数学悖论的定义 数学悖论
\u6096\u8bba\u7684\u9884\u671f\u6210\u679c \u6570\u5b66\u77db\u76fe\u3000\u3000\u6096\u8bba\u662f\u4e00\u79cd\u8ba4\u8bc6\u77db\u76fe\uff0c\u5b83\u65e2\u5305\u62ec\u903b\u8f91\u77db\u76fe\u3001\u8bed\u4e49\u77db\u76fe\uff0c\u4e5f\u5305\u62ec\u601d\u60f3\u65b9\u6cd5\u4e0a\u7684\u77db\u76fe\u3002 \u6570\u5b66\u6096\u8bba\u4f5c\u4e3a\u6096\u8bba\u7684\u4e00\u79cd\uff0c\u4e3b\u8981\u53d1\u751f\u5728\u6570\u5b66\u7814\u7a76\u4e2d\u3002\u6309\u7167\u6096\u8bba\u7684\u5e7f\u4e49\u5b9a\u4e49\uff0c\u6240\u6709\u6570\u5b66\u89c4\u8303\u4e2d\u53d1\u751f\u7684\u65e0\u6cd5\u89e3\u51b3\u7684\u8ba4\u8bc6\u77db\u76fe\uff0c\u8fd9\u79cd\u8ba4\u8bc6\u77db\u76fe\u53ef\u4ee5\u5728\u65b0\u7684\u6570\u5b66\u89c4\u8303\u4e2d\u5f97\u5230\u89e3\u51b3\u3002
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1734\u5e74\uff0c\u8d1d\u514b\u83b1\u4ee5\u201c\u6e3a\u5c0f\u7684\u54f2\u5b66\u5bb6\u201d\u4e4b\u540d\u51fa\u7248\u4e86\u4e00\u672c\u6807\u9898\u5f88\u957f\u7684\u4e66\u300a\u5206\u6790\u5b66\u5bb6\uff1b\u6216\u4e00\u7bc7\u81f4\u4e00\u4f4d\u4e0d\u4fe1\u795e\u6570\u5b66\u5bb6\u7684\u8bba\u6587\uff0c\u5176\u4e2d\u5ba1\u67e5\u4e00\u4e0b\u8fd1\u4ee3\u5206\u6790\u5b66\u7684\u5bf9\u8c61\u3001\u539f\u5219\u53ca\u8bba\u65ad\u662f\u4e0d\u662f\u6bd4\u5b97\u6559\u7684\u795e\u79d8\u3001\u4fe1\u4ef0\u7684\u8981\u70b9\u6709\u66f4\u6e05\u6670\u7684\u8868\u8fbe\uff0c\u6216\u66f4\u660e\u663e\u7684\u63a8\u7406\u300b\u3002\u5728\u8fd9\u672c\u4e66\u4e2d\uff0c\u8d1d\u514b\u83b1\u5bf9\u725b\u987f\u7684\u7406\u8bba\u8fdb\u884c\u4e86\u653b\u51fb\u3002\u4f8b\u5982\u4ed6\u6307\u8d23\u725b\u987f\uff0c\u4e3a\u8ba1\u7b97\u6bd4\u5982\u8bf4 x2 \u7684\u5bfc\u6570\uff0c\u5148\u5c06 x \u53d6\u4e00\u4e2a\u4e0d\u4e3a0\u7684\u589e\u91cf \u0394x \uff0c\u7531 (x + \u0394x)2 - x2 \uff0c\u5f97\u5230 2x\u0394x + (\u0394x2) \uff0c\u540e\u518d\u88ab \u0394x \u9664\uff0c\u5f97\u5230 2x + \u0394x \uff0c\u6700\u540e\u7a81\u7136\u4ee4 \u0394x = 0 \uff0c\u6c42\u5f97\u5bfc\u6570\u4e3a 2x \u3002\u8fd9\u662f\u201c\u4f9d\u9760\u53cc\u91cd\u9519\u8bef\u5f97\u5230\u4e86\u4e0d\u79d1\u5b66\u5374\u6b63\u786e\u7684\u7ed3\u679c\u201d\u3002\u56e0\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u5728\u725b\u987f\u7684\u7406\u8bba\u4e2d\u4e00\u4f1a\u513f\u8bf4\u662f\u96f6\uff0c\u4e00\u4f1a\u513f\u53c8\u8bf4\u4e0d\u662f\u96f6\u3002\u56e0\u6b64\uff0c\u8d1d\u514b\u83b1\u5632\u7b11\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u662f\u201c\u5df2\u6b7b\u91cf\u7684\u5e7d\u7075\u201d\u3002\u8d1d\u514b\u83b1\u7684\u653b\u51fb\u867d\u8bf4\u51fa\u81ea\u7ef4\u62a4\u795e\u5b66\u7684\u76ee\u7684\uff0c\u4f46\u5374\u771f\u6b63\u6293\u4f4f\u4e86\u725b\u987f\u7406\u8bba\u4e2d\u7684\u7f3a\u9677\uff0c\u662f\u5207\u4e2d\u8981\u5bb3\u7684\u3002
