数理逻辑史的两个不完全性定理
\u9a6c\u514b\u601d\u4e3b\u4e49\u540c\u4e2d\u56fd\u7684\u5b9e\u9645\u76f8\u7ed3\u5408\u5728\u4e24\u6b21\u5386\u53f2\u6027\u98de\u8dc3\uff0c\u5176\u4e2d\u7b2c\u4e8c\u6b21\u98de\u8dc3\u7684\u7406\u8bba\u6210\u679c\u662f\u6307\uff08 \uff09\u3002 A. \u6bdb\u6cfd\u4e1c\u601d\u60f3 B.\u2605\u9a6c\u514b\u601d\u4e3b\u4e49\u540c\u4e2d\u56fd\u7684\u5b9e\u9645\u76f8\u7ed3\u5408\u5728\u4e24\u6b21\u5386\u53f2\u6027\u98de\u8dc3
\u7b2c\u4e00\u6b21\u98de\u8dc3\u7684\u7406\u8bba\u6210\u679c\u662f\u6bdb\u6cfd\u4e1c\u601d\u60f3\uff0c
\u7b2c\u4e8c\u6b21\u98de\u8dc3\u7684\u7406\u8bba\u6210\u679c\u662f\u4e2d\u56fd\u7279\u8272\u793e\u4f1a\u4e3b\u4e49\u7406\u8bba\u4f53\u7cfb\uff08\u5305\u62ec\u9093\u5c0f\u5e73\u7406\u8bba\u3001\u201c\u4e09\u4e2a\u4ee3\u8868\u201d\u91cd\u8981\u601d\u60f3\u3001\u79d1\u5b66\u53d1\u5c55\u89c2\u7b49\u91cd\u5927\u6218\u7565\u601d\u60f3\uff09\u3002
\u7b2c\u4e00\uff0c\u9093\u5c0f\u5e73\u7406\u8bba\u575a\u6301\u89e3\u653e\u601d\u60f3\u3001\u5b9e\u4e8b\u6c42\u662f\uff0c\u5728\u65b0\u7684\u5b9e\u8df5\u57fa\u7840\u4e0a\u7ee7\u627f\u524d\u4eba\u53c8\u7a81\u7834\u9648\u89c4\uff0c\u5f00\u62d3\u4e86\u9a6c\u514b\u601d\u4e3b\u4e49\u7684\u65b0\u5883\u754c
\u7b2c\u4e8c\uff0c\u9093\u5c0f\u5e73\u7406\u8bba\u575a\u6301\u79d1\u5b66\u793e\u4f1a\u4e3b\u4e49\u7406\u8bba\u548c\u5b9e\u8df5\u7684\u57fa\u672c\u6210\u679c\uff0c\u6293\u4f4f\u201c\u4ec0\u4e48\u662f\u793e\u4f1a\u4e3b\u4e49\u3001\u600e\u6837\u5efa\u8bbe\u793e\u4f1a\u4e3b\u4e49\u201d\u8fd9\u4e2a\u6839\u672c\u95ee\u9898\uff0c\u6df1\u523b\u5730\u63ed\u793a\u793e\u4f1a\u4e3b\u4e49\u7684\u672c\u8d28\uff0c\u628a \u5bf9\u793e\u4f1a\u4e3b\u4e49\u7684\u8ba4\u8bc6\u63d0\u9ad8\u5230\u65b0\u7684\u79d1\u5b66\u6c34\u5e73
