1的无穷大次方等于多少？
首先，1的无穷大次方并不等于e，而是等于1。
之所以会产生这样的歧义主要是因为以下两个式子：
乍一看仿佛是等量代换，得出1的无穷次方等于e，
【但是】——
这样的等量代换在极限的计算过程中是不可行的，
【因为】——
极限的计算与普通的运算不一样，凡是带有极限的式子都是一个整体，并不能拆开来先算一部分然后再算另一部分。这是因为极限式中的每一部分对极限的整体收敛是同步在起作用的，而不是一部分先收敛，另一部分之后再进行。
就拿这道题的例子：
当x趋于正无穷时，虽然1/x在不断减少，但作为指数的x却在不断增大，
指数x增大的这部分弥补并逐渐超越了1/x减少的部分，
所以整个极限式是在不断增大的，并且无限趋近于e
（比如：1.0001已经很接近1了，但1.0001^10000却等于2.718145...远远大于1）
所以下面才是正确的式子：
---------------------------------------------------------------------------
【补充】——
为什么x的增大能超越1/x的减小？
见下图
随着x的增大，1/x减少的速度越来越慢，而x的增长速度却始终不变，
这样一来，两边速度差就会越来越大，最终导致了极限e的诞生~
绛旓細1鐨勬棤绌锋鏋侀檺鍒╃敤e^lim[g(x)lnf(x)] 涓巈^a锛宎=limf(x)g(x)杞寲鍚庯紝鍙厛鍖栫畝锛屽啀鍒╃敤娲涘繀杈炬硶鍒欐垨鑰呯瓑浠锋棤绌峰皬绛夋潵姹傛瀬闄愩1鐨勬棤绌锋鏂规槸鏋侀檺鏈畾寮忕殑涓绉嶏紝鏈畾寮忔槸鎸囧鏋滃綋x鈫抶0(鎴栬厁鈫掆垶)鏃讹紝涓や釜鍑芥暟f(x)涓巊(x)閮借秼浜庨浂鎴栬呰秼浜鏃犵┓澶锛岄偅涔堟瀬闄恖im [f(x)/g(x)] (x鈫...
绛旓細1鐨勬棤绌锋鏋侀檺鍒╃敤e^lim[g(x)lnf(x)] 涓巈^a锛宎=limf(x)g(x)杞寲鍚庯紝鍙厛鍖栫畝锛屽啀鍒╃敤娲涘繀杈炬硶鍒欐垨鑰呯瓑浠锋棤绌峰皬绛夋潵姹傛瀬闄愩1鐨勬棤绌锋鏂规槸鏋侀檺鏈畾寮忕殑涓绉嶏紝鏈畾寮忔槸鎸囧鏋滃綋x鈫抶0(鎴栬厁鈫掆垶)鏃讹紝涓や釜鍑芥暟f(x)涓巊(x)閮借秼浜庨浂鎴栬呰秼浜鏃犵┓澶锛岄偅涔堟瀬闄恖im [f(x)/g(x)] (x鈫...
绛旓細楂樻暟姹傛瀬闄愭湁鏃跺欎笉鑳界洿鎺ョ敤1鐨勬棤绌锋鏂圭瓑浜e鍘熷洜锛氬洜涓1+1/n+1褰搉鍦ㄨ秼杩戞棤绌风殑鏃跺欙紝瀹冪殑n+1娆℃柟涔熷湪鍚屾椂瓒嬭繎锛屼袱涓繃绋嬫槸鍚屾杩涜鐨勶紝涓嶈兘鍒嗗紑澶勭悊銆俵im(x鈫掆垶)1^X=lim(x鈫掆垶)(1+1/x)^x=e銆傝嚜鍙橀噺瓒嬭繎鏃犵┓鍊兼椂鍑芥暟鐨勬瀬闄愶細璁惧嚱鏁癴(x)褰搢x| 澶т簬鏌愪竴姝ｆ暟鏃舵湁瀹氫箟锛屽鏋滃瓨鍦ㄥ父鏁癮锛...
