如果n阶矩阵A中的所有元素都是1，求出A的所有特征值？ 一道线性代数方面的题目，如果n阶矩阵A中的所有元素都是1，求...
\u5982\u679cn\u9636\u77e9\u9635\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u90fd\u662f1,\u6c42A\u7684\u6240\u6709\u7279\u5f81\u503c,\u5e76\u6c42A\u7684\u5c5e\u4e8e\u7279\u5f81\u503cn\u9636\u77e9\u9635A\u4e2d\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u90fd\u662f1\uff0c\u5219\u5176\u79e9\u4e3a\uff1ar(A)=1
\u6240\u4ee5\uff0c\u5176\u5fc5\u6709n-1\u4e2a\u7279\u5f81\u503c\u4e3a0.
\u800c\u6839\u636e\u7279\u5f81\u591a\u9879\u5f0f(\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u7684\u77e9\u9635\uff09
f(\u03bb)=\u03bb^n-(a11+a22+a33+..ann\uff09\u03bb^(n-1)+....
\u7531\u6b64\u53ef\u5f97\uff1a
\u03bb1+\u03bb2+...+\u03bbn=a11+a22+a33+..ann
\u8003\u8651A\u77e9\u9635
a11+a22+a33+..ann=a1b1+a2b2+...anbn
A\u4e2d\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u90fd\u662f1
a1b1+a2b2+...anbn
\u800c\u03bb1\uff0c\u03bb2\uff0c...\u03bbn-1=0
\u5219\u53ef\u77e5\u6709\u03bbn=n
\u5bf9\u884c\u5217\u5f0f|\u03bbE-A|\u8fdb\u884c\u5982\u4e0b\u64cd\u4f5c\uff1a
\u628aA\u7684\u7b2c2,3,...,n\u5217\u90fd\u52a0\u5230\u7b2c\u4e00\u5217\uff1b
\u7b2c\u4e00\u5217\u63d0\u53d6\u516c\u56e0\u5b50\u03bb-n\uff1b
\u7b2c\u4e00\u884c\u4e58\u4ee5-1\u52a0\u5230\u4e0b\u9762\u5404\u884c\u3002
\u884c\u5217\u5f0f\u5316\u4e3a\u4e0a\u4e09\u89d2\u884c\u5217\u5f0f\uff0c\u6240\u4ee5|A-\u03bbE|=(\u03bb-n)\u00d7\u03bb^(n-1)\u3002
\u6240\u4ee5A\u7684\u7279\u5f81\u503c\u662fn\u4e0en-1\u4e2a0\u3002
\u8bbe\u5411\u91cf\u03b1=(1,1,...,1)'\uff0c'\u4ee3\u8868\u8f6c\u7f6e\uff0c\u5219\u77e9\u9635A=\u03b1\u03b1'\u3002
A\u03b1=(\u03b1\u03b1')\u03b1=(\u03b1'\u03b1)\u03b1=n\u03b1\uff0c\u6240\u4ee5k\u00d7\u03b1\u662f\u5bf9\u5e94n\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\uff0ck\u662f\u4efb\u610f\u5b9e\u6570\u3002
n阶矩阵A中的所有元素都是1,则其秩为：r(A)=1
所以，其必有n-1个特征值为0
而根据特征多项式(对于任意的矩阵
f(λ)=λ^n-(a11+a22+a33+..ann）λ^(n-1)+.
由此可得：
λ1+λ2+...+λn=a11+a22+a33+..ann
考虑A矩阵
a11+a22+a33+..ann=a1b1+a2b2+...anbn
A中的所有元素都是1
a1b1+a2b2+...anbn
而λ1,λ2,...λn-1=0
则可知有λn=n
扩展资料：
如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν
其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。
参考资料来源：百度百科-特征值
│入E-A│,
作行初等变化，先用第n行分别加到1,2，……，n-1行，
再用1,2，……，n-1列加到第n列
此时行列式变成下三角的，则
│入E-A│=（入-n）入^（n-1）
所以A的特征值为 n（一重），0（n-1重）
n阶矩阵A中的所有元素都是1，则其秩为：r(A)=1
所以，其必有n-1个特征值为0.
而根据特征多项式(对于任意的矩阵）
f(λ)=λ^n-(a11+a22+a33+..ann）λ^(n-1)+....
由此可得：
λ1+λ2+...+λn=a11+a22+a33+..ann
考虑A矩阵
a11+a22+a33+..ann=a1b1+a2b2+...anbn
A中的所有元素都是1
a1b1+a2b2+...anbn
而λ1，λ2，...λn-1=0
则可知有λn=n
特征值是n和0.用降阶法。
lambda[1]=n
lambda[2]=...=lambda[n]=0
A和 diag（n,0,0,...,0）相似
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绛旓細浠绘剰鐭╅樀A鍙寲涓哄叾绾︽棪鏍囧噯鍨 B^-1JB J鏄疉鐨勭害鏃︽爣鍑嗗瀷 B鏄彲閫嗛樀 宸︿箻鎴栧彸涔樺彲閫嗛樀涓嶆敼鍙樼煩闃电殑绉 鎵浠ank(A)=rank(J)鑰孞鏄竴涓笂涓夎闃 寰堟槑鏄句粬鐨勭З灏=鐗瑰緛鍊间笉涓0鐨勪釜鏁 鑻鏄墍鏈夊厓绱鍧囦负1鐨n闃舵柟闃锛屽畠鐨勭З=1锛屾墍浠涓壒寰佸煎彧鏈変竴涓笉涓0锛屽叾浣欏叏涓0锛屾墍浠ョ瓟妗堟槸2 ...
绛旓細鑰冭檻鍒楀悜閲弜=(1, 1, ..., 1)瀹冨拰璇鐭╅樀鐨涔樼Н鏄(a,a,...,a)瀹冩弧瓒矨x = ax锛屽洜姝a鏄鐗瑰緛鍊硷紝x鏄壒寰佸悜閲
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绛旓細鍥犱负A涓姣忚鍏冪礌涔嬪拰閮芥槸5 鎵浠 (1,1,...,)^T 鏄疉鐨勫睘浜庣壒寰佸5鐨勭壒寰佸悜閲 鎵浠 (1,1,...,)^T 鏄疉^-1鐨勫睘浜庣壒寰佸1/5鐨勭壒寰佸悜閲 鎵浠 A^-1鐨勬瘡琛屽厓绱犱箣鍜屾槸 1/5
