若函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0的某邻域内必定连续... 这不是对的吗.?????? 若是错的话..求反例.. 若函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0的某邻域内必...
\u82e5\u51fd\u6570f(x)\u5728\u70b9x0\u5904\u53ef\u5bfc\uff0c\u5219f(x)\u5728\u70b9x0\u7684\u67d0\u90bb\u57df\u5185\u5fc5\u5b9a\u8fde\u7eed\u4e3a\u4ec0\u4e48\u4e0d\u6b63\u786e\uff1ff(x)=x^2D(x)\uff0cD(x)\u5c31\u662fDirichlet\u51fd\u6570\uff0c\u6709\u7406\u70b9\u4e3a1\uff0c\u65e0\u7406\u70b9\u4e3a0\u3002\u5219f'(0)=lim (f(x)-f(0))/(x-0)=0\uff0cf\u57280\u53ef\u5bfc\uff0c\u4f46f(x)\u57280\u8fde\u7eed\uff0c\u5728\u4e0d\u7b49\u4e8e0\u7684\u4efb\u610f\u5730\u65b9\u90fd\u4e0d\u8fde\u7eed\u3002
\u9519\u4e2a\u6bdb
\u82e5\u51fd\u6570f(x)\u5728\u70b9x0\u5904\u53ef\u5bfc\uff0c\u5219f(x)\u5728\u70b9x0\u7684\u67d0\u90bb\u57df\u5185\u5fc5\u5b9a\u8fde\u7eed \u8fd9\u662f\u6b63\u786e\u7684
\u53ea\u662f\u6b64\u90bb\u57df\u975e\u5e38\u5c0f\uff0c\u4f46\u662f\u662f\u7edd\u5bf9\u6709\u7684\uff01
\u771f\u8981\u8bf4\u5b83\u662f\u9519\u7684 \uff0c\u8fd9\u79cd\u60c5\u51b5\u7b97\u4e0d\u7b97\uff1a
\u5047\u8bbe\u51fd\u6570f\uff08x\uff09\u7684\u5b9a\u4e49\u57df\u4e3a\uff08a\uff0cb] \uff0cf\uff08x\uff09\u5728x0=b\u5904\u53ef\u5bfc\uff0c\u90a3\u4e48\u5c31\u53ea\u662f\u5728x0\u7684\u5de6\u9886\u57df\u8fde\u7eed\uff0c\u800c\u4e0d\u662fx0\u7684\u9886\u57df
若函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0的某邻域内必定连续，这句话是错误的。
举例说明：
f(x)=0，当x是有理数
f(x)=x^2，当x是无理数
只在x=0处点连续，并可导，按定义可验证在x=0处导数为0
但f(x) 在别的点都不连续
函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。
扩展资料：
导数是一个数，是指函数f(x)在点x0处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点。
设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间y'>0，那么函数y=f(x)在这个区间上为增函数：如果在这个区间y'<0，那么函数y=f(x)在这个区间上为减函数；如果在这个区间y'=0，那么函数y=f(x)在这个区间上为常数函数。
若函数在x0可导，则函数在x0点连续，但是却不一定在该点的某领域内连续。比如函数
f(x)在x取值为有理数时函数值为x^2，在x取值为无理数时函数取值为0。
可以按导数定义证明其在0处的导数为0，在x=0时可导，其次，可以证明在x=0以外的任何点都不连续。所以在0的任何领域内都不可能满足连续性条件。
呵呵，刚做了个例子，复制过来就可以啦。
f(x)=0 当x是有理数。
f(x)=x^2 当 x是无理数。
只在x=0处点连续，并可导。按定义可验证在x=0处导数为0.
