莫比乌斯反演的莫比乌斯反演的引入
\u83ab\u6bd4\u4e4c\u65af\u53cd\u6f14\u7684\u83ab\u6bd4\u4e4c\u65af\u53cd\u6f14\u7684\u6027\u8d28\u6027\u8d28\u4e00\uff08\u83ab\u6bd4\u4e4c\u65af\u53cd\u6f14\u516c\u5f0f\uff09\uff1a\u6027\u8d28\u4e8c\uff1a\u03bc(n)\u662f\u79ef\u6027\u51fd\u6570\u6027\u8d28\u4e09\uff1a\u8bbef\u662f\u7b97\u672f\u51fd\u6570\uff0c\u5b83\u7684\u548c\u51fd\u6570 \u662f\u79ef\u6027\u51fd\u6570\uff0c\u90a3\u4e48 f \u4e5f\u662f\u79ef\u6027\u51fd\u6570\u3002
\u8bbe \u548c \u662f\u5b9a\u4e49\u5728\u6b63\u6574\u6570\u96c6\u5408\u4e0a\u7684\u4e24\u4e2a\u51fd\u6570,\u5b9a\u4e49\u5982\u4e0b\u3002 \u5219 .
莫比乌斯反演是数论中的重要内容，在许多情况下能够简化运算。我们考虑以下求和函数：
我们需要找到f(n)与F(n)之间的关系。从和函数定义当中，我们可以知道：
F(1)=f(1)
F(2)=f(1)+f(2)
F(3)=f(1)+ f(3)
F(4)=f(1)+f(2)+f(4)
F(5)=f(1)+f(5)
F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)
F(7)=f(1)+f(7)
F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)
那么：
f(1)=F(1)
f(2)=F(2)-f(1)=F(2)-F(1)
f(3) =F(3)-F(1)
f(4)=F(4) -f(2)- f(1) =F(4)-F(2)
f(5) =F(5)-F(1)
f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1)
f(7)=F(7)-F(1)
f(8)=F(8)-F(4)
从中，可以看出，若n=p2(p为质数)那么，F(p)=f(1)+f(p)，F(n)=f(1)+f(p)+f(p2)，所以，f(n)=F(p2)-F(p).
如果我们要让函数满足：
那么通过以上推导，我们可以知道μ(p2)=0.所以我们作出以下猜测：
绛旓細鑾瘮涔屾柉鍙嶆紨鏄暟璁轰腑鐨勯噸瑕佸唴瀹癸紝鍦ㄨ澶氭儏鍐典笅鑳藉绠鍖栬繍绠椼傛垜浠冭檻浠ヤ笅姹傚拰鍑芥暟锛 鎴戜滑闇瑕佹壘鍒癴(n)涓嶧(n)涔嬮棿鐨勫叧绯汇備粠鍜屽嚱鏁板畾涔夊綋涓紝鎴戜滑鍙互鐭ラ亾锛欶(1)=f(1)F(2)=f(1)+f(2)F(3)=f(1)+ f(3)F(4)=f(1)+f(2)+f(4)F(5)=f(1)+f(5)F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+...
绛旓細鑻=1 閭ｄ箞渭(d)=1鑻=p1p2鈥r 锛坮涓笉鍚岃川鏁帮紝涓旀鏁伴兘涓轰竴锛壩(d)=(-1)r鍏朵綑 渭(d)=0
绛旓細鎬ц川涓锛鑾瘮涔屾柉鍙嶆紨鍏紡锛夛細鎬ц川浜岋細渭(n)鏄Н鎬у嚱鏁版ц川涓夛細璁緁鏄畻鏈嚱鏁帮紝瀹冪殑鍜屽嚱鏁 鏄Н鎬у嚱鏁帮紝閭ｄ箞 f 涔熸槸绉у嚱鏁般
绛旓細璁 鍜 鏄畾涔夊湪姝ｆ暣鏁伴泦鍚堜笂鐨勪袱涓嚱鏁,瀹氫箟濡備笅銆 鍒 .
