正四面体内切球和外接球体积比 正四面体内切球与外接球的体积的比是多少？为什么
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\u8bbe\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u4e3aABCD\uff0c\u8fc7A\u505a\u5e95\u9762BCD\u7684\u5782\u7ebf\uff0c\u5782\u8db3\u4e3aM\uff0cM\u662f\u25b3BCD\u7684\u91cd\u5fc3\uff08\u4e09\u5fc3\u5408\u4e00\uff09\uff0c\u82e5\u8bbe\u8fb9\u957f\u4e3a1\uff0c\u5219\u53ef\u6c42\u5f97BM=2/3 * \u221a3/2 =\u221a3/3\uff0c\u5219AM=\u221a6/3,\u3002\u7136\u540e\u5728\u9762ABM\u4e2d\u505aAB\u7684\u5782\u76f4\u5e73\u5206\u7ebf\u4ea4AM\u4e8e\u70b9O\uff0c\u4ea4AB\u4e0e\u70b9N\u3002\u53ef\u8bc1\u660eAO=BO=CO=DO\uff0c\u4e14O\u5230\u9762ABC\uff0cBCD\uff0cCDA\u3001BCA\u7684\u8ddd\u79bb\u76f8\u7b49\u3002\u6240\u4ee5O\u5c31\u662f\u5916\u63a5\u7403\u8ddf\u5185\u5207\u7403\u7684\u7684\u7403\u5fc3\uff0c\u6545\u800c\u4f53\u79ef\u6bd4\u5c31\u662f\u534a\u5f84\u6bd4\u7684\u7acb\u65b9\u3002\u663e\u7136Rt\u25b3ABM\u223dRt\u25b3AON\uff0c\u6709AB/AM=AO/AN,2AN=AB.\u53ef\u6c42\u5f97AO=\u221a6/4\uff0c\u6545\u800cOM=AM-AO=\u221a6/3-\u221a6/4=\u221a6/12. \u6240\u4ee5\u534a\u5f84\u6bd4\u4e3a OM\uff1aAO= 1:3\uff0c\u6240\u4ee5\u4f53\u79ef\u6bd4\u4e3a1:27
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1\u3001\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u5916\u63a5\u7403\u534a\u5f84R\u5c31\u662f\u6b63\u65b9\u4f53\u5bf9\u89d2\u7ebf\u76842\u5206\u4e4b1\uff0c\u5219R=(1/2)\u221a3a\uff0c
2\u3001\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u5185\u5207\u7403\u534a\u5f84\u4e3ar\uff0c\u5219\u5229\u7528\u4f53\u79ef\uff0c\u5f97\uff1a
(1/3)a�0�6=(1/3)\u00d7[4\u00d7(\u221a3/4)\u00d7(2a�0�5)]\u00d7r
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\u221a2\uff1a4\u3002\u901a\u8fc7\u6a2a\u5207\u9762\u53ef\u77e5\uff0c\u5185\u5207\u7403\u534a\u5f84\u4e0e\u5916\u63a5\u7403\u7684\u534a\u5f84\u6bd4\u4e3a1\uff1a\u221a2\uff0c\u901a\u8fc7\u7403\u4f53\u516c\u5f0fV\uff1d(4\u220fR^3)/3 \uff0c\u53ef\u77e5\uff0c\u7403\u4f53\u4f53\u79ef\u6bd4\u662f\u7403\u534a\u5f84\u6bd4\u7684\u7acb\u65b9\uff0c\u6240\u4ee5\u7403\u4f53\u4f53\u79ef\u6bd4\u4e3a\uff1a1\uff1a2\u221a2\uff1d\u221a2\uff1a4\u3002
假设：正四面体的边长为√2a，则这个正四面体可以看成是由边长为a的正方体切割出来的。1、正四面体的外接球半径R就是正方体对角线的2分之1，则R=(1/2)√3a，
2、正四面体的内切球半径为r，则利用体积，得：
(1/3)a³=(1/3)×[4×(√3/4)×(2a²)]×r
得：r=[1/(2√3)]a
则半径之比是1：3，则体积之比是1：27
由正四面体体心连接四个顶点，可知四个小四棱锥体积相等。且体心在三棱锥各底面高的交点上。内切球圆心半径就是小四棱锥高，外接圆半径是小四棱锥侧棱。由体积相等可知，4H小=H大；可知R大=3R小，体积公式消掉后就是R的立方，体积比1：27
外接球半径为棱长的√6/4倍。
棱长=√3/(2√6/4)=√2
正四面体的体积是=根号2
a^3/12=1
/3
参考资料：baike.baidu.com/view/560620.html
1:27
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