复变函数中的欧拉公式

\u590d\u53d8\u51fd\u6570\u8bba\u91cc\u7684\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u7684\u8bc1\u660e

\u5c06\u51fd\u6570y=e^x\u3001y=sinx\u3001y=cosx\u7528\u5e42\u7ea7\u6570\u5c55\u5f00,\u6709
e^x=exp(x)\uff1d1\uff0bx/1\uff01\uff0bx^2/2\uff01\uff0bx^3/3\uff01\uff0bx^4/4\uff01\uff0b\u2026\uff0bx^n/n\uff01\uff0b\u2026

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+\u2026\u2026+(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+\u2026\u2026

cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+\u2026\u2026+(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+\u2026\u2026
\u5c06\u5f0f\u4e2d\u7684x\u6362\u4e3aix,\u5f97\u5230\u5f0f\uff1b
\u5c06i*+\u5f0f\u5f97\u5230\u5f0f\u3002\u6bd4\u8f83\u4e24\u5f0f\uff0c\u77e5\u4e0e\u6052\u7b49\u3002
\u4e8e\u662f\u6211\u4eec\u5bfc\u51fa\u4e86e^ix=cosx+isinx\u3002 P.S. \u4e3a\u4e86\u65b9\u4fbf\u7406\u89e3\uff0c\u73b0\u7ed9\u51fa\u5e42\u7ea7\u6570\u6982\u5ff5\u53ca\u6cf0\u52d2\u5c55\u5f00\u5f0f\uff1a
\u5e42\u7ea7\u6570
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=\u2211cnxn (n=0..\u221e)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=\u2211cn(x-a)n (n=0..\u221e)
\u5b83\u4eec\u7684\u5404\u9879\u90fd\u662f\u6b63\u6574\u6570\u5e42\u7684\u5e42\u51fd\u6570, \u5176\u4e2dc0,c1,c2,...cn...\u53caa\u90fd\u662f\u5e38\u6570, \u8fd9\u79cd\u7ea7\u6570\u79f0\u4e3a\u5e42\u7ea7\u6570.
\u6cf0\u52d2\u5c55\u5f00\u5f0f(\u5e42\u7ea7\u6570\u5c55\u5f00\u6cd5):
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...

1 \u53ef\u4ee5\u662f\u590d\u6570

2 sinZ= IM (cosZ +isinZ) \u53ea\u6709Z\u662f\u5b9e\u6570\u65f6\u624d\u6210\u7acb\uff0c \u5982\u679cZ\u4e0d\u662f\u5b9e\u6570\uff0c\u8fd9\u4e2a\u5f0f\u5b50\u5c31\u4e0d\u6210\u7acb\uff0c\u6240\u4ee5\u4f60\u4e0d\u80fd\u628ai\u4ee3\u5165Z

sinZ=[e^(iZ)-e(-iZ)]/(2i) \u5f53\u7136\u662f\u7528\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u63a8\u51fa\u6765\u7684\uff0c\u4f60\u7528\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u4ee3\u5165\u7b97\u7b97\u963f\uff0c\u5f88\u660e\u663e

e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。 e^ix=cosx+isinx的证明： 因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-…… 在e＾x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=〒i, (±i)^4=1 ……（注意：其中＂〒＂表示＂减加＂） e^±ix=1±x/1！-x^2/2！+x^3/3!〒x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx

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