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\u725b\u987f\u4e0e\u83b1\u5e03\u5c3c\u5179
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1 + x + x2 + x3 + ..... = 1/(1- x)
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S\uff1d1\uff0d1\uff0b1\uff0d1\uff0b1\u2026\u2026\u2026\uff1d1\uff0f2\uff01
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\u5982\u679c\u7406\u53d1\u5e08\u7ed9\u81ea\u5df1\u7406\u53d1\uff0c\u5219\u8fdd\u80cc\u4e86\u81ea\u5df1\u7684\u7ea6\u5b9a\uff1b\u5982\u679c\u7406\u53d1\u5e08\u4e0d\u7ed9\u81ea\u5df1\u7406\u53d1\uff0c\u90a3\u4e48\u6309\u7167\u4ed6\u7684\u89c4\u5b9a\uff0c\u53c8\u5e94\u8be5\u7ed9\u81ea\u5df1\u7406\u53d1\u3002\u8fd9\u6837\uff0c\u7406\u53d1\u5e08\u9677\u5165\u4e86\u4e24\u96be\u7684\u5883\u5730\u3002
2\uff0e \u829d\u8bfa\u6096\u8bba\u2014\u2014\u963f\u57fa\u91cc\u65af\u4e0e\u4e4c\u9f9f\uff1a\u516c\u5143\u524d5\u4e16\u7eaa\uff0c\u829d\u8bfa\u7528\u4ed6\u7684\u65e0\u7a77\u3001\u8fde\u7eed\u4ee5\u53ca\u90e8\u5206\u548c\u7684\u77e5\u8bc6\uff0c\u5f15\u53d1\u51fa\u4ee5\u4e0b\u8457\u540d\u7684\u6096\u8bba\uff1a\u4ed6\u63d0\u51fa\u8ba9\u963f\u57fa\u91cc\u65af\u4e0e\u4e4c\u9f9f\u4e4b\u95f4\u4e3e\u884c\u4e00\u573a\u8d5b\u8dd1\uff0c\u5e76\u8ba9\u4e4c\u9f9f\u5728\u963f\u57fa\u91cc\u65af\u524d\u59341000\u7c73\u5f00\u59cb\u3002\u5047\u5b9a\u963f\u57fa\u91cc\u65af\u80fd\u591f\u8dd1\u5f97\u6bd4\u4e4c\u9f9f\u5feb10\u500d\u3002\u6bd4\u8d5b\u5f00\u59cb\uff0c\u5f53\u963f\u57fa\u91cc\u65af\u8dd1\u4e861000\u7c73\u65f6\uff0c\u4e4c\u9f9f\u4ecd\u524d\u4e8e\u4ed6100\u7c73\uff1b\u5f53\u963f\u57fa\u91cc\u65af\u8dd1\u4e86\u4e0b\u4e00\u4e2a100\u7c73\u65f6\uff0c\u4e4c\u9f9f\u4f9d\u7136\u524d\u4e8e\u4ed610\u7c73\u2026\u2026\u6240\u4ee5\uff0c\u963f\u57fa\u91cc\u65af\u6c38\u8fdc\u8ffd\u4e0d\u4e0a\u4e4c\u9f9f\u3002
3\uff0e \u8bf4\u8c0e\u8005\u6096\u8bba\uff1a\u516c\u5143\u524d6\u4e16\u7eaa\uff0c\u53e4\u5e0c\u814a\u514b\u91cc\u7279\u5c9b\u7684\u54f2\u5b66\u5bb6\u4f0a\u58c1\u95e8\u5c3c\u5fb7\u65af\u6709\u5982\u6b64\u65ad\u8a00\uff1a\u201c\u6240\u6709\u514b\u91cc\u7279\u4eba\u6240\u8bf4\u7684\u6bcf\u4e00\u53e5\u8bdd\u90fd\u662f\u8c0e\u8bdd\u3002\u201d
