单源最短路径的Dijkstra算法 最短路径 Dijkstra 算法为什么边上的权值非负阿？
Dijkstra's \u6700\u77ed\u8def\u5f84\u7b97\u6cd5\u80fd\u4e0d\u80fd\u89e3\u8fd9\u4e2a\u542b\u6709\u8d1f\u6743\u91cd\u7684\u95ee\u9898Dijkstra\u7b97\u6cd5\u5f53\u4e2d\u5c06\u8282\u70b9\u5206\u4e3a\u5df2\u6c42\u5f97\u6700\u77ed\u8def\u5f84\u7684\u96c6\u5408\uff08\u8bb0\u4e3aS\uff09\u548c\u672a\u786e\u5b9a\u6700\u77ed\u8def\u5f84\u7684\u4e2a\u96c6\u5408\uff08\u8bb0\u4e3aU\uff09\uff0c\u5f52\u5165S\u96c6\u5408\u7684\u8282\u70b9\u7684\u6700\u77ed\u8def\u5f84\u53ca\u5176\u957f\u5ea6\u4e0d\u518d\u53d8\u66f4\uff0c\u5982\u679c\u8fb9\u4e0a\u7684\u6743\u503c\u5141\u8bb8\u4e3a\u8d1f\u503c\uff0c\u90a3\u4e48\u6709\u53ef\u80fd\u51fa\u73b0\u5f53\u4e0eS\u5185\u67d0\u70b9\uff08\u8bb0\u4e3aa\uff09\u4ee5\u8d1f\u8fb9\u76f8\u8fde\u7684\u70b9\uff08\u8bb0\u4e3ab\uff09\u786e\u5b9a\u5176\u6700\u77ed\u8def\u5f84\u65f6\uff0c\u5b83\u7684\u6700\u77ed\u8def\u5f84\u957f\u5ea6\u52a0\u4e0a\u8fd9\u6761\u8d1f\u8fb9\u7684\u6743\u503c\u7ed3\u679c\u5c0f\u4e8ea\u539f\u5148\u786e\u5b9a\u7684\u6700\u77ed\u8def\u5f84\u957f\u5ea6\uff0c\u800c\u6b64\u65f6a\u5728Dijkstra\u7b97\u6cd5\u4e0b\u662f\u65e0\u6cd5\u66f4\u65b0\u7684\uff0c\u7531\u6b64\u4fbf\u53ef\u80fd\u5f97\u4e0d\u5230\u6b63\u786e\u7684\u7ed3\u679c\u3002\u6c42\u5e26\u8d1f\u6743\u503c\u8fb9\u7684\u5355\u6e90\u6700\u77ed\u8def\u5f84\u53ef\u4ee5\u7528\u8d1d\u5c14\u66fc-\u798f\u7279\u7b97\u6cd5\u3002
Dijkstra\u7b97\u6cd5\u5f53\u4e2d\u5c06\u8282\u70b9\u5206\u4e3a\u5df2\u6c42\u5f97\u6700\u77ed\u8def\u5f84\u7684\u96c6\u5408\uff08\u8bb0\u4e3aS\uff09\u548c\u672a\u786e\u5b9a\u6700\u77ed\u8def\u5f84\u7684\u4e2a\u96c6\u5408\uff08\u8bb0\u4e3aU\uff09\uff0c\u5f52\u5165S\u96c6\u5408\u7684\u8282\u70b9\u7684\u6700\u77ed\u8def\u5f84\u53ca\u5176\u957f\u5ea6\u4e0d\u518d\u53d8\u66f4\uff0c\u5982\u679c\u8fb9\u4e0a\u7684\u6743\u503c\u5141\u8bb8\u4e3a\u8d1f\u503c\uff0c\u90a3\u4e48\u6709\u53ef\u80fd\u51fa\u73b0\u5f53\u4e0eS\u5185\u67d0\u70b9\uff08\u8bb0\u4e3aa\uff09\u4ee5\u8d1f\u8fb9\u76f8\u8fde\u7684\u70b9\uff08\u8bb0\u4e3ab\uff09\u786e\u5b9a\u5176\u6700\u77ed\u8def\u5f84\u65f6\uff0c\u5b83\u7684\u6700\u77ed\u8def\u5f84\u957f\u5ea6\u52a0\u4e0a\u8fd9\u6761\u8d1f\u8fb9\u7684\u6743\u503c\u7ed3\u679c\u5c0f\u4e8ea\u539f\u5148\u786e\u5b9a\u7684\u6700\u77ed\u8def\u5f84\u957f\u5ea6\uff0c\u800c\u6b64\u65f6a\u5728Dijkstra\u7b97\u6cd5\u4e0b\u662f\u65e0\u6cd5\u66f4\u65b0\u7684\uff0c\u7531\u6b64\u4fbf\u53ef\u80fd\u5f97\u4e0d\u5230\u6b63\u786e\u7684\u7ed3\u679c\u3002\u6c42\u5e26\u8d1f\u6743\u503c\u8fb9\u7684\u5355\u6e90\u6700\u77ed\u8def\u5f84\u53ef\u4ee5\u7528\u8d1d\u5c14\u66fc-\u798f\u7279\u7b97\u6cd5\u3002
