多边形的面积公式

\u591a\u8fb9\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u516c\u5f0f

\u6b63\u591a\u8fb9\u5f62\u5185\u89d2\u8ba1\u7b97\u516c\u5f0f\u4e0e\u534a\u5f84\u65e0\u5173
\u8981\u5df2\u77e5\u6b63\u591a\u8fb9\u5f62\u8fb9\u6570\u4e3aN \u5185\u89d2\u548c=180(N-2)

\u534a\u5f84\u4e3aR
\u5706\u7684\u5185\u63a5\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef\u516c\u5f0f:(3\u500d\u6839\u53f73)\u9664\u4ee54\u518d\u4e58\u4ee5R\u65b9
\u5916\u5207\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef\u516c\u5f0f:3\u500d\u6839\u53f73 R\u65b9
\u5916\u5207\u6b63\u65b9\u5f62:4R\u65b9
\u5185\u63a5\u6b63\u65b9\u5f62:2R\u65b9
\u4e94\u8fb9\u5f62\u4ee5\u4e0a\u7684\u5c31\u5206\u5272\u6210\u7b49\u8fb9\u4e09\u89d2\u5f62\u518d\u7b97
\u5185\u89d2\u548c\u516c\u5f0f\u2014\u2014\uff08n-2\uff09*180`
\u6211\u4eec\u90fd\u77e5\u9053\u5df2\u77e5A(x1,y1)\u3001B(x2,y2)\u3001C(x3,y3)\u4e09\u70b9\u7684\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\u4e3a
|x1 x2 x3|
S(A,B,C) = |y1 y2 y3| * 0.5 = [(x1-x3)*(y2-y3) - (x2-x3)*(y1-y3)]*0.5
|1 1 1 |
(\u5f53\u4e09\u70b9\u4e3a\u9006\u65f6\u9488\u65f6\u4e3a\u6b63\uff0c\u987a\u65f6\u9488\u5219\u4e3a\u8d1f\u7684)



\u5bf9\u591a\u8fb9\u5f62A1A2A3\u3001\u3001\u3001An(\u987a\u6216\u9006\u65f6\u9488\u90fd\u53ef\u4ee5)\uff0c\u8bbe\u5e73\u9762\u4e0a\u6709\u4efb\u610f\u7684\u4e00\u70b9P\uff0c\u5219\u6709\uff1a
S(A1,A2,A3\uff0c\u3001\u3001\u3001,An)
= abs(S(P,A1,A2) + S(P,A2,A3)+\u3001\u3001\u3001+S(P,An,A1))


P\u662f\u53ef\u4ee5\u53d6\u4efb\u610f\u7684\u4e00\u70b9\uff0c\u7528(0\uff0c0)\u65f6\u5c31\u662f\u4e0b\u9762\u7684\u4e86\uff1a


\u8bbe\u70b9\u987a\u5e8f (x1 y1) (x2 y2) ... (xn yn)
\u5219\u9762\u79ef\u7b49\u4e8e
|x1 y1| |x2 y2| |xn yn|
0.5 * abs( | | + | | + ...... + | | )
|x2 y2| |x3 y3| |x1 y1|


\u5176\u4e2d
|x1 y1|
| |=x1*y2-y1*x2
|x2 y2|
\u56e0\u6b64\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\u5c55\u5f00\u4e3a:

|x1 y1| |x2 y2| |xn yn|
0.5 * abs( | | + | | + ...... + | | )=0.5*abs(x1*y2-y1*x2+x2*y3-y2*x3+...+xn*y1-yn*x1)
|x2 y2| |x3 y3| |x1 y1|
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1ahttp://zhidao.baidu.com/question/19903397.html?si=1

