当x趋近于0时,sin²x等价于多少 为什么当x趋近于0的时候，sinx等价于x？

\u5f53x\u8d8b\u8fd1\u4e8e0\u65f6\uff0cxsin\u8d8b\u4e8e\u591a\u5c11

\u5f53x\u8d8b\u8fd1\u4e8e0\u65f6 sinX\u7684\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u662fx \u6240\u4ee5 xsinx\u8d8b\u8fd1\u4e8e1

\u56e0\u4e3a\uff1alim(x~0)sinx/x=1
\u7ed3\u679c\u4e3a1\u8bf4\u660e\u4e86sinx\u4e0ex\u662f\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f
\u65e2\u7136\u662f\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c
\u6240\u4ee5\u5f53x~0\u7684\u65f6\u5019\uff0csinx~x
\u8fd9\u6837\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\u6709\uff1atanx~x~sinx~ln\uff081+x\uff09
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u4e00\u4e2a\u5b9e\u6570x\u90fd\u5bf9\u5e94\u7740\u552f\u4e00\u7684\u89d2\uff08\u5f27\u5ea6\u5236\u4e2d\u7b49\u4e8e\u8fd9\u4e2a\u5b9e\u6570\uff09\uff0c\u800c\u8fd9\u4e2a\u89d2\u53c8\u5bf9\u5e94\u7740\u552f\u4e00\u786e\u5b9a\u7684\u6b63\u5f26\u503csinx\uff0c\u8fd9\u6837\uff0c\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u4e00\u4e2a\u5b9e\u6570x\u90fd\u6709\u552f\u4e00\u786e\u5b9a\u7684\u503csinx\u4e0e\u5b83\u5bf9\u5e94\uff0c\u6309\u7167\u8fd9\u4e2a\u5bf9\u5e94\u6cd5\u5219\u6240\u5efa\u7acb\u7684\u51fd\u6570\uff0c\u8868\u793a\u4e3ay=sinx\uff0c\u53eb\u505a\u6b63\u5f26\u51fd\u6570\u3002
\u9006\u65f6\u9488\u65b9\u5411\u7684\u5ea6\u91cf\u662f\u6b63\u89d2\u800c\u987a\u65f6\u9488\u7684\u5ea6\u91cf\u662f\u8d1f\u89d2\u3002\u8bbe\u4e00\u4e2a\u8fc7\u539f\u70b9\u7684\u7ebf\uff0c\u540cx\u8f74\u6b63\u534a\u90e8\u5206\u5f97\u5230\u4e00\u4e2a\u89d2\u03b8\uff0c\u5e76\u4e0e\u5355\u4f4d\u5706\u76f8\u4ea4\u3002\u8fd9\u4e2a\u4ea4\u70b9\u7684y\u5750\u6807\u7b49\u4e8e sin\u03b8\u3002\u5728\u8fd9\u4e2a\u56fe\u5f62\u4e2d\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\u786e\u4fdd\u4e86\u8fd9\u4e2a\u516c\u5f0f\uff1b\u534a\u5f84\u7b49\u4e8e\u659c\u8fb9\u5e76\u6709\u957f\u5ea6 1\uff0c\u6240\u4ee5\u6709\u4e86 sin\u03b8=y/1\u3002

sin²x=(1-cos2x)/2
而1-cos2x~1/2·(2x)²~2x²
所以sin²x=2x²/2
即等价于x²

等价于
二阶无穷小。
仍然是等价于零。

解: 方法一:应用等阶无穷小 因为当x->0时,sin2x与2x等阶,sin5x与5x等阶. 故lim(sin2x/sin5x)=lim2x/5x=2/5 方法二:应用洛必达法则 当x->0时,满足0/0型.故可用洛必达法则 lim(sin2x/sin5x)=lim(sin2x)'/(sin5x)'=lim2cos2x/(5cos5x)=2cos0/(5cos0。

