初一数学,难题及答案
1. 在一个圆中，AB是圆O的直径，CD是圆O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°。给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是()。解答：如图，连接OD，因为CD是圆O的切线，所以CD垂直于OD，即∠ODC=90°。又因为∠A=30°，所以∠ABD=60°。由于△OBD是等边三角形，所以∠DOB=∠ABD=60°，因此AB=2OB=2OD=2BD。所以∠C=∠BDC=30°，因此BD=BC。结论①和结论③是正确的。
2. 一个矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，圆O2的半径为1，O1O2垂直于AB于点P，O1O2的长度为6。如果圆O2绕点P按顺时针方向旋转360°，那么在旋转过程中，圆O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现()次。
解答：圆O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现4次。这是因为圆O2的半径为1，当圆O2绕点P旋转时，它会在矩形的四个顶点处与矩形相切。
3. 在平面直角坐标系xOy中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为(-3,0)，将圆P沿x轴正方向平移，使圆P与y轴相切，那么平移的距离为()。
解答：当圆P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当圆P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5。这是因为圆P的半径为2，所以当圆心到y轴的距离为2时，圆P与y轴相切。平移1个单位后，圆心到y轴的距离为1，圆P与y轴相切；平移5个单位后，圆心到y轴的距离为7，圆P与y轴相切。
4. P为圆O的直径BA延长线上的一点，PC与圆O相切，切点为C，点D是圆上的一点，连接PD。已知PC=PD=BC。下列结论：PD与圆O相切；四边形PCBD是菱形；PO=AB；∠PDB=120°。其中正确的个数为()。
解答：连接CO和DO。因为PC与圆O相切，切点为C，所以∠PCO=90°。在△PCO和△PDO中，由于PC=PD，CO=DO，所以△PCO≌△PDO(SSS)，因此∠PCO=∠PDO=90°。所以PD与圆O相切，结论①正确。由于PC=PD，所以四边形PCBD是平行四边形，而不是菱形，结论②错误。PO是圆O的半径，而AB是圆O的直径，所以PO≠AB，结论③错误。在△PDB中，∠PDB是直角，所以∠PDB=90°，结论④错误。因此，正确的结论个数为1。
5. PA和PB切圆O于A、B两点，CD切圆O于点E，交PA、PB于C、D。如果圆O的半径为r，△PCD的周长等于3r，那么tan∠APB的值是()。
解答：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F。因为PA和PB切圆O于A、B两点，CD切圆O于点E，所以∠OAP=∠OBP=90°。因此，CA=CE，DB=DE，PA=PB。因为△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，所以PA=PB。在Rt△BFP和Rt△OAF中，因为Rt△BFP∽Rt△OAF，所以AF=FB。在Rt△FBP中，(PA+AF)²/2=FB²。因此，(r+BF)²-()²=BF²，解得BF=r。所以tan∠APB的值为√3。
6. G为△ABC的重心。如果圆G分别与AC、BC相切，且与AB相交于两点，那么关于△ABC三边长的大小关系，下列何者正确?()
解答：因为G为△ABC的重心，所以△ABG面积=△BCG面积=△ACG面积。又因为GHa=GHb>GHc，所以BC=AC。
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