\u5bf9\u4e8e\u51f8\u591a\u8fb9\u5f62\uff0c\u5f88\u5bb9\u6613\u8ba1\u7b97\uff0c\u5982\u4e0b\u56fe\uff0c\u4ee5\u591a\u8fb9\u5f62\u7684\u67d0\u4e00\u70b9\u4e3a\u9876\u70b9\uff0c\u5c06\u5176\u5212\u5206\u6210\u51e0\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u8ba1\u7b97\u8fd9\u4e9b\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u9762\u79ef\uff0c\u7136\u540e\u52a0\u8d77\u6765\u5373\u53ef\u3002\u5df2\u77e5\u4e09\u89d2\u5f62\u9876\u70b9\u5750\u6807\uff0c\u5176\u4e09\u89d2\u5f62\u79ef\u53ef\u4ee5\u5229\u7528\u5411\u91cf\u7684\u53c9\u4e58\u6765\u8ba1\u7b97\u3002

\u5bf9\u4e8e\u51f9\u591a\u8fb9\u5f62\uff0c\u5982\u679c\u8fd8\u662f\u6309\u7167\u4e0a\u8ff0\u65b9\u6cd5\u5212\u5206\u6210\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u5982\u4e0b\u56fe\uff0c\u591a\u8fb9\u5f62\u7684\u9762\u79ef = S_ABC + S_ACD + S_ADE, \u8fd9\u4e2a\u9762\u79ef\u660e\u663e\u8d85\u8fc7\u591a\u8fb9\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u3002

\u6211\u4eec\u6839\u636e\u4e8c\u7ef4\u5411\u91cf\u53c9\u4e58\u6c42\u4e09\u89d2\u5f62ABC\u9762\u79ef\u65f6\uff0c\u5229\u7528\u7684\u662f

\u8fd9\u6837\u6c42\u51fa\u6765\u7684\u9762\u79ef\u90fd\u662f\u6b63\u6570\uff0c\u4f46\u662f\u5411\u91cf\u53c9\u4e58\u662f\u6709\u65b9\u5411\u7684\uff0c\u5373 \u662f\u6709\u6b63\u8d1f\u7684\uff0c\u5982\u679c\u628a\u4e0a\u9762\u7b2c\u4e09\u4e2a\u516c\u5f0f\u4e2d\u7684\u7edd\u5bf9\u503c\u7b26\u53f7\u53bb\u6389\uff0c\u5373 \uff0c\u90a3\u4e48\u9762\u79ef\u4e5f\u662f\u6709\u6b63\u8d1f\u7684\u3002\u53cd\u5e94\u5728\u4e0a\u9762\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u56fe\u4e2d\uff0cS = S_ABC + S_ACD + S_ADE\uff0c\u5982\u679cS_ABC\u548cS_ADE\u662f\u6b63\u7684\uff0c\u90a3\u4e48S_ACD\u662f\u8d1f\u7684\uff0c\u8fd9\u6837\u52a0\u8d77\u6765\u521a\u597d\u5c31\u662f\u591a\u8fb9\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u3002\u5bf9\u4e8e\u51f8\u591a\u8fb9\u5f62\uff0c\u6240\u6709\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u90fd\u662f\u540c\u6b63\u6216\u8005\u540c\u8d1f\u3002

\u5982\u679c\u6211\u4eec\u4e0d\u4ee5\u591a\u8fb9\u5f62\u7684\u67d0\u4e00\u70b9\u4e3a\u9876\u70b9\u6765\u5212\u5206\u4e09\u89d2\u5f62\u800c\u662f\u4ee5\u4efb\u610f\u4e00\u70b9\uff0c\u5982\u4e0b\u56fe\uff0c\u8fd9\u4e2a\u65b9\u6cd5\u4e5f\u662f\u6210\u7acb\u7684\uff1aS = S_OAB + S_OBC + S_OCD + S_ODE + S_OEA\u3002\u8ba1\u7b97\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u5f53\u6211\u4eec\u53d6O\u70b9\u4e3a\u539f\u70b9\u65f6\uff0c\u53ef\u4ee5\u7b80\u5316\u8ba1\u7b97\u3002