\u5982\u679c\u8fd9\u53e5\u8bdd\u662f\u771f\u7684\uff0c\u90a3\u4e48\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\uff0c\u514b\u91cc\u7279\u4eba\u4f0a\u58c1\u95e8\u5c3c\u5fb7\u65af\u8bf4\u4e86\u4e00\u53e5\u771f\u8bdd\uff0c\u4f46\u662f\u5374\u4e0e\u4ed6\u7684\u771f\u8bdd\u2014\u2014\u6240\u6709\u514b\u91cc\u7279\u4eba\u6240\u8bf4\u7684\u6bcf\u4e00\u53e5\u8bdd\u90fd\u662f\u8c0e\u8bdd\u2014\u2014\u76f8\u6096\uff1b\u5982\u679c\u8fd9\u53e5\u8bdd\u4e0d\u662f\u771f\u7684\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u514b\u91cc\u7279\u4eba\u4f0a\u58c1\u95e8\u5c3c\u5fb7\u65af\u8bf4\u4e86\u4e00\u53e5\u8c0e\u8bdd\uff0c\u5219\u771f\u8bdd\u5e94\u662f\uff1a\u6240\u6709\u514b\u91cc\u7279\u4eba\u6240\u8bf4\u7684\u6bcf\u4e00\u53e5\u8bdd\u90fd\u662f\u771f\u8bdd\uff0c\u4e24\u8005\u53c8\u76f8\u6096\u3002
\u6240\u4ee5\u600e\u6837\u4e5f\u96be\u4ee5\u81ea\u5706\u5176\u8bf4\uff0c\u8fd9\u5c31\u662f\u8457\u540d\u7684\u8bf4\u8c0e\u8005\u6096\u8bba\u3002
\u516c\u5143\u524d4\u4e16\u7eaa\uff0c\u5e0c\u814a\u54f2\u5b66\u5bb6\u53c8\u63d0\u51fa\u4e86\u4e00\u4e2a\u6096\u8bba\uff1a\u201c\u6211\u73b0\u5728\u6b63\u5728\u8bf4\u7684\u8fd9\u53e5\u8bdd\u662f\u5047\u7684\u3002\u201d\u540c\u4e0a\uff0c\u8fd9\u53c8\u662f\u96be\u4ee5\u81ea\u5706\u5176\u8bf4\uff01
\u8bf4\u8c0e\u8005\u6096\u8bba\u81f3\u4eca\u4ecd\u56f0\u6270\u7740\u6570\u5b66\u5bb6\u548c\u903b\u8f91\u5b66\u5bb6\u3002\u8bf4\u8c0e\u8005\u6096\u8bba\u6709\u8bb8\u591a\u5f62\u5f0f\u3002\u5982\uff1a\u6211\u9884\u8a00\uff1a\u201c\u4f60\u4e0b\u9762\u8981\u8bb2\u7684\u8bdd\u662f\u2018\u4e0d\u2019\uff0c\u5bf9\u4e0d\u5bf9\uff1f\u7528\u2018\u662f\u2019\u6216\u2018\u4e0d\u662f\u2019\u6765\u56de\u7b54\u3002\u201d
\u53c8\u5982\uff0c\u201c\u6211\u7684\u4e0b\u4e00\u53e5\u8bdd\u662f\u9519\uff08\u5bf9\uff09\u7684\uff0c\u6211\u7684\u4e0a\u4e00\u53e5\u8bdd\u662f\u5bf9\uff08\u9519\uff09\u7684\u201d\u3002
4\uff0e \u8ddf\u65e0\u9650\u76f8\u5173\u7684\u6096\u8bba\uff1a
{1\uff0c2\uff0c3\uff0c4\uff0c5\uff0c\u2026}\u662f\u81ea\u7136\u6570\u96c6\uff1a
{1\uff0c4\uff0c9\uff0c16\uff0c25\uff0c\u2026}\u662f\u81ea\u7136\u6570\u5e73\u65b9\u7684\u6570\u96c6\u3002
\u8fd9\u4e24\u4e2a\u6570\u96c6\u80fd\u591f\u5f88\u5bb9\u6613\u6784\u6210\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\uff0c\u90a3\u4e48\uff0c\u5728\u6bcf\u4e2a\u96c6\u5408\u4e2d\u6709\u4e00\u6837\u591a\u7684\u5143\u7d20\u5417\uff1f
