【高数】我们可以证明有限个无穷小的代数和仍然是无穷小， 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。求解释

\u9ad8\u6570\u95ee\u9898\uff0c\u60f3\u77e5\u9053\u5982\u4f55\u8bc1\u660e\u6709\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u4e58\u79ef\u8fd8\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u5462\uff1f\uff1f\uff1f\u6c42\u8be6\u89e3

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\u56e0\u4e3a\u6bd4\u5982\u6211\u4eec\u77e5\u9053lim(a_n + b_n) = lim a_n + lim b_n\uff08\u4e24\u4e2a\u6570\u5217\u7684\u548c\u7684\u6781\u9650\u662f\u5b83\u4eec\u6781\u9650\u7684\u548c\uff09\uff0c\u8fd9\u544a\u8bc9\u6211\u4eec\u4e24\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u548c\u4ecd\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u56e0\u6b64\u4efb\u4f55\u6709\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u548c\u90fd\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\uff08\u8981\u4e25\u683c\u8bf4\u7684\u8bdd\uff0c\u53ef\u4ee5\u7528\u5f52\u7eb3\u6cd5\uff0c\u5148\u628a\u524d\u4e24\u4e2a\u52a0\u8d77\u6765\uff0c\u518d\u52a0\u7b2c\u4e09\u4e2a\uff0c\u4e00\u4e2a\u4e00\u4e2a\u52a0\u3002\u6709\u9650\u6b21\u5185\u52a0\u5b8c\uff09\u3002

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因为比如我们知道lim(a_n + b_n) = lim a_n + lim b_n（两个数列的和的极限是它们极限的和），这告诉我们两个无穷小的和仍是无穷小，因此任何有限个无穷小的和都是无穷小（要严格说的话，可以用归纳法，先把前两个加起来，再加第三个，一个一个加。有限次内加完）。

但是对无限个的和，没有任何结论（归纳法也不起作用）。

实际上求无限个东西的和，求法是先求部分和（前k项和）然后取极限（令k趋于无穷）。但是所谓一个无穷小，以数列为例，指的是一个数列{a_n}，它满足lim a_n=0，这个极限过程是n趋于无穷。现在的问题就是如果要把无限个无穷小加起来，那么这个和的定义是先让k趋于无穷，再让n趋于无穷。这个顺序一般不能反过来：往往n趋于无穷的过程和k趋于无穷的过程是不能交换的。施加某些条件（比如“一致性”，你现在大概不关心），才可以交换这两个极限的顺序。

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