\u5f53O\u70b9\u4e3a\u539f\u70b9\u65f6\uff0c\u6839\u636e\u5411\u91cf\u7684\u53c9\u79ef\u8ba1\u7b97\u516c\u5f0f\uff0c\u5404\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u8ba1\u7b97\u5982\u4e0b\uff1a

S_OAB = 0.5*(A_x*B_y - A_y*B_x) \u3010(A_x\uff0cA_y)\u4e3aA\u70b9\u7684\u5750\u6807\u3011
S_OBC = 0.5*(B_x*C_y - B_y*C_x)
S_OCD = 0.5*(C_x*D_y - C_y*D_x)
S_ODE = 0.5*(D_x*E_y - D_y*E_x)
S_OEA = 0.5*(E_x*A_y - E_y*A_x)

正多边形内角计算公式与半径无关
要已知正多边形边数为N 内角和=180(N-2)

半径为R
圆的内接三角形面积公式:(3倍根号3)除以4再乘以R方
外切三角形面积公式:3倍根号3 R方
外切正方形:4R方
内接正方形:2R方
五边形以上的就分割成等边三角形再算
内角和公式——（n-2）*180`
我们都知道已知A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点的面积公式为
|x1 x2 x3|
S(A,B,C) = |y1 y2 y3| * 0.5 = [(x1-x3)*(y2-y3) - (x2-x3)*(y1-y3)]*0.5
|1 1 1 |
(当三点为逆时针时为正，顺时针则为负的)

对多边形A1A2A3、、、An(顺或逆时针都可以)，设平面上有任意的一点P，则有：
S(A1,A2,A3，、、、,An)
= abs(S(P,A1,A2) + S(P,A2,A3)+、、、+S(P,An,A1))

P是可以取任意的一点，用(0，0)时就是下面的了：

设点顺序 (x1 y1) (x2 y2) ... (xn yn)
则面积等于
|x1 y1| |x2 y2| |xn yn|
0.5 * abs( | | + | | + ...... + | | )
|x2 y2| |x3 y3| |x1 y1|

其中
|x1 y1|
| |=x1*y2-y1*x2
|x2 y2|
因此面积公式展开为:

|x1 y1| |x2 y2| |xn yn|
0.5 * abs( | | + | | + ...... + | | )=0.5*abs(x1*y2-y1*x2+x2*y3-y2*x3+...+xn*y1-yn*x1)
|x2 y2| |x3 y3| |x1 y1|

正多边形内角计算公式与半径无关
要已知正多边形边数为N 内角和=180(N-2)

半径为R
圆的内接三角形面积公式:(3倍根号3)除以4再乘以R方
外切三角形面积公式:3倍根号3 R方
外切正方形:4R方
内接正方形:2R方
五边形以上的就分割成等边三角形再算
内角和公式——（n-2）*180`
我们都知道已知A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点的面积公式为
|x1 x2 x3|
S(A,B,C) = |y1 y2 y3| * 0.5 = [(x1-x3)*(y2-y3) - (x2-x3)*(y1-y3)]*0.5
|1 1 1 |
(当三点为逆时针时为正，顺时针则为负的)

对多边形A1A2A3、、、An(顺或逆时针都可以)，设平面上有任意的一点P，则有：
S(A1,A2,A3，、、、,An)
= abs(S(P,A1,A2) + S(P,A2,A3)+、、、+S(P,An,A1))

P是可以取任意的一点，用(0，0)时就是下面的了：

设点顺序 (x1 y1) (x2 y2) ... (xn yn)
则面积等于
|x1 y1| |x2 y2| |xn yn|
0.5 * abs( | | + | | + ...... + | | )
|x2 y2| |x3 y3| |x1 y1|

其中
|x1 y1|
| |=x1*y2-y1*x2
|x2 y2|
因此面积公式展开为:

|x1 y1| |x2 y2| |xn yn|
0.5 * abs( | | + | | + ...... + | | )=0.5*abs(x1*y2-y1*x2+x2*y3-y2*x3+...+xn*y1-yn*x1)
|x2 y2| |x3 y3| |x1 y1|