\u7b2c\u4e09\uff0c\u9093\u5c0f\u5e73\u7406\u8bba\u575a\u6301\u7528\u9a6c\u514b\u601d\u4e3b\u4e49\u7684\u5bbd\u5e7f\u773c\u754c\u89c2\u5bdf\u4e16\u754c\uff0c\u5bf9\u5f53\u4eca\u65f6\u4ee3\u7279\u5f81\u548c\u56fd\u9645\u5f62\u52bf\uff0c\u5bf9\u4e16\u754c\u4e0a\u5176\u4ed6\u793e\u4f1a\u4e3b\u4e49\u56fd\u5bb6\u7684\u6210\u8d25\uff0c\u5bf9\u53d1\u5c55\u4e2d\u56fd\u5bb6\u8c0b\u6c42\u53d1\u5c55\u7684\u5f97 \u5931\uff0c\u5bf9\u53d1\u8fbe\u56fd\u5bb6\u53d1\u5c55\u7684\u6001\u52bf\u548c\u77db\u76fe\uff0c\u8fdb\u884c\u6b63\u786e\u5206\u6790\uff0c\u4f5c\u51fa\u4e86\u65b0\u7684\u79d1\u5b66\u5224\u65ad
\u7b2c\u56db\uff0c\u603b\u8d77\u6765\u8bf4\uff0c\u9093\u5c0f\u5e73\u7406\u8bba\u5f62\u6210\u4e86\u65b0\u7684\u5efa\u8bbe\u6709\u4e2d\u56fd\u7279\u8272\u793e\u4f1a\u4e3b\u4e49\u7406\u8bba\u7684\u79d1\u5b66\u4f53\u7cfb
1930年夏，哥德尔着手考虑数学分析的一致性。与希尔伯特不同，他想分为两个步骤进行，先用有穷方法证明数论一致，然后再用数论来论证分析的一致性。在数论方面他很快得到决定性结果，于1931年发表《〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题》一文，此文包括两个著名定理。按照第一不完全性定理，一个包括初等数论和一阶逻辑的形式系统S，如果一致，那么就是不完全的。在证明里,他使用了有穷观点的逻辑和原始递归算术,并通过配数法，在S中表示关于 S的语法命题。哥德尔还利用对角线法构造了一个断定其自身在S中不可证的命题 A，并且说明，A和├A在S中皆不可证。由于A和├A二者必有一真，真而不可证，因之S不完全。在证明第二个不完全性定理时,哥德尔的基本论证是,由于“系统S一致”可在S中表示,记为Con(S)，同时 A即表示“A在S中不可证”，因之第一不完全性定理可在 S中表示为
├Con(S)→A从以上公式可见,如Con(S)可证, 那么就有├A；这显然与第一不完全性定理相矛盾，不能成立。因此，第二不完全性定理断定：如果一个包括古典数论的形式系统是一致的，则其一致性不能在此系统中得到证明，同时当然也不能用有穷方法证明。这一重要的发现给希尔伯特方案以很大的冲击。
绛旓細鍚屽勾甯屽皵浼壒鍦ㄦ尝鍔充簹鏁板浼氫笂鎻愬嚭閫昏緫婕旂畻鐨勫畬鍏ㄦ闂銆傚摜寰峰皵浜1929骞寸瀹屾垚骞朵簬1930骞村彂琛ㄤ簡鍗氬＋璁烘枃鐨勪慨鏀圭銆婇昏緫璋撹瘝婕旂畻鍏悊鐨勫畬鍏ㄦс嬶紝鍏朵富瑕佸唴瀹规槸璇佹槑锛氫竴闃惰皳璇嶆紨绠楃殑鏈夋晥鍏紡鐨嗗彲璇併傚悓鏃朵篃璇佹槑浜嗙揣鑷鎬у畾鐞鍜屽嫆鏂囨捣濮 -鍙稿瘒浼﹀畾鐞嗭紙瑙佸徃瀵囦鸡瀹氱悊锛夈備粬鍦ㄨ瘉鏄庨噷浣跨敤浜咼.鍏嬪凹甯屾棤绌峰紩鐞嗗拰鍙ゅ吀...
绛旓細鍏舵垚鏋滄槸闆嗗悎璁,鍏悊鍖栨柟娉,閫昏緫婕旂畻,璇佹槑璁,绗笁闃舵:鐮旂┒閫昏緫绯荤粺鐨勫畬鍏ㄦ,鍗忚皟鎬,璁＄畻鏈虹悊璁虹瓑1931骞村摜寰峰皵鍙戣〃涓嶅畬澶囨у畾鐞鑷充粖.鏈樁娈鏁扮悊閫昏緫鐨涓昏鍐呭澶ц嚧鍙互鍒嗕负浜斾釜鏂归潰:閫昏緫婕旂畻,璇佹槑璁,鍏悊闆嗗悎璁,閫掑綊璁,妯″瀷璁,鏁板鑳屾櫙:闆嗗悎璁(1870s),闆嗗悎璁烘槸鍏充簬鏃犵┓闆嗗悎鍜岃秴绌锋暟鐨勬暟瀛︾悊璁.鏁板閲岄亣鍒扮殑鏃犵┓鏈...
