线性代数、一个矩阵的转置等于它的伴随,怎样求到它。 线性代数矩阵转置的伴随等于伴随的转置吗？
A\u7684\u4f34\u968f\u77e9\u9635\u7b49\u4e8eA\u7684\u8f6c\u7f6e\u77e9\u9635\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662faij\uff1dAij \u5982\u4f55\u8bc1\u660e?aij\u662fA\u7684\u7b2ci\u884cj\u5217\u5143\u7d20\uff0c\u5373A'\u7684\u7b2cj\u884ci\u5217\u5143\u7d20\uff0cAij\u662fA*\u7684\u7b2cj\u884ci\u5217\u4e2a\u5143\u7d20\u3002\u8981\u4f7fA'=A*,\u90a3\u4e48aij=Aij\u3002
\u5728\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u4e2d\uff0c\u4e00\u4e2a\u65b9\u5f62\u77e9\u9635\u7684\u4f34\u968f\u77e9\u9635\u662f\u4e00\u4e2a\u7c7b\u4f3c\u4e8e\u9006\u77e9\u9635\u7684\u6982\u5ff5\u3002\u5982\u679c\u4e8c\u7ef4\u77e9\u9635\u53ef\u9006\uff0c\u90a3\u4e48\u5b83\u7684\u9006\u77e9\u9635\u548c\u5b83\u7684\u4f34\u968f\u77e9\u9635\u4e4b\u95f4\u53ea\u5dee\u4e00\u4e2a\u7cfb\u6570\uff0c\u5bf9\u591a\u7ef4\u77e9\u9635\u4e5f\u5b58\u5728\u8fd9\u4e2a\u89c4\u5f8b\u3002\u7136\u800c\uff0c\u4f34\u968f\u77e9\u9635\u5bf9\u4e0d\u53ef\u9006\u7684\u77e9\u9635\u4e5f\u6709\u5b9a\u4e49\uff0c\u5e76\u4e14\u4e0d\u9700\u8981\u7528\u5230\u9664\u6cd5\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u77e9\u9635\u53d8\u6362\u5e94\u7528
1\u3001\u5206\u5757\u77e9\u9635
\u77e9\u9635\u7684\u5206\u5757\u662f\u5904\u7406\u9636\u6570\u8f83\u9ad8\u77e9\u9635\u65f6\u5e38\u7528\u7684\u65b9\u6cd5,\u7528\u4e00\u4e9b\u8d2f\u7a7f\u4e8e\u77e9\u9635\u7684\u7eb5\u7ebf\u548c\u6a2a\u7ebf\u5c06\u77e9\u9635\u5206\u6210\u82e5\u5e72\u5b50\u5757\uff0c\u4f7f\u5f97\u9636\u6570\u8f83\u9ad8\u7684\u77e9\u9635\u5316\u4e3a\u9636\u6570\u8f83\u4f4e\u7684\u5206\u5757\u77e9\u9635\uff0c\u5728\u8fd0\u7b97\u4e2d,\u6211\u4eec\u6709\u65f6\u628a\u8fd9\u4e9b\u5b50\u5757\u5f53\u4f5c\u6570\u4e00\u6837\u6765\u5904\u7406,\u4ece\u800c\u7b80\u5316\u4e86\u8868\u793a\uff0c\u4fbf\u4e8e\u8ba1\u7b97\u3002
\u5206\u5757\u77e9\u9635\u6709\u76f8\u5e94\u7684\u52a0\u6cd5\u3001\u4e58\u6cd5\u3001\u6570\u4e58\u3001\u8f6c\u7f6e\u7b49\u8fd0\u7b97\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u4e5f\u53ef\u8fdb\u884c\u521d\u7b49\u53d8\u6362\u3002 \u5206\u5757\u77e9\u9635\u7684\u521d\u7b49\u53d8\u6362\u662f\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u4e2d\u91cd\u8981\u800c\u57fa\u672c\u7684\u8fd0\u7b97\uff0c\u5b83\u5728\u7814\u7a76\u77e9\u9635\u7684\u884c\u5217\u5f0f\u3001\u7279\u5f81\u503c\u3001\u79e9\u7b49\u5404\u79cd\u6027\u8d28\u53ca\u6c42\u77e9\u9635\u7684\u9006\u3001\u89e3\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u65b9\u7a0b\u7ec4\u4e2d\u6709\u7740\u5e7f\u6cdb\u7684\u5e94\u7528\u3002
2\u3001\u6c42\u6f14\u5316\u77e9\u9635
\u5df2\u77e5\u77e9\u9635A \u76f8\u4f3c\u4e8e\u77e9\u9635B\uff0c\u501f\u52a9\u521d\u7b49\u53d8\u6362\u7684\u65b9\u6cd5\uff0c\u53ef\u4ee5\u6784\u9020\u6027\u7684\u83b7\u5f97\u6f14\u5316\u77e9\u9635P\u3002\u5373\u627e\u5230\u5177\u4f53\u7684\u53ef\u9006\u77e9\u9635P\uff0c\u4f7fB = P^(-1)AP\uff0c\u7531B =P^(-1)AP\uff0c\u53ef\u5f97AP =PB\uff0c\u5c06P \u7684\u5143\u7d20\u8bbe\u4e3a\u672a\u77e5\u91cf\uff0c\u7531\u77e9\u9635\u7684\u4e58\u6cd5\u53ca\u4e24\u77e9\u9635\u76f8\u7b49\u53ef\u5f97\u4e00\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\uff0c\u7531\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u4e00\u4e2a\u975e\u96f6\u89e3\u5373\u53ef\u5f97\u5230\u4e00\u4e2a\u8981\u6c42\u7684\u6f14\u5316\u77e9\u9635\u3002
\u77e9\u9635\u8f6c\u7f6e\u7684\u4f34\u968f=\u4f34\u968f\u7684\u8f6c\u7f6e
-----经用户 "电灯剑客" 指点后重新作答---------用右上方一撇表示转置,用adj(A)表示伴随矩阵(adjugate matrix).
限于我的水平(和精神状态),仅供参考.
假设实数域上的 n by n 矩阵 A 满足 , A' = adj(A).
利用公式
A adj(A) = adj(A) A = |A| E
如果 A 不可逆,那么 A A' = A' A = O , 于是 A 是零矩阵 (因为一般 矩阵 A 与 A'A 的 rank 相同).
如果 A 可逆 , 根据 A A' = A' A = |A| E 是正定矩阵得 |A| > 0 , 而取行列式得到等式
|A|^2 = |A|^n
当 n 不是 2 时, 显然 A 的行列式是 1 , 从而
A A' = A' A = E
A 是正交矩阵.
当 n = 2 时, A 等于 a P , 其中 a 是任意正实数(事实上 a 是 det(A) 的正的平方根), P 是行列式等于 1 的正交矩阵.由于行列式为 1 的正交矩阵 只有一种形式,就是
[ cos θ , -sin θ ]
[ sin θ , cos θ ]
似乎叫做 rotation matrix , 可参考 wikipedia . 最终得到:
[[结论]] 实数域上的 n by n 矩阵中, 满足 A' = adj(A) 的实矩阵的全体是以下的几种:
1) 零矩阵.
2) n 不是 2 时, 行列式等于 1 的正交阵.
3) n = 2 时, A 形如
[ x , - y ]
[ y , x ]
其中 x, y 是任意的实数.
这个结论正确，但A^2=/A/是错误的
由题意得
A*A'=A*adj(A)=|A|E
两遍同取行列式，得
|A|*|A'|=|A|
因为 |A'|=|A|，故 |A|^2=|A|，所以|A|=0或者|A|=1。
当|A|=0时，A*A'=0E=零矩阵，
故有A=零矩阵；
当|A|=1时，A*A'=E，
所以A'=A的逆，此时A为正交矩阵。
因此最终结果是 A为零矩阵或者正交矩阵。
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