用格林公式计算笛卡尔儿叶形线的面积，请写在纸上拍照或者发图片 笛卡儿叶形线的面积问题
\u600e\u6837\u7528\u683c\u6797\u516c\u5f0f\u8ba1\u7b97\u7b1b\u5361\u513f\u53f6\u5f62\u7ebfx^3+y^3=3axy(a>0)\u6240\u56f4\u6210\u7684\u5e73\u9762\u56fe\u5f62\u7684\u9762\u79ef\uff1f\u9762\u79ef\u7528\u683c\u6797\u516c\u5f0f\u4e3a0.5\u79ef\u5206xdy\uff0dydx\uff1d\u79ef\u5206xdy\uff1d\u79ef\u5206\uff0dydx\u3002
\u5199\u51fa\u53c2\u6570\u65b9\u7a0b\u3002\u4ee4y/x=t\uff0c\u4ee3\u5165\u5f97x^3(1+t^3)=3ax^2t\uff0c\u4e8e\u662fx\uff1d3at/(1+t^3)\uff0cy\uff1d3at^2/(1+t^3)\uff0ct\u4f4d\u4e8e\u30100\uff0c\u65e0\u7a77\uff09\uff0c\u4e8e\u662f\u9762\u79ef\u662f
\u79ef\u5206\uff08\u4ece0\u5230\u65e0\u7a77\uff093at/(1+t^3)d(3at^2)/(1+t^3)
=9a^2\u79ef\u5206\uff08\u4ece0\u5230\u65e0\u7a77\uff09(2t^2\uff0dt^5)dt/(1+t^3)^3 t^3=y
=3a^2\u79ef\u5206\uff080\u5230\u65e0\u7a77\uff09\u30103/(1+y)^3\uff0d1/(1+y)^2\u3011dy
\uff1d3a^2/2\u3002
\u8bbex=rcos\u03b8 ,y=rsin\u03b8
\u5219 (rcos\u03b8\uff09^3+(rsin\u03b8)^3=2ar^2cos\u03b8 sin\u03b8
r=2acos\u03b8sin\u03b8/(cos\u03b8 ^3+ sin\u03b8^3)
\u5f53\u03b8\u2208{0\uff0c\u03c0/2}\u65f6\uff0cr\u22650,\u4e14\u5f53\u03b8=0\u53ca\u03b8=\u03c0/2\u65f6,r=0
\u6240\u4ee5\u03b8=0\u5230\u03b8=\u03c0/2\u53f6\u5f62\u7ebf\u4f4d\u4e8e\u7b2c\u4e00\u8c61\u9650\u90e8\u5206\u6240\u56f4\u7684\u9762\u79ef\uff0c\u5373\u4e3a\u6240\u6c42\u9762\u79ef
S=0.5*\u222b(0,\u03c0/2){4*a*r^(sin\u03b8)^2(cos\u03b8)^2}/{(sin\u03b8)^3+(cos\u03b8)^3}^2
tg\u03b8=t ,S=2a^2\u222b(0,+\u221e)t^2dt/{(1+t^3}^2
=2a^2lim -1/ {3(1+t^3) }(0,t) =2a^2/3
t\u2192+\u221e
^面积用格林公式为0.5积分xdy－ydx＝积分xdy＝积分－ydx。
令y/x=t，代入得x^3(1+t^3)=3ax^2t，于是x＝3at/(1+t^3)，y＝3at^2/(1+t^3)，t位于【0，无穷），于是面积是
积分（从0到无穷）3at/(1+t^3)d(3at^2)/(1+t^3)
=9a^2积分（从0到无穷）(2t^2－t^5)dt/(1+t^3)^3 t^3=y
=3a^2积分（0到无穷）【3/(1+y)^3－1/(1+y)^2】dy
＝3a^2/2。
扩展资料：
设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分区域都属于D，则D称为平面单连通区域。直观地说，单连通区域是没有空间的区域，否则称为复连通区域。
当xOy平面上的曲线起点与终点重合时，则称曲线为闭曲线。设平面的闭曲线L围成平面区域D，并规定当一个人沿闭曲线L环行时，区域D总是位于此人的左侧，称此人行走方向为曲线L关于区域D的正方向，反之为负方向。
参考资料来源：百度百科-格林公式
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