x的平方

所以，0和x²哪一个对

sinx鍦▁瓒嬩簬0鐨勬瀬闄愭槸澶氬皯?
绛旓細1锛褰搙鏃犻檺瓒嬭繎浜0鏄紝sinx/x=1 杩欐槸楂樼瓑鏁板涔︿笂鐨勫畾鐞嗐2锛氳屽綋x鏃犻檺瓒嬭繎浜庢棤绌风殑鏃跺欙紝sinx/x=0.杩欎釜鏃跺欏彲浠ユ妸x褰撳仛鏃犵┓灏忕殑涓涓暟锛岃sinx鏄湁鐣屽嚱鏁帮紝鍏惰寖鍥翠负銆-1--1銆戙傚浘涓涓烘寮﹀嚱鏁帮紝鍥句簩涓轰綑寮﹀嚱鏁般傛棤绌峰皬鐨勫嚱鏁*鏈夌晫鍑芥暟锛岀粨鏋滆嚜鐒舵槸鏃犵┓灏忋傚嵆缁撴灉涓0.鎵╁睍闃呰锛氬嚱鏁扮殑浼犵粺瀹...

涓轰粈涔x瓒嬪悜浜0鐨勬椂鍊檚inx=0鍛?
绛旓細鍦ㄨ繖閲岋紝sinx鏄竴涓懆鏈熸у嚱鏁帮紝鍦ㄦ煇浜涚壒瀹氱偣涓婄瓑浜庨浂锛屾瘮濡俿in(0) = 0銆褰搙瓒嬭繎浜0鐨勬椂鍊欙紝sinx鐨勫间篃瓒嬭繎浜0锛屽洜姝inx鏄x瓒嬭繎浜0鏃鐨勪竴涓棤绌峰皬閲忋

褰搙瓒嬪悜浜0鏃, sin(x)鏈夋瀬闄愬悧?
绛旓細鐢变簬鍒嗘瘝涓 0锛岃繖涓瀬闄愭槸涓涓笉瀛樺湪鐨勬瀬闄愩傝繖鎰忓懗鐫 x/sin(x) 鍦 x 0 鏃舵病鏈夊畾涔夋瀬闄愩傛崲鍙ヨ瘽璇达紝褰 x 瓒嬭繎浜 0 鏃锛寈/sin(x) 鐨勫兼病鏈変竴涓‘瀹氱殑鏋侀檺銆

褰搙瓒嬩簬0鏃秙inx鐨勬瀬闄愭槸澶氬皯?
绛旓細lim锛坸鈫0锛塻inx=0 褰搙瓒嬩簬0鏃秙inx鐨勬瀬闄愭槸0

x瓒嬭繎浜0,sinx鐨勬瀬闄愭槸鍚﹀瓨鍦
绛旓細绛旓細鏄瓨鍦ㄧ殑銆傚洜涓哄綋x宸﹁秼杩0鏃讹紝sinx=0 鍚岀悊锛屽綋x鍙宠秼杩0鏃讹紝sinx涔熶负0 鎵浠ワ紝褰搙瓒嬭繎浜0鏃锛宻inx=0 绁濆涔犺繘姝ワ紝鎰夊揩

涓轰粈涔褰搙瓒嬭繎浜0鐨勬椂鍊,sinx绛変环浜巟?
绛旓細鍥犱负锛歭im(x~0)sinx/x=1 缁撴灉涓1璇存槑浜唖inx涓巟鏄瓑浠锋棤绌峰皬 鏃㈢劧鏄瓑浠锋棤绌峰皬锛屾墍浠褰搙~0鐨勬椂鍊欙紝sinx~x 杩欐牱鐨勬棤绌峰皬鏈夛細tanx~x~sinx~ln锛1+x锛