绛旓細3. 妯″瀷鐞嗚锛鏁扮悊閫昏緫涓殑妯″瀷鐞嗚涓烘暟璁烘彁渚涗簡涓绉嶆娊璞＄殑琛ㄧず鏂规硶銆傞氳繃寤虹珛鏁板瀵硅薄鍜岄昏緫鍏崇郴鐨勫搴斿叧绯伙紝鎴戜滑鍙互灏嗘暟璁轰腑鐨勯棶棰樿浆鍖栦负閫昏緫闂锛屼粠鑰屽埄鐢ㄩ昏緫宸ュ叿杩涜鐮旂┒銆備緥濡傦紝鍝ュ痉灏鐨勪笉瀹屽鎬у畾鐞灏辨槸閫氳繃寤虹珛鑷劧鏁伴泦鍜屼竴闃堕昏緫鐨勫叧绯伙紝璇佹槑浜嗕竴闃堕昏緫鏃犳硶瀹屽叏鎻忚堪鑷劧鏁伴泦鐨勬ц川銆4. 绠楁硶涓庤绠...
绛旓細鍦18涓栫邯,鏁板鍙茬殑鍏堥┍浣滃钂欐墭鍏嬭幈(Montucla)璇,浠栧凡鍚浜嗗叧浜庡彜甯岃厞浜洪鍏堢О鏁板涓衡滀竴鑸煡璇嗏,杩欎竴浜嬪疄鏈変袱绉嶈В閲:涓绉嶈В閲婃槸,鏁板鏈韩浼樹簬鍏跺畠鐭ヨ瘑棰嗗煙;鑰屽彟涓绉嶈В閲婃槸,浣滀负涓鑸煡璇嗘х殑瀛︾,鏁板鍦ㄤ慨杈炲,杈╄瘉娉,璇硶鍜屼鸡鐞嗗绛夌瓑涔嬪墠灏辩粨鏋瀹屾暣浜嗐傝挋鎵樺厠鑾辨帴鍙椾簡绗浜绉嶈В閲娿備粬涓嶅悓鎰忕涓绉嶈В閲,鍥犱负鍦...
绛旓細鏈夎叮鐨勬槸,鍐疯渚濇浖鍦ㄨ鏂囦腑棰勬劅鍒颁换浣曚竴绉嶅舰寮忕殑鍏悊绯荤粺鎵鍏锋湁鐨勫眬闄愭,妯＄硦鍦颁娇浜鸿仈鎯冲埌鍚庢潵鐢卞摜寰峰皵璇佹槑鐨涓嶅畬鍏ㄦу畾鐞銆傚姝ゆ枃绔,钁楀悕閫昏緫瀛﹀銆佸叕鐞嗛泦鍚堣濂犲熀浜轰箣涓鐨勫紬鍏板厠灏旀暀鎺堟浘浣滆繃濡備笅璇勪环:鈥滄垜涓嶈兘鍧氭寔璇存垜宸叉妸(鏂囩珷鐨)涓鍒囩悊瑙ｄ簡,浣嗗彲浠ョ‘鏈夋妸鎻″湴璇磋繖鏄竴浠舵澃鍑虹殑宸ヤ綔,骞朵笖閫忚繃浠栧彲浠ョ湅鍒颁竴浣...
绛旓細鍦ㄤ簹閲屽＋澶氬痉涔嬪悗锛屾柉澶氳憶瀛︽淳鐮旂┒浜嗗叧浜庡懡棰樼殑閫昏緫銆傚畠涓嶅悓浜庝簹姘忛昏緫锛屼絾鍙堜笌浜氭皬閫昏緫涓鏍凤紝鍚屽睘婕旂粠閫昏緫浣撶郴锛屽苟涓璧锋垚涓轰紶缁熼昏緫鏈涓昏鐨勬瀯鎴愰儴鍒嗐20涓栫邯80骞翠唬浠ユ潵锛屽湪缇庡浗鍜屾娲插張鍏磋捣鈥滄壒鍒ゆф濈淮鈥(鎸囨湁鐩殑鐨勩佽嚜鎴戞牎鍑嗙殑鍒ゆ柇銆傝繖绉嶅垽鏂〃鐜颁负瑙ｉ噴銆佸垎鏋愩佽瘎浼般佹帹璁轰互鍙婂鍒ゆ柇璧栦互瀛樺湪鐨勮瘉鎹...
