u76f4\u89d2
\u5219\u2220BEC\u4e5f\u4e3a\u76f4\u89d2
\u800cDE\u4e3a\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62CEB\u7684\u659c\u8fb9\u4e2d\u7ebf\uff0c
\u6240\u4ee5\u2220DEB=\u2220DBE
\u53c8\u77e5\u5728\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62ABE\u4e2d\uff0c
EO\u4e3a\u659c\u8fb9\u4e2d\u7ebf\uff0c\u6240\u4ee5\u2220OBE=\u2220OEB
\u800c\u2220DBE+\u2220OBE=\u2220ABC=90\u00b0
\u6240\u4ee5\u2220DEB+\u2220OEB=90\u00b0
\u6240\u4ee5OE\u22a5DE
(2)
\u56e0\u4e3aOE=\u6839\u53f73,DE=3
\u5728\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62ODE\u4e2d\uff0c\u7531\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u7684OD=2\u500d\u6839\u53f73
\u5219\u2220DOE=\u2220DOB=60\u00b0
\u5373\u2220EOA=60\u00b0
\u6613\u5f97\u4e09\u89d2\u5f62AOE\u4e3a\u6b63\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c
AE=OE=\u6839\u53f73
\u8bc1\u6bd5~
证明：(1)
设圆心为O，可知O在AB中点，
连接OB、BE、DE
因为AB为直径，所以∠AEB为直角
则∠BEC也为直角
而DE为直角三角形CEB的斜边中线，
所以∠DEB=∠DBE
又知在直角三角形ABE中，
EO为斜边中线，所以∠OBE=∠OEB
而∠DBE+∠OBE=∠ABC=90°
所以∠DEB+∠OEB=90°
所以OE⊥DE
(2)
因为OE=根号3,DE=3
在直角三角形ODE中，由勾股定理的OD=2倍根号3
则∠DOE=∠DOB=60°
即∠EOA=60°
易得三角形AOE为正三角形，
AE=OE=根号3
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