5\uff0e \u4f3d\u5229\u7565\u6096\u8bba\uff1a\u6211\u4eec\u90fd\u77e5\u9053\u6574\u4f53\u5927\u4e8e\u90e8\u5206\u3002\u7531\u7ebf\u6bb5BC\u4e0a\u7684\u70b9\u5f80\u9876\u70b9A\u8fde\u7ebf\uff0c\u6bcf\u4e00\u6761\u7ebf\u90fd\u4f1a\u4e0e\u7ebf\u6bb5DE(D\u70b9\u5728AB\u4e0a,E\u70b9\u5728AC\u4e0a)\u76f8\u4ea4\uff0c\u56e0\u6b64\u53ef\u5f97DE\u4e0eBC\u4e00\u6837\u957f\uff0c\u4e0e\u56fe\u77db\u76fe\u3002\u4e3a\u4ec0\u4e48\uff1f
6\uff0e \u9884\u6599\u4e0d\u5230\u7684\u8003\u8bd5\u7684\u6096\u8bba\uff1a\u4e00\u4f4d\u8001\u5e08\u5ba3\u5e03\u8bf4\uff0c\u5728\u4e0b\u4e00\u661f\u671f\u7684\u4e94\u5929\u5185\uff08\u661f\u671f\u4e00\u5230\u661f\u671f\u4e94\uff09\u7684\u67d0\u4e00\u5929\u5c06\u8fdb\u884c\u4e00\u573a\u8003\u8bd5\uff0c\u4f46\u4ed6\u53c8\u544a\u8bc9\u73ed\u4e0a\u7684\u540c\u5b66\uff1a\u201c\u4f60\u4eec\u65e0\u6cd5\u77e5\u9053\u662f\u54ea\u4e00\u5929\uff0c\u53ea\u6709\u5230\u4e86\u8003\u8bd5\u90a3\u5929\u7684\u65e9\u4e0a\u516b\u70b9\u949f\u624d\u901a\u77e5\u4f60\u4eec\u4e0b\u5348\u4e00\u70b9\u949f\u8003\u3002\u201d
\u4f60\u80fd\u8bf4\u51fa\u4e3a\u4ec0\u4e48\u8fd9\u573a\u8003\u8bd5\u65e0\u6cd5\u8fdb\u884c\u5417\uff1f
7\uff0e \u7535\u68af\u6096\u8bba\uff1a\u5728\u4e00\u5e62\u6469\u5929\u5927\u697c\u91cc\uff0c\u6709\u4e00\u67b6\u7535\u68af\u662f\u7531\u7535\u8111\u63a7\u5236\u8fd0\u884c\u7684\uff0c\u5b83\u6bcf\u5c42\u697c\u90fd\u505c\uff0c\u4e14\u505c\u7559\u7684\u65f6\u95f4\u90fd\u76f8\u540c\u3002\u7136\u800c\uff0c\u529e\u516c\u5ba4\u9760\u8fd1\u9876\u5c42\u7684\u738b\u5148\u751f\u8bf4\uff1a\u201c\u6bcf\u5f53\u6211\u8981\u4e0b\u697c\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u90fd\u8981\u7b49\u5f88\u4e45\u3002\u505c\u4e0b\u7684\u7535\u68af\u603b\u662f\u8981\u4e0a\u697c\uff0c\u5f88\u5c11\u6709\u4e0b\u697c\u7684\u3002\u771f\u5947\u602a\uff01\u201d\u674e\u5c0f\u59d0\u5bf9\u7535\u68af\u4e5f\u5f88\u4e0d\u6ee1\u610f\uff0c\u5979\u5728\u63a5\u8fd1\u5e95\u5c42\u7684\u529e\u516c\u5ba4\u4e0a\u73ed\uff0c\u6bcf\u5929\u4e2d\u5348\u90fd\u8981\u5230\u9876\u697c\u7684\u9910\u5385\u5403\u996d\u3002\u5979\u8bf4\uff1a\u201c\u4e0d\u8bba\u6211\u4ec0\u4e48\u65f6\u5019\u8981\u4e0a\u697c\uff0c\u505c\u4e0b\u6765\u7684\u7535\u68af\u603b\u662f\u8981\u4e0b\u697c\uff0c\u5f88\u5c11\u6709\u4e0a\u697c\u7684\u3002\u771f\u8ba9\u4eba\u70e6\u6b7b\u4e86\uff01\u201d