绛旓細杩欐鍗辨満瀵鏁扮悊閫昏緫鍜岀幇浠ｆ暟瀛︿骇鐢熶簡娣辫繙褰卞搷锛屾暟瀛﹀浠氳繃閫昏緫涓讳箟銆佺洿瑙変富涔夊拰褰㈠紡涓讳箟绛変笉鍚屽摬瀛︽祦娲撅紝浠ュ強缃楃礌鐨勭被鍨嬭銆佺瓥姊呯綏闆嗗悎璁哄叕鐞嗕綋绯荤瓑鍔姏锛岃瘯鍥捐В鍐宠繖涓闂銆傚摜寰峰皵鐨勪笉瀹屽叏鎬у畾鐞鎻ず浜嗗舰寮忕郴缁熷眬闄愭э紝瀹ｅ憡浜嗕紒鍥惧交搴曢伩鍏嶆倴璁虹殑灏濊瘯鏃犳硶鎴愬姛锛屾垚涓烘暟瀛﹀彶涓婄殑閲岀▼纰戙傚敖绠＄涓夋鏁板鍗辨満灏氭湭...
绛旓細鍝ュ痉灏涓嶅畬鍏ㄦу畾鐞鏃犲彲杈╅┏鍦版彮绀轰簡 *** 绯荤粺鐨勫眬闄愭,浠庢暟瀛︿笂璇佹槑浜嗕紒鍥句互 *** 鐨勬妧鏈柟娉曚竴鍔虫案閫稿湴瑙ｅ喅鎮栬闂鐨勪笉鍙兘鎬с 瀹冨疄闄呬笂鍛婅瘔浜轰滑,浠讳綍鎯宠涓烘暟瀛︽壘鍒扮粷瀵瑰彲闈犵殑鍩虹,浠庤屽交搴曢伩鍏嶆倴璁虹殑绉嶇浼佸浘閮芥槸寰掑姵鏃犵泭鐨,鍝ュ痉灏斿畾鐞嗘槸鏁扮悊閫昏緫銆佷汉宸ユ櫤鑳姐 *** 璁虹殑鍩虹煶,鏄暟瀛﹀彶涓婄殑涓涓噷绋嬬銆 缇...
绛旓細3銆佸崲鍗¤タ缁磋尐銆傚崲鍗¤タ缁磋尐锛屾尝鍏扮殑閫昏緫瀛﹀锛屼唬琛ㄤ綔鍝佹槸銆婅涓夊奸昏緫銆嬨4銆佸摜寰峰皵銆傚摜寰峰皵锛岀編绫嶅ゥ鍦板埄鏁板瀹躲侀昏緫瀛﹀鍜屽摬瀛﹀锛屾槸浜屽崄涓栫邯鏈浼熷ぇ鐨勯昏緫瀛﹀涔嬩竴锛屽叾鏈鏉板嚭鐨勮础鐚槸鍝ュ痉灏涓嶅畬鍏ㄦу畾鐞銆5銆佸紬闆锋牸銆傚紬闆锋牸锛屽痉鍥芥暟瀛﹀銆侀昏緫瀛﹀鍜屽摬瀛﹀銆傛槸鏁扮悊閫昏緫鍜屽垎鏋愬摬瀛︾殑濂犲熀浜恒傝憲鏈夎憲浣溿...
绛旓細鏃╁湪鍏厓鍓5涓栫邯鍓嶅悗锛屽彜浠ｄ腑鍥姐佸彜鍗板害鍜屽彜甯岃厞灏变骇鐢熶簡鍚勫叿鐗硅壊鐨勯昏緫瀛﹁銆備腑鍥界殑鍚嶈京銆佸嵃搴︾殑鍥犳槑鍜岃タ鏂圭殑閫昏緫锛屼笁澶ч昏緫娴佹淳鍚勮嚜鐙爲涓甯滐紝鑷垚浣撶郴锛屽湪涓栫晫閫昏緫鍙涓婇紟瓒宠岀珛锛屼氦鐩歌緣鏄犮20涓栫邯30骞翠唬锛岄昏緫瀛︾浉缁у彇寰椾簡涓変釜鍒掓椂浠ｇ殑鎴愭灉锛堝摜寰峰皵涓嶅畬鍏ㄦу畾鐞銆佸鏂熀褰㈠紡璇█鐪熺悊璁恒佸浘鐏垫満鍙婂叾...
