莫比乌斯反演的莫比乌斯反演的性质 莫比乌斯反演
\u83ab\u6bd4\u4e4c\u65af\u53cd\u6f14\u7684\u83ab\u6bd4\u4e4c\u65af\u53cd\u6f14\u5b9a\u7406\u8bbe \u548c \u662f\u5b9a\u4e49\u5728\u6b63\u6574\u6570\u96c6\u5408\u4e0a\u7684\u4e24\u4e2a\u51fd\u6570,\u5b9a\u4e49\u5982\u4e0b\u3002 \u5219 .
\u629b\u5f00 F(x) \u548c G(x) \u8fd9\u4e24\u4e2a\u51fd\u6570\u3002\u3002\u5c31\u60f3\u90a3\u662f\u4e00\u4e2a\u662f\u5305\u542b\u3002\u3002\u4e00\u4e2a\u662f\u4ec5 \u5305\u542b\u3002\u3002\u95ee\u9898\u5c31\u7ed3\u51b3\u4e86\u3002\u3002\u3002\u3002
\u5bb9\u65a5\u5b9a\u7406\u53d9\u8ff0\uff1a
!A1 ^ !A2 ^ !A3 ^ .. ^!An
= sigma( (-1)^(|n|-|k|) * (P(k)) )
\u5176\u4e2d P(K) \u4e3a k \u91cd\u5b50\u96c6 \uff0c \u2018=\u2019\u53f7\u5de6\u8fb9\u7684^\u662f\u4ea4\u96c6\u7684\u8bb0\u53f7\u53f3\u8fb9\u662f\u6b21\u65b9\u7b26\u53f7\u3002
\u5148\u89c4\u5b9a \u504f\u5e8f\u96c6 X = { N , <= };
\u6709 P\uff08X\uff09 \u4e5f\u662f\u7bc7\u5e8f\u96c6\uff0c { P(x), belongTo }
\u7136\u540e\u6211\u4eec\u518d\u5bf9\u96c6\u5408\u4f5c\u52a0\u5de5\uff0c\u8ba9\u6240\u6709\u5143\u7d20\u90fd\u542b\u6709\u6027\u8d28 -1 \u5219\u5bb9\u65a5\u539f\u7406\u7684\u539f\u59cb\u53d9\u8ff0 \u662f\u6240\u6709\u4e0d\u5305\u542b\u4efb\u4f55\u6027\u8d28\u7684 \u5143\u7d20\u7684\u8ba1\u6570 \u73b0\u5728\u53d8\u6210: \u6240\u6709\u4ec5\u5305\u542b\u6027\u8d28-1 \u7684\u5143\u7d20\u7684\u8ba1\u6570
\u89c4\u5b9a\u51fd\u6570 F(n) \u4ec5\u5305\u542b\u6027\u8d28n\u7684\u8ba1\u6570\uff0c\u6ce8\u610f\u8fd9\u91ccn\u4e0d\u4ee3\u8868\u6574\u6570 \u800c\u662f n belongTo P(N)
n belongTo P(N) means n is a subset of N
\u89c4\u5b9a\u51fd\u6570 G(n) \u5305\u542b\u6027\u8d28n \u7684\u8ba1\u6570\uff0c n\u5b9a\u4e49\u5982\u4e0a\u3002
\u5219\u5bb9\u65a5\u5b9a\u7406\u7684\u6c42\u89e3\u5c31\u662f F(n),\u5176\u4e2d n={-1}.