但f(x) 在别的点都不连续。
f（x）=x^2， x是有理数；
f（x）=0， x是无理数。
那么你可以证明f（x）在x=0处可导而且导数等于0，可是在0的任意领域内都有不可导的点。
绛旓細鑰屽鏁扮殑瀹氫箟鏄細璁鍑芥暟y=f(x)鍦ㄧ偣x0鐨勬煇涓偦鍩熷唴鏈夊畾涔夛紝褰撹嚜鍙橀噺x鍦x0澶勬湁澧為噺螖x锛(x0+螖x)涔熷湪璇ラ偦鍩熷唴鏃讹紝鐩稿簲鍦板嚱鏁板彇寰楀閲徫攜=f(x0+螖x)-f(x0)锛涘鏋溛攜涓幬攛涔嬫瘮褰撐攛鈫0鏃舵瀬闄愬瓨鍦紝鍒欑О鍑芥暟y=f(x)鍦ㄧ偣x0澶勫彲瀵硷紝骞剁О杩欎釜鏋侀檺涓哄嚱鏁皔=f(x)鍦ㄧ偣x0澶勭殑瀵兼暟璁颁綔鈶...
绛旓細閫塀 鍑芥暟鍦▁0澶勫彲瀵鏄叾鍦▁0澶勫彲寰殑,鏁匘姝ｇ‘ 鍙堝洜鍑芥暟鍙蹇呰繛缁,杩炵画涓嶄竴瀹鍙,鏁匔姝ｇ‘ 鑰岃繛缁寚:x瓒嬩簬x0+,x0-鏃,limf(x)=f(x0),鏁呭嚱鏁板湪x0澶勬湁鎰忎箟,A姝ｇ‘,B閿欒
绛旓細lim(x->x0) [F(x)-F(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0) [f(x)+g(x)-f(x0)-g(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0) [f(x)-f(x0)]/(x-x0) + lim(x->x0) [g(x)-g(x0)]/(x-x0)鍥犱负 f(x) 鍦 x0 澶勫彲瀵,鑰 g(x) 鍦 x0 澶勪笉鍙,鎵浠ヤ笂寮忎腑,绗竴涓瀬闄愬瓨鍦ㄨ...
绛旓細绠鍗曞垎鏋愪竴涓嬶紝绛旀濡傚浘鎵绀 澶囨敞
绛旓細璁颁綇瀵兼暟鐨勫熀鏈畾涔夊紡 lim(鈻硏瓒嬩簬0)[f(x0)-f(x0-鈻x)]=f'(x0)鍦杩欓噷鐨勫紡瀛 鏄剧劧灏辨槸绉诲姩浜嗕竴涓礋鍙 鎵浠ョ粨鏋滀负-f'(x0)
绛旓細f(x)=x^2D(x)锛孌(x)灏辨槸Dirichlet鍑芥暟锛屾湁鐞嗙偣涓1锛屾棤鐞嗙偣涓0銆傚垯f'(0)=lim (f(x)-f(0))/(x-0)=0锛宖鍦0鍙锛浣f(x)鍦0杩炵画锛屽湪涓嶇瓑浜0鐨勪换鎰忓湴鏂归兘涓嶈繛缁
绛旓細瑙ｇ瓟锛鍑芥暟y=f(x)鍦ㄧ偣x0澶勫彲瀵硷紝涓攆'(x0)=a 鍒 lim鈻硏鈫0 f(x0鈥撯柍x)鈥揻(x0)/鈻硏 =f'(x0)=a 鈭 lim鈻硏鈫0 f(x0鈥2鈻硏)鈥揻(x0)/2鈻硏 =f'(x0)=a 鈭 lim鈻硏鈫0 f(x0鈥2鈻硏)鈥揻(x0)/鈻硏 =2a ...
绛旓細涓鍙锛鍥犱负[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),浣嗘槸g(x)涓嶅彲瀵硷紝鎵浠ヤ笉鍙銆
绛旓細閿 宸﹁竟琛ㄧず鍑芥暟鍦閭ｇ偣鐨瀵兼暟鍊 鍙宠竟琛ㄧず涓涓叿浣撴暟鐨勫鏁板硷紝涔熷氨鏄0
绛旓細f(x)鍦x0澶勫彲瀵硷紝璇存槑f(x)鍦▁0澶勫乏瀵兼暟锛濆彸瀵兼暟锛佹墍浠ュ乏鏋侀檺锛濆彸鏋侀檺锛佸嵆lim(x鈫抶0锛)f(x)锛漧im(x鈫0锛)f(x)鏃㈢劧宸︽瀬闄愶紳鍙虫瀬闄愶紝璇存槑鍑芥暟f(x)鍦x0澶勬槸琛旀帴涓婄殑銆傛晠杩炵画锛