\u8fd9\u7a76\u7adf\u662f\u600e\u4e48\u56de\u4e8b\uff1f\u7535\u68af\u660e\u660e\u5728\u6bcf\u5c42\u505c\u7559\u7684\u65f6\u95f4\u90fd\u76f8\u540c\uff0c\u53ef\u4e3a\u4ec0\u4e48\u4f1a\u8ba9\u63a5\u8fd1\u9876\u697c\u548c\u5e95\u5c42\u7684\u4eba\u7b49\u5f97\u4e0d\u8010\u70e6\uff1f
8\uff0e \u786c\u5e01\u6096\u8bba\uff1a\u4e24\u679a\u786c\u5e01\u5e73\u653e\u5728\u4e00\u8d77\uff0c\u9876\u4e0a\u7684\u786c\u5e01\u7ed5\u4e0b\u65b9\u7684\u786c\u5e01\u8f6c\u52a8\u534a\u5708\uff0c\u7ed3\u679c\u786c\u5e01\u4e2d\u56fe\u6848\u7684\u4f4d\u7f6e\u4e0e\u5f00\u59cb\u65f6\u4e00\u6837\uff1b\u7136\u800c\uff0c\u6309\u5e38\u7406\uff0c\u7ed5\u8fc7\u5706\u5468\u534a\u5708\u7684\u786c\u5e01\u7684\u56fe\u6848\u5e94\u662f\u671d\u4e0b\u7684\u624d\u5bf9\uff01\u4f60\u80fd\u89e3\u91ca\u4e3a\u4ec0\u4e48\u5417\uff1f
9\uff0e \u8c37\u5806\u6096\u8bba\uff1a\u663e\u7136\uff0c1\u7c92\u8c37\u5b50\u4e0d\u662f\u5806\uff1b
\u5982\u679c1\u7c92\u8c37\u5b50\u4e0d\u662f\u5806\uff0c\u90a3\u4e482\u7c92\u8c37\u5b50\u4e5f\u4e0d\u662f\u5806\uff1b
\u5982\u679c2\u7c92\u8c37\u5b50\u4e0d\u662f\u5806\uff0c\u90a3\u4e483\u7c92\u8c37\u5b50\u4e5f\u4e0d\u662f\u5806\uff1b
\u2026\u2026
\u5982\u679c99999\u7c92\u8c37\u5b50\u4e0d\u662f\u5806\uff0c\u90a3\u4e48100000\u7c92\u8c37\u5b50\u4e5f\u4e0d\u662f\u5806\uff1b
\u2026\u2026
10\uff0e \u5b9d\u5854\u6096\u8bba\uff1a\u5982\u679c\u4ece\u4e00\u7816\u5854\u4e2d\u62bd\u53d6\u4e00\u5757\u7816\uff0c\u5b83\u4e0d\u4f1a\u584c\uff1b\u62bd\u4e24\u5757\u7816\uff0c\u5b83\u4e5f\u4e0d\u4f1a\u584c\uff1b\u2026\u2026\u62bd\u7b2cN\u5757\u7816\u65f6\uff0c\u5854\u584c\u4e86\u3002\u73b0\u5728\u6362\u4e00\u4e2a\u5730\u65b9\u5f00\u59cb\u62bd\u7816\uff0c\u540c\u7b2c\u4e00\u6b21\u4e0d\u4e00\u6837\u7684\u662f\uff0c\u62bd\u7b2cM\u5757\u7816\u662f\uff0c\u5854\u584c\u4e86\u3002\u518d\u6362\u4e00\u4e2a\u5730\u65b9\uff0c\u5854\u584c\u65f6\u5c11\u4e86L\u5757\u7816\u3002\u4ee5\u6b64\u7c7b\u63a8\uff0c\u6bcf\u6362\u4e00\u4e2a\u5730\u65b9\uff0c\u5854\u584c\u65f6\u5c11\u7684\u7816\u5757\u6570\u90fd\u4e0d\u5c3d\u76f8\u540c\u3002\u90a3\u4e48\u5230\u5e95\u62bd\u591a\u5c11\u5757\u7816\u5854\u624d\u4f1a\u584c\u5462\uff1f
\u7d2f\u6b7b\u6211\u62c9!!
数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。数学中有许多著名的悖论，除前面提到的伽利略悖论、贝克莱悖论外，还有康托尔最大基数悖论、布拉里——福蒂最大序数悖论、理查德悖论、基础集合悖论、希帕索斯悖论等。数学史上的危机，指数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。这种根本性矛盾能够暴露一定发展阶段上数学体系逻辑基础的局限性，促使人们克服这种局限性，从而促使数学的大发展。数学史上的三次危机都是由数学悖论引起的，下面作以简要的分析。
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