\u6613\u77e5\uff1a G(n) = sigma( F(n))
\u8fd9\u6b65\u662f\u5173\u952e\uff0c\u4e2d\u6587\u63cf\u8ff0\u5c31\u662f: \u5305\u542ba1, a2, ..\u6027\u8d28\u7684\u5143\u7d20\u8ba1\u6570\u53ef\u4ee5\u770b\u6210 \u6240\u6709\u4ec5
\u96c6\u5408{a1, a2, .. , an}\u7684\u5b50\u96c6\u5143\u7d20\u6027\u8d28\u7684\u8ba1\u6570\u3002\u3002\u3002\u8fd9\u8bdd\u771f\u62d7\u53e3\u3002\u3002\u3002
\u90a3\u4e48\u6211\u4eec\u6839\u636e Mobius inversion,
F(n) = sigma( Miu(k, n)*G(k) )
\u6b64\u5904 miu(k, n) = -1^(|n|-|k|)
性质一（莫比乌斯反演公式）：
性质二：μ(n)是积性函数
性质三：设f是算术函数，它的和函数 是积性函数，那么 f 也是积性函数。
绛旓細鎬ц川涓锛鑾瘮涔屾柉鍙嶆紨鍏紡锛夛細鎬ц川浜岋細渭(n)鏄Н鎬у嚱鏁版ц川涓夛細璁緁鏄畻鏈嚱鏁帮紝瀹冪殑鍜屽嚱鏁 鏄Н鎬у嚱鏁帮紝閭ｄ箞 f 涔熸槸绉у嚱鏁般
绛旓細鎬荤粨璧锋潵锛鑾瘮涔屾柉鍙嶆紨鍏紡鐨勪袱绉嶈瘉鏄庢柟寮忥紝閫氳繃瀵屾瘮灏煎師鐞嗗拰鐙勫埄鍏嬮浄鍗风Н锛屼负鎴戜滑鎻ず浜嗘暟璁虹殑鍐呭湪鑱旂郴涓庡疄闄呭簲鐢ㄧ殑娣卞害銆傝繖浜涘伐鍏蜂笉浠呭湪鐞嗚鐮旂┒涓崰鎹噸瑕佸湴浣嶏紝涔熷湪淇℃伅鎶鏈殑鍓嶆部棰嗗煙鍙戞尌鐫涓嶅彲鎴栫己鐨勪綔鐢ㄣ
绛旓細鑾瘮涔屾柉鍙嶆紨鐨鎻ず锛氫竴涓弻鍚戠殑鏁板瀵硅瘽</鑾瘮涔屾柉鍙嶆紨锛岀畝瑷涔嬶紝灏辨槸涓や釜鍑芥暟f鍜実婊¤冻f(n) = 危(g(m) * 渭(n/m))褰撲笖浠呭綋g(n) = 危(f(m) * 渭(n/m))銆傝繖鏄竴绉嶆棤姣旂簿濡欑殑鍙屽悜鏄犲皠锛屽畠鎻ず浜嗘暟璁哄嚱鏁伴棿鐨勬繁鍒昏仈绯伙紝鐘瑰鏁板瀹囧畽涓殑鍜岃皭鍏辨尟銆傜幇鍦紝浣犲凡缁忔帉鎻′簡鑾瘮涔屾柉鍙嶆紨鐨勬牳蹇...
绛旓細10. 鑾瘮涔屾柉鍙嶆紨锛氳帿姣斾箤鏂弽婕旀槸涓绉嶅皢妞渾鏇茬嚎涓婄殑鐐规槧灏勫埌鍙︿竴涓き鍦嗘洸绾夸笂鐨勭偣鐨勬柟娉曘傝帿姣斾箤鏂弽婕斿湪绠楁暟鍑犱綍涓湁閲嶈搴旂敤锛屼緥濡傚湪瑙ｅ喅妞渾鏇茬嚎瀵嗙爜瀛﹂棶棰樻椂锛屾垜浠渶瑕佺敤鍒拌帿姣斾箤鏂弽婕旂殑鎬ц川銆
绛旓細鑻=1 閭ｄ箞渭(d)=1鑻=p1p2鈥r 锛坮涓笉鍚岃川鏁帮紝涓旀鏁伴兘涓轰竴锛壩(d)=(-1)r鍏朵綑 渭(d)=0
绛旓細鎵浠ヨ繖浜涘姞璧锋潵灏辨槸sigma[ d | n/d' ] ( m(d) )涓句釜渚嬪瓙褰 n = 10 d = 1 d鈥 = 1,2,5,10 m(1)g(1) + m(1)g(2) + m(1)g(5) + m(1)g(10)d = 2 d鈥 = 1,5 m(2)g(1) + m(2)g(5)d = 5 d' = 1,2 m(5)g(1) + m(5)...
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