绛旓細瑙ｅ紑鑾瘮涔屾柉鍙嶆紨鐨勫ゥ绉橈紝棣栧厛闇鐞嗚В鍏抽敭姒傚康</ 鍦ㄦ暟璁虹殑娈垮爞閲岋紝鑾瘮涔屾柉鍙嶆紨灏卞儚涓閬撶拃鐠ㄧ殑鏁板璋滈銆傛垜浠厛浠庡熀纭姒傚康鍏ユ墜锛氬嵎绉細浜ゆ崲涓庣粨鍚堢殑鍔涢噺</鍗风Н锛屾槸鏁拌鍑芥暟涓栫晫涓殑鏍稿績杩愮畻锛屽皢涓や釜鍑芥暟f鍜実浜ょ粐鍦ㄤ竴璧凤紝瀹氫箟涓(f * g)(n) = 危(f(m) * g(n/m))銆傚畠灞曠幇浜嗙濂囩殑鎬ц川锛氫氦鎹㈠緥</...
绛旓細鎵浠ヨ繖浜涘姞璧锋潵灏辨槸sigma[ d | n/d' ] ( m(d) )涓句釜渚嬪瓙褰 n = 10 d = 1 d鈥 = 1,2,5,10 m(1)g(1) + m(1)g(2) + m(1)g(5) + m(1)g(10)d = 2 d鈥 = 1,5 m(2)g(1) + m(2)g(5)d = 5 d' = 1,2 m(5)g(1) + m(5)...
绛旓細I(n)鐨勫瓨鍦紝灏卞儚涓哄叕寮忔敞鍏ヤ簡鐢熷懡锛屼娇鍏跺湪瀹為檯搴旂敤涓剷鍙戞椿鍔涖傛荤粨璧锋潵锛鑾瘮涔屾柉鍙嶆紨鍏紡鐨勪袱绉嶈瘉鏄庢柟寮忥紝閫氳繃瀵屾瘮灏煎師鐞嗗拰鐙勫埄鍏嬮浄鍗风Н锛屼负鎴戜滑鎻ず浜嗘暟璁虹殑鍐呭湪鑱旂郴涓庡疄闄呭簲鐢ㄧ殑娣卞害銆傝繖浜涘伐鍏蜂笉浠呭湪鐞嗚鐮旂┒涓崰鎹噸瑕佸湴浣嶏紝涔熷湪淇℃伅鎶鏈殑鍓嶆部棰嗗煙鍙戞尌鐫涓嶅彲鎴栫己鐨勪綔鐢ㄣ
绛旓細鍏呭垎鎬ц瘉鏄庯細 鑰冭檻鍒帮細 鍥犳蹇呰鎬ц瘉鏄庯細 鑰冭檻鍒帮細 鍥犳
绛旓細娌欏灏旈棶棰樻槸涓閬撹憲鍚嶇殑鏁板闂锛屽畠鏈鍒濆嚭鐜板湪鍗板害鍙や唬鐨勭粡鍏告枃鐚鑾瘮涔屾柉鍙嶆紨銆嬩腑銆傛矙濉斿皵闂鐨勬暀鏉愰氬父鍖呮嫭瀵规矙濉斿皵闂鏈韩鐨勪粙缁嶏紝浠ュ強濡備綍浣跨敤鑾瘮涔屾柉鍙嶆紨鏉ヨВ鍐虫矙濉斿皵闂鐨勬柟娉曘傚叿浣撹岃█锛屾矙濉斿皵闂鏁欐潗閫氬父浼氬寘鎷互涓嬪唴瀹癸細娌欏灏旈棶棰樼殑鑳屾櫙浠嬬粛锛氫粙缁嶆矙濉斿皵闂鍑虹幇鐨勬椂闂村拰鍦扮偣锛屼互鍙婁负浠涔堜細浜х敓...
绛旓細1. 鏂墭鍏嬫柉瀹氱悊锛氬湪寰Н鍒嗗拰鍚戦噺鍒嗘瀽涓兘鏈変娇鐢ㄣ2. 娆ф媺瀹氱悊锛氬湪鏁拌鍜屽浘璁轰腑閮芥湁浣跨敤銆3. 搴撲粦瀹氬緥锛氬湪鐢靛鍜岀瀛︿腑閮芥湁浣跨敤銆4. 楂樻柉瀹氱悊锛氬湪寰Н鍒嗗拰鐢靛涓兘鏈変娇鐢ㄣ5. 鑾瘮涔屾柉鍙嶆紨瀹氱悊锛氬湪缁勫悎鏁板鍜屾暟璁轰腑閮芥湁浣跨敤銆傚綋鐒讹紝杩欎簺瀹氱悊鍦ㄤ笉鍚屽绉戜腑鐨勫叿浣撳惈涔夊拰搴旂敤鏄笉鍚岀殑锛岄渶瑕佹牴鎹叿浣撻鍩...