正多边形内角计算公式与半径无关
要已知正多边形边数为N 内角和=180(N-2)

半径为R
圆的内接三角形面积公式:(3倍根号3)除以4再乘以R方
外切三角形面积公式:3倍根号3 R方
外切正方形:4R方
内接正方形:2R方
五边形以上的就分割成等边三角形再算
内角和公式——（n-2）*180`
我们都知道已知A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点的面积公式为
|x1 x2 x3|
S(A,B,C) = |y1 y2 y3| * 0.5 = [(x1-x3)*(y2-y3) - (x2-x3)*(y1-y3)]*0.5
|1 1 1 |
(当三点为逆时针时为正，顺时针则为负的)

对多边形A1A2A3、、、An(顺或逆时针都可以)，设平面上有任意的一点P，则有：
S(A1,A2,A3，、、、,An)
= abs(S(P,A1,A2) + S(P,A2,A3)+、、、+S(P,An,A1))

P是可以取任意的一点，用(0，0)时就是下面的了：

设点顺序 (x1 y1) (x2 y2) ... (xn yn)
则面积等于
|x1 y1| |x2 y2| |xn yn|
0.5 * abs( | | + | | + ...... + | | )
|x2 y2| |x3 y3| |x1 y1|

其中
|x1 y1|
| |=x1*y2-y1*x2
|x2 y2|
因此面积公式展开为:

|x1 y1| |x2 y2| |xn yn|
0.5 * abs( | | + | | + ...... + | | )=0.5*abs(x1*y2-y1*x2+x2*y3-y2*x3+...+xn*y1-yn*x1)
|x2 y2| |x3 y3| |x1 y1|

澶氳竟褰㈤潰绉叕寮鏄粈涔?
绛旓細1銆侀暱鏂瑰舰鐨勯潰绉紳闀棵楀 瀛楁瘝琛ㄧず锛歋=ab 闀挎柟褰㈢殑闀匡紳闈㈢Н梅瀹絘=S梅b 闀挎柟褰㈢殑瀹斤紳闈㈢Н梅闀縝=S梅a 2銆佹鏂瑰舰鐨勯潰绉紳杈归暱脳杈归暱 瀛楁瘝琛ㄧず锛歋= a²3銆佸钩琛屽洓杈瑰舰鐨勯潰绉紳搴暶楅珮 瀛楁瘝琛ㄧず锛歋=ah 骞宠鍥涜竟褰㈢殑楂橈紳闈㈢Н梅搴昲=S梅a 骞宠鍥涜竟褰㈢殑搴曪紳闈㈢Н梅楂榓=S梅h 4銆佷笁瑙掑舰鐨...

澶氳竟褰㈢殑闈㈢Н鍏紡
绛旓細澶氳竟褰㈤潰绉叕寮忥紝瑕佺湅鍏蜂綋鐨勫杈瑰舰鏄粈涔堬紝渚嬪锛1銆侀暱鏂瑰舰鐨勯潰绉=闀棵楀 S=ab 2銆佹鏂瑰舰鐨勯潰绉=杈归暱脳杈归暱 S=a路a= a²3銆佷笁瑙掑舰鐨勯潰绉=搴暶楅珮梅2 S=ah梅2 4銆佸钩琛屽洓杈瑰舰鐨勯潰绉=搴暶楅珮 S=ah 5銆佹褰㈢殑闈㈢Н=锛堜笂搴+涓嬪簳锛壝楅珮梅2 澶氳竟褰㈠懆闀垮叕寮 涓夎褰㈢殑鍛ㄩ暱C = a+b+c(abc...