将图G中所有的顶点V分成两个顶点集合S和T。以v为源点已经确定了最短路径的终点并入S集合中，S初始时只含顶点v,T则是尚未确定到源点v最短路径的顶点集合。然后每次从T集合中选择S集合点中到T路径最短的那个点，并加入到集合S中，并把这个点从集合T删除。直到T集合为空为止。
具体步骤
1、选一顶点v为源点，并视从源点v出发的所有边为到各顶点的最短路径（确定数据结构：因为求的是最短路径，所以①就要用一个记录从源点v到其它各顶点的路径长度数组dist[],开始时，dist是源点v到顶点i的直接边长度，即dist中记录的是邻接阵的第v行。②设一个用来记录从源点到其它顶点的路径数组path[],path中存放路径上第i个顶点的前驱顶点）。
2、在上述的最短路径dist[]中选一条最短的，并将其终点（即<v,k>）k加入到集合s中。
3、调整T中各顶点到源点v的最短路径。 因为当顶点k加入到集合s中后，源点v到T中剩余的其它顶点j就又增加了经过顶点k到达j的路径,这条路径可能要比源点v到j原来的最短的还要短。调整方法是比较dist[k]+g[k,j]与dist[j]，取其中的较小者。
4、再选出一个到源点v路径长度最小的顶点k,从T中删去后加入S中，再回去到第三步，如此重复，直到集合S中的包含图G的所有顶点。 SPFA实际上是Bellman-Ford基础上的队列优化
SPFA(G,w,s)
1. INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)
2. INITIALIZE-QUEUE(Q)
3. ENQUEUE(Q,s)
4. While Not EMPTY(Q)
5. Do u<-DLQUEUE(Q)
6. For 每条边(u,v) in E[G]
7. Do tmp<-d[v]
8. Relax(u,v,w)
9. If (d[v] < tmp) and (v不在Q中)
10. ENQUEUE(Q,v)
c++：
boolSPFA(intsource)
{
deque<int>dq;
inti,j,x,to;
for(i=1;i<=nodesum;i++)
{
in_sum[i]=0;
in_queue[i]=false;
dist[i]=INF;
path[i]=-1;
}
dq.push_back(source);
in_sum[source]++;
dist[source]=0;
in_queue[source]=true;
//初始化完成
while(!dq.empty())
{
x=dq.front();
dq.pop_front();
in_queue[x]=false;
for(i=0;i<adjmap[x].size();i++)
{
to=adjmap[x][i].to;
if((dist[x]<INF)&&(dist[to]>dist[x]+adjmap[x][i].weight))
{
dist[to]=dist[x]+adjmap[x][i].weight;
path[to]=x;
if(!in_queue[to])
{
in_queue[to]=true;
in_sum[to]++;
if(in_sum[to]==nodesum)
return false;
if(!dq.empty())
{
if(dist[to]>dist[dq.front()])
dq.push_back(to);
else
dq.push_front(to);
}
else
dq.push_back(to);
}
}
}
}
returntrue;
}
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绛旓細瀹氫箟Dijkstra(杩澃鏂壒鎷)绠楁硶鏄吀鍨嬬殑鍗曟簮鏈鐭矾寰绠楁硶,鐢ㄤ簬璁＄畻涓涓妭鐐瑰埌鍏朵粬鎵鏈夎妭鐐圭殑鏈鐭矾寰勩備富瑕佺壒鐐规槸浠ヨ捣濮嬬偣涓轰腑蹇冨悜澶栧眰灞傛墿灞,鐩村埌鎵╁睍鍒扮粓鐐逛负姝侱ijkstra绠楁硶鏄緢鏈変唬琛ㄦх殑鏈鐭矾寰勭畻娉,鍦ㄥ緢澶氫笓涓氳绋嬩腑閮戒綔涓哄熀鏈唴瀹规湁璇︾粏鐨勪粙缁,濡傛暟鎹粨鏋,鍥捐,杩愮瀛︾瓑绛夈侱ijkstra涓鑸殑琛ㄨ堪閫氬父鏈変袱绉嶆柟寮,涓绉...
绛旓細C璇█浠ｇ爜锛//娓呭崕澶у鍑虹増绀惧厜鐩樼殑浠ｇ爜 void ShortestPath_DIJ(MGraph G,int v0,PathMatrix &P,ShortPathTable &D){ // 绠楁硶7.15 // 鐢Dijkstra绠楁硶姹傛湁鍚戠綉G鐨剉0椤剁偣鍒板叾浣欓《鐐箆鐨鏈鐭矾寰P[v]// 鍙婂叾甯︽潈闀垮害D[v]銆// 鑻[v][w]涓篢RUE锛屽垯w鏄粠v0鍒皏褰撳墠姹傚緱鏈鐭矾寰勪笂鐨勯《鐐...
