线性代数总结 第一章 行列式

线性代数总结，第一章行列式。

一、n阶排列及其逆序数、对换

1、n阶排列和自然排列：由自然数1,2，…n组成的任意一个n元有序数组称为一个n阶排列，其中12…n称为自然排列。

2、逆序、顺序和逆序数：在一个排列中，如果一个较大的数字排在一个较小的数字之前，则称这两个数字构成一个逆序，否则，称这两个数字构成一个顺序，在一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。

计算方法：将数i与排在其前面的数构成的逆序数记为，例如，对于5阶排列35412。τ1=3（有三个比1大的数在1前面），τ2=3，τ3=0，τ4=1，τ5=0。所以逆序数=3+3+0+1+0=7。

3、奇排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列。

4、偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列。

5、定理1：对换改变排列的奇偶性。

推论：排列经过奇数次对换其奇偶性发生改变，经过偶数次对换其奇偶性不变。

推论：当n≥2时，在n阶排列中，奇偶排列数目相等，即各有个。

二、n阶行列式的定义

1、n阶行列式定义：n阶行列式等于所有来自不同行不同列的n个元素乘积的代数和。由于代数和的项数为n！个，为了表达方便，我们可以将每项中的n个元素按行指标由小到大的顺序排列，并规定此时列指标为偶排列时，此项前面带正号，列指标为奇排列时，前面带负号（后面举个例子）此时，n阶行列式可以表示为：

例子：对于乘积项，先按行指标从小排到大，即然后其列指标的逆序数为τ(4213)=4，是偶数，所以乘积项是偶数（笔算的话一般不用这个方法）。

2、主对角线：在行列式中，由左上角到右下角（\）所形成的斜线称为主对角线。

副对角线：由右上角到左下角（/）所形成的斜线称为副对角线。

上三角形行列式：在主对角线下方的元素全为0。

下三角形行列式：在主对角线上方的元素全为0。

三角形行列式：上三角形行列式和下三角形行列式统称三角形行列式。

对角行列式：除主对角线之外的元素全为零。

三、n阶行列式的性质和计算

1、性质：

（1）行与列互换，行列式的值不变。

记是行列式D行与列互换后的行列式，称是D的转置行列式。

（2）在行列式中，如果某一行（列）元素全为零，则该行列式的值为0。

（用行列式定义的计算公式易证）。

（3）交换任意两行（列）的位置，行列式的值变号。

（4）如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式为0。

（5）行列式具有线性：

①可以整一行或者整一列提一个系数k出来。

②

（6）推论：如果行列式有两行（列）成比例，则行列式为0。

推论：行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列），行列式的值不变。

2、根据性质，引出以下记号：（行的英文：row，列的英文：column）。

四、行列式按一行展开及克拉默法则

1、按一行（列展开）：在n阶行列式中，去掉元素所在的第i行、第j列所剩下的个元素构成的n-1阶行列式称为元素的余子式，通常记为Mij，余子式与符号项的乘积叫做元素的代数余子式，通常记为Aij。规定n=1时，Mij=Aij=1。

2、按一行（列）展开的行列式的定理：n阶行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与各自的代数余子式（Aij）的乘积之和。

3、n阶范德蒙德行列式（注意行列都有n个）。

4、在n阶行列式中，某一行（列）元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积的和等于零，于是对于和，下面的等式成立。

5、克拉默法则：

6、定理：如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则它只有零解（即x1、x2...全为0）（换句话说，如果其次线性方程组有非零解，那么系数行列式D=0）。

7、拉普拉斯展开定理：

（1）基础知识：设k是不大于n的正整数，在n阶行列式中，选定k行k列。

k阶子式M：位于这k行k列交点处的个元素按原来的次序组成一个k阶行列式M。

M的余子式N：若把选定的k行k列划去，则余下的个元素按原来的次序组成一个n-k阶行列式N。

M的代数余子式A：设选定的k行为第行，选定的k列为第列，此时称为M的代数余子式。

（2）拉普拉斯展开定理：

设k是小于n的正整数，在n阶行列式D中选定K行k列（注意！！此时有种取法），然后把每一种取法的k阶子式M和他们各自的代数余子式的乘积之和等于行列式D。

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