澶氳竟褰㈢殑闈㈢Н鍏紡鏄粈涔?
绛旓細瑙勫垯澶氳竟褰㈤潰绉殑涓涓绠楀叕寮忔槸锛氶潰绉紳1/2 x鍛ㄩ暱x杈瑰績璺銆傝繖涓叕寮忕殑瑙ｉ噴濡備笅锛氬懆闀匡細鎵鏈夎竟闀跨殑鎬诲拰銆傝竟蹇冭窛锛氬杈瑰舰鐨勪腑蹇冨埌鍚勮竟鐨勫瀭鐩磋窛绂汇傞潰绉绠楀叕寮忥細1銆侀暱鏂瑰舰鐨勯潰绉紳闀棵楀銆傚瓧姣嶈〃绀猴細S=ab銆傞暱鏂瑰舰鐨勯暱锛濋潰绉峰a=S梅b銆傞暱鏂瑰舰鐨勫锛濋潰绉烽暱b=S梅a銆2銆佹鏂瑰舰鐨勯潰绉紳杈归暱脳杈归暱銆

澶氳竟褰㈤潰绉叕寮鏄粈涔?
绛旓細1銆佸钩琛屽洓杈瑰舰鐨勯潰绉紳搴暶楅珮銆傝绠楀叕寮忥細S锛漚脳h銆2銆佷笁瑙掑舰鐨勯潰绉紳搴暶楅珮梅2銆傝绠楀叕寮忥細S锛漚脳h梅2銆3銆佹褰㈢殑闈㈢Н锛濓紙涓婂簳锛嬩笅搴曪級脳楂樏2銆傝绠楀叕寮忥細S锛濓紙a锛媌锛壝梙梅2銆4銆佹鏂瑰舰鐨勯潰绉紳杈归暱脳杈归暱銆傝绠楀叕寮忥細S锛漚脳a銆5銆侀暱鏂瑰舰鐨勯潰绉紳闀棵楀銆傝绠楀叕寮忥細s锛漚脳b銆備笁瑙...

澶氳竟褰㈤潰绉叕寮
绛旓細涓夎褰㈤潰绉瓑浜庡簳涔樹互楂橀櫎浠2锛 S=ah/2 闀匡紙姝ｏ紝骞宠鍥涜竟褰級鏂瑰舰闈㈢Н绛変簬搴曚箻浠ラ珮锛 S=ah 姊舰闈㈢Н绛変簬涓婂簳鍔犱笅搴曚箻浠ラ珮闄や互2锛 S=锛坅+b)h/2 灏嗗杈瑰舰鍒嗗壊鎴愬嚑涓鍒欑殑澶氳竟褰, 鎬婚潰绉绛変簬鍚勪釜澶氳竟褰㈤潰绉涔嬪拰锛孲=S1+S2+鈥︹+Sn

姹澶氳竟褰㈤潰绉鏈夊摢浜涙柟娉
绛旓細澶氳竟褰㈡湁寰堝绉嶏紝涓嶅悓鐨澶氳竟褰㈤潰绉璁＄畻鍏紡涓嶅悓銆備富瑕佸杈瑰舰闈㈢Н鍏紡鏈夛紝闀挎柟褰㈤潰绉=闀棵楀S=ab姝ｆ柟褰㈤潰绉=杈归暱脳杈归暱S=a路a=a²涓夎褰㈤潰绉=搴暶楅珮梅2.S=ah梅2骞宠鍥涜竟褰㈤潰绉=搴暶楅珮S=ah姊舰闈㈢Н=锛堜笂搴+涓嬪簳锛壝楅珮梅2銆傛眰澶氳竟褰㈢殑闈㈢Н锛屽彲浠ラ噰鐢ㄢ滃垎鍓叉硶鈥濓紝灏辨槸鎶婁竴涓杈瑰舰鍒嗗壊鎴愬嚑...