绛旓細1鐨勬棤绌锋鏂规槸鏈畾寮忥紝涓鑸鐢ㄧ浜屼釜閲嶈鏋侀檺鏉ユ眰銆傛湭瀹氬紡鏄寚濡傛灉褰搙鈫抶0(鎴栬厁鈫掆垶)鏃讹紝涓や釜鍑芥暟f(x)涓巊(x)閮借秼浜庨浂鎴栬呰秼浜鏃犵┓澶锛岄偅涔堟瀬闄恖im [f(x)/g(x)] (x鈫抶0鎴栬厁鈫掆垶)鍙兘瀛樺湪锛屼篃鍙兘涓嶅瓨鍦紝閫氬父鎶婅繖绉嶆瀬闄愮О涓烘湭瀹氬紡锛屼篃绉版湭瀹氬瀷銆傛湭瀹氬紡閫氬父鐢ㄦ礇蹇呰揪娉曞垯姹傝В銆傜畝浠...
绛旓細瑙ｏ細鏄鐨勩1鐨勬棤绌峰ぇ娆℃柟锛岃繕鏄1銆
绛旓細姹傛瀬闄愮殑鏃跺 1鐨勬棤绌峰ぇ娆℃柟鏄剧劧涔熸槸鏈畾鍨 涓嶈兘纭畾鍏舵瀬闄愬肩殑澶у皬 閭ｄ箞灏辫杩涜杞崲 鍗1^鈭=e^(ln1 *鈭)姝ゆ椂鍐嶆妸ln1 *鈭炶浆鎹负 0/0 鍐嶄娇鐢ㄦ礇蹇呰揪娉曞垯锛屾潵姹傛瀬闄愬煎嵆鍙
绛旓細1鐨姝鏃犵┓澶ф鏂圭瓑浜e,1鐨勮礋鏃犵┓澶ф鏂圭瓑浜1/e,1鐨勪换浣曟鏂归兘绛変簬1鐨勮娉曟槸閿欒鐨勶紝涓嶈寰楀埌涓瓟妗堝氨鐩镐俊锛岋紒
绛旓細锛1+1/N锛鐨勬棤绌峰ぇ娆℃柟鎵鏄e 1 鐨N娆℃柟杩樻槸1
绛旓細LHOPITAL'S RULE鏄缃楁瘮杈炬硶鍒欐槸鍚э紵1^鈭炲綋鐒惰繕鏄1鍟︼紝鑰屼綘璇寸殑1鐨勬棤绌锋鏂涓轰粈涔堜笉绛変簬1锛屽叾涓殑1鐨勬棤绌锋鏂逛腑鐨1搴旇鏄寚鏌愪竴涓瀬闄愪负1鐨勮〃杈惧紡鍚э紝杩欑鎯呭喌褰撶劧瑕佹敞鎰忓暒锛屽洜涓烘棤绌峰娆″拰鏈夐檺澶氭鏄笉涓鏍风殑銆傝嚦浜庣敤浠涔堟柟娉曪紝杩欎釜瑕佸叿浣撴儏鍐靛叿浣撳垎鏋愶紝骞朵笉灞闄愪簬缃楁瘮杈炬硶鍒 ...
绛旓細1鐨勬棤绌锋鏂鍨嬫瀬闄愭眰瑙ｅ涓嬶細1銆侀渶瑕佷簡瑙ｄ竴浜涘熀鏈殑鏋侀檺姒傚康銆傚綋n瓒嬪悜浜鏃犵┓澶鏃讹紝1^n鐨勬瀬闄绛変簬1銆傝繖鏄鍥犱负鏃犺n鍙樺緱澶氬ぇ锛1^n鐨勭粨鏋滄绘槸1銆傚悓鏍峰湴锛0^n鐨勬瀬闄愪篃绛変簬0锛屽洜涓烘棤璁簄鍙樺緱澶氬ぇ锛0^n鐨勭粨鏋滄绘槸0銆2銆佽冭檻涓绉嶇壒娈婄殑鏋侀檺鎯呭喌锛屽嵆褰搙瓒嬪悜浜0鏃讹紝锛1+x锛塣鈭炵殑鏋侀檺銆傛垜浠彲浠ラ噰鐢...