sinx鍦x瓒嬭繎浜0鏃鏋侀檺瀛樺湪鍚?
绛旓細x瓒嬭繎浜0鏃,sinx鍒嗕箣涓鐨勬瀬闄愬涓 锛1銆褰 x鈫0鏃讹紝sin(1/x) 鐨勫煎湪[-1,1]鍐呮尝鍔紝鏋侀檺褰撶劧涓嶅瓨鍦 2銆佽 x*sin(1/x) 鏄剧劧鏄秼浜0鐨 鈥滄瀬闄愨濇槸鏁板涓殑鍒嗘敮鈥斺斿井绉垎鐨勫熀纭姒傚康銆傚箍涔夌殑鈥滄瀬闄愨濇槸鎸団滄棤闄愰潬杩戣屾案杩滀笉鑳藉埌杈锯濈殑鎰忔濄傛暟瀛︿腑鐨勨滄瀬闄愨濇寚锛氭煇涓涓嚱鏁颁腑鐨勬煇涓涓...

涓轰粈涔褰搙瓒嬭繎浜0鏃秙in(1/ x)涓嶈秼浜庨浂?
绛旓細杩欑被闂瑕佺湅鏈夌晫鍙橀噺鏄惁鍖呭惈涓洪浂鐨勬椂鍐呭欙紝甯告暟闆朵笌鏃犵┓澶у閲忎箻绉繕鏄瓑浜庨浂鐨勩傝闂涓褰搙瓒嬩簬0鏃秙in(1/x)鏄湁绛変簬闆剁殑鍙兘鐨勩傛墍浠ヨ闂鏋侀檺涓嶅瓨鍦紝涓旀棤鐣屻傚綋1/x=k蟺鏃讹紝f(x)=1/x*sin(1/x)=0銆傚綋1/x=k蟺+蟺/2鏃讹紝f(x)=1/x*sin(1/x)--->+鈭炪

涓轰粈涔堝湪x瓒嬩簬0鏃, sin(1/ x)娌℃湁鏋侀檺?
绛旓細棣栧厛瑕佹槑纭紝鏋侀檺鏄竴涓湁闄愮殑,纭畾鐨勫父鏁帮紝褰搙瓒嬩簬0鏃,1/x瓒嬭繎浜鏃犵┓棣栧厛鎴戜滑鏄庣‘锛屾瀬闄愭槸涓涓湁闄愮殑,纭畾鐨勫父鏁帮紝鍥犱负sinx鏄竴涓懆鏈熷嚱鏁帮紙骞呭兼槸-1鍒1锛屽懆鏈熸槸2蟺锛夛紝鎵浠in1/x鐨勫浘鍍忔槸娉㈠姩锛屽洜姝や笉瀛樺湪鏋侀檺锛屽涓嬪浘鎵绀猴細

sinx浠0宸﹁竟瓒鍜屽彸杈硅秼涓轰粈涔堜竴鏍
绛旓細鍥犱负sin(x)鍑芥暟鐨勫畾涔夋槸閫氳繃涓夎姣斾緥鍏崇郴寰楀埌鐨勶紝瀹冪殑鍊煎湪0鍒跋涔嬮棿鏄崟璋冮掑鐨勶紝鑰屽湪蟺鍒2蟺涔嬮棿鏄崟璋冮掑噺鐨勩傛牴鎹煡璇㈢浉鍏冲叕寮淇℃伅鏄剧ず锛褰搙瓒嬭繎浜0鏃讹紝sin(x)鍑芥暟鐨勫间粠宸﹁竟鍜屽彸杈归兘浼氳秼杩戜簬0锛屽嵆宸︽瀬闄愬拰鍙虫瀬闄愮浉绛夛紝浠庤宻in(x)鍑芥暟鍦0澶勫瓨鍦ㄦ瀬闄愶紝鍗砽im(x鈫0)sin(x)=0锛岃繖涔熸槸sin(x)...

扩展阅读：1 xsin1 x的图像 ... lim极限公式大全 ... sin3x x趋近于0 ... sin cos tan度数公式 ... sin x ... sin2x万能公式大全 ... sin tan cos函数表 ... sin π α 诱导公式 ... xsin1x当x趋近于0时的极限 ...