澶氳竟褰㈤潰绉鎬庝箞绠
绛旓細姹澶氳竟褰㈢殑闈㈢Н闇瑕佸厛灏嗕笉瑙勫垯澶氳竟褰㈠垎瑙ｆ垚鐔熸倝鐨勫浘褰笁瑙掑舰銆佹鏂瑰舰绛夎鍒欏浘褰傜劧鍚庡鐢鍏紡锛屽皢鍚勪釜瑙勫垯鍥惧舰闈㈢Н瑙ｅ嚭銆傛渶鍚庡皢鎵鏈夊浘褰㈤潰绉繘琛屾眰鍜岃绠楀嵆鍙緱鍑澶氳竟褰㈤潰绉銆1銆侀暱鏂瑰舰锛氬懆闀= 锛堥暱+瀹斤級脳2 銆怌=锛坅+b锛壝2銆戦潰绉=闀棵楀 銆恠= ab銆2銆佹鏂瑰舰锛氬懆闀= 杈归暱脳4 銆怌=4a銆戦潰绉= ...

浠绘剰澶氳竟褰㈤潰绉璁＄畻鍏紡鏄粈涔堝晩?
绛旓細浠绘剰澶氳竟褰㈤潰绉璁＄畻鍏紡锛氾紙x-1锛寉-1锛墄锛坸-2锛寉-2锛夈傛暟瀛︾敤璇紝鐢变笁鏉℃垨涓夋潯浠ヤ笂鐨勭嚎娈甸灏鹃『娆¤繛鎺ユ墍缁勬垚鐨勫钩闈㈠浘褰㈠彨鍋氬杈瑰舰銆傛寜鐓т笉鍚岀殑鏍囧噯锛屽杈瑰舰鍙互鍒嗕负姝ｅ杈瑰舰鍜岄潪姝ｅ杈瑰舰銆佸嚫澶氳竟褰㈠強鍑瑰杈瑰舰绛夈傚綋鐗╀綋鍗犳嵁鐨勭┖闂存槸浜岀淮绌洪棿鏃讹紝鎵鍗犵┖闂寸殑澶у皬鍙仛璇ョ墿浣鐨勯潰绉锛岄潰绉彲浠ユ槸骞抽潰鐨勪篃...

澶氳竟褰㈤潰绉叕寮鏄粈涔?
绛旓細1銆侀暱鏂瑰舰鐨勯潰绉紳闀棵楀 瀛楁瘝琛ㄧず锛歋=ab 闀挎柟褰㈢殑闀匡紳闈㈢Н梅瀹絘=S梅b 闀挎柟褰㈢殑瀹斤紳闈㈢Н梅闀縝=S梅a 2銆佹鏂瑰舰鐨勯潰绉紳杈归暱脳杈归暱 瀛楁瘝琛ㄧず锛歋= a²3銆佸钩琛屽洓杈瑰舰鐨勯潰绉紳搴暶楅珮 瀛楁瘝琛ㄧず锛歋=ah 骞宠鍥涜竟褰㈢殑楂橈紳闈㈢Н梅搴昲=S梅a 骞宠鍥涜竟褰㈢殑搴曪紳闈㈢Н梅楂榓=S梅h 4銆佷笁瑙掑舰鐨...

澶氳竟褰㈢殑鍏紡鏈夊摢浜?
绛旓細澶氳竟褰㈢殑闈㈢Н鍏紡1銆侀暱鏂瑰舰鐨勯潰绉紳闀棵楀瀛楁瘝琛ㄧず锛歋=ab闀挎柟褰㈢殑闀匡紳闈㈢Н梅瀹絘=S梅b闀挎柟褰㈢殑瀹斤紳闈㈢Н梅闀縝=S梅a2銆佹鏂瑰舰鐨勯潰绉紳杈归暱脳杈归暱瀛楁瘝琛ㄧず锛歋=a²3銆佸钩琛屽洓杈瑰舰鐨勯潰绉紳搴暶楅珮瀛楁瘝琛ㄧず锛歋=ah骞宠鍥涜竟褰㈢殑楂橈紳闈㈢Н梅搴昲=S梅a骞宠鍥涜竟褰㈢殑搴曪紳闈㈢Н梅楂榓=S梅h4銆佷笁瑙掑舰鐨...