平面几何欧拉定理是怎么证明的？画图 欧拉公式平面几何证明
\u5e73\u9762\u51e0\u4f55\u6b27\u62c9\u5b9a\u7406\u662f\u600e\u4e48\u8bc1\u660e\u7684\uff1f\u753b\u56fe\u8bbe\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5916\u63a5\u5706\u534a\u5f84\u4e3aR\uff0c\u5185\u5207\u5706\u534a\u5f84\u4e3ar\uff0c\u5916\u5fc3\u4e0e\u5185\u5fc3\u7684\u8ddd\u79bb\u4e3ad\uff0c\u5219d^2=R^2-2Rr\uff0e
\u8bc1\u660e
\u3000\u3000O\u3001I\u5206\u522b\u4e3a\u22bfABC\u7684\u5916\u5fc3\u4e0e\u5185\u5fc3\uff0e \u3000\u3000\u8fdeAI\u5e76\u5ef6\u957f\u4ea4\u2299O\u4e8e\u70b9D\uff0c\u7531AI\u5e73\u5206ÐBAC\uff0c\u6545D\u4e3a\u5f27BC\u7684\u4e2d\u70b9\uff0e \u3000\u3000\u8fdeDO\u5e76\u5ef6\u957f\u4ea4\u2299O\u4e8eE\uff0c\u5219DE\u4e3a\u4e0eBC\u5782\u76f4\u7684\u2299O\u7684\u76f4\u5f84\uff0e \u3000\u3000\u7531\u5706\u5e42\u5b9a\u7406\u77e5\uff0cR2-d2=(R+d)(R-d)=IA\u00b7ID\uff0e\uff08\u4f5c\u76f4\u7ebfOI\u4e0e\u2299O\u4ea4\u4e8e\u4e24\u70b9\uff0c\u5373\u53ef\u7528\u8bc1\u660e\uff09 \u3000\u3000\u4f46DB=DI\uff08\u53ef\u8fdeBI\uff0c\u8bc1\u660eÐDBI=ÐDIB\u5f97\uff09\uff0c \u3000\u3000\u6545\u53ea\u9700\u8bc12Rr=IA\u00b7DB\uff0c\u53732R\u2236DB=IA\u2236r \u5373\u53ef\uff0e \u3000\u3000\u800c\u8fd9\u4e2a\u6bd4\u4f8b\u5f0f\u53ef\u7531\u22bfAFI\u223d\u22bfEBD\u8bc1\u5f97\uff0e\u6545\u5f97R^2-d^2=2Rr\uff0c\u5373\u8bc1\uff0e
\u4f60\u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u7528\u767e\u5ea6\u641c\u5230\u6b27\u62c9\u5b9a\u7406\u7684\u8bc1\u660e
设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr．证明
O、I分别为⊿ABC的外心与内心．
连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点．
连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径．
由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明）
但DB=DI（可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得），
故只需证2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r
即可．
而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R^2-d^2=2Rr，即证．
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