求由圆r=3cosθ与心形线r=1+cosθ所围成图形的面积 请附图说明 求圆r=1被心形线r=1+cosθ所分割成的两部分的面积
\u8ba1\u7b97\u5fc3\u5f62\u7ebfr=a(1+cos\u03b8)\u4e0e\u5706r=a\u6240\u56f4\u56fe\u5f62\u9762\u79ef\u7528\u5b9a\u79ef\u5206\u6765\u6c42\uff0c\u6839\u636e\u516c\u5f0f\uff0c\u5fc3\u578b\u7ebf\u7684\u957f\u5ea6\u8bbe\u4e3aL\uff0c\u90a3\u4e48 L=\u222b(r^2+r'^2)^(1/2)d\u03b8 \u5176\u4e2d\uff0cr'\u8868\u793ar\u7684\u5bfc\u6570\uff0c\u79ef\u5206\u4e0a\u96502\u03c0\uff0c\u4e0b\u9650\u4e3a0
L=\u222b{[a(1+cos\u03b8)]^2+(asin\u03b8)^2}^(1/2)d\u03b8 =a*\u222b[2+2cos\u03b8)^(1/2)d\u03b8 =2a*\u222b|cos(\u03b8/2)|d\u03b8=2a*[\u222bcos(\u03b8/2)d\u03b8 (\u4e0a\u9650\u4e3a\u03c0\uff0c\u4e0b\u9650\u4e3a0)+\u222b-cos(\u03b8/2)d\u03b8(\u4e0b\u9650\u4e3a\u03c0\uff0c\u4e0a\u9650\u4e3a2\u03c0)] =8a
\u6309\u7167\u7ecf\u5178\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u4ece(a,b)\u5230R3\u4e2d\u7684\u8fde\u7eed\u6620\u5c04\u5c31\u662f\u4e00\u6761\u66f2\u7ebf\uff0c\u8fd9\u76f8\u5f53\u4e8e\u662f\u8bf4\uff1a
1\u3001R3\u4e2d\u7684\u66f2\u7ebf\u662f\u4e00\u4e2a\u4e00\u7ef4\u7a7a\u95f4\u7684\u8fde\u7eed\u50cf\uff0c\u56e0\u6b64\u662f\u4e00\u7ef4\u7684\u3002
2\u3001R3\u4e2d\u7684\u66f2\u7ebf\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u76f4\u7ebf\u505a\u5404\u79cd\u626d\u66f2\u5f97\u5230\u3002
3\u3001\u8bf4\u53c2\u6570\u7684\u67d0\u4e2a\u503c\uff0c\u5c31\u662f\u8bf4\u66f2\u7ebf\u4e0a\u7684\u4e00\u4e2a\u70b9\uff0c\u4f46\u662f\u53cd\u8fc7\u6765\u4e0d\u4e00\u5b9a\uff0c\u56e0\u4e3a\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u8003\u8651\u81ea\u4ea4\u7684\u66f2\u7ebf\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u4efb\u4f55\u4e00\u6839\u8fde\u7eed\u7684\u7ebf\u6761\u90fd\u79f0\u4e3a\u66f2\u7ebf\u3002\u5305\u62ec\u76f4\u7ebf\u3001\u6298\u7ebf\u3001\u7ebf\u6bb5\u3001\u5706\u5f27\u7b49\u3002\u66f2\u7ebf\u662f1-2\u7ef4\u7684\u56fe\u5f62\uff0c\u53c2\u8003\u300a\u5206\u6570\u7ef4\u7a7a\u95f4\u300b\u3002 \u5904\u5904\u8f6c\u6298\u7684\u66f2\u7ebf\u4e00\u822c\u5177\u6709\u65e0\u7a77\u5927\u7684\u957f\u5ea6\u548c\u96f6\u7684\u9762\u79ef\uff0c\u8fd9\u65f6\uff0c\u66f2\u7ebf\u672c\u8eab\u5c31\u662f\u4e00\u4e2a\u5927\u4e8e1\u5c0f\u4e8e2\u7ef4\u7684\u7a7a\u95f4\u3002
\u76f4\u89c2\u4e0a\uff0c\u66f2\u7ebf\u53ef\u770b\u6210\u7a7a\u95f4\u8d28\u70b9\u8fd0\u52a8\u7684\u8f68\u8ff9\u3002\u66f2\u7ebf\u7684\u66f4\u4e25\u683c\u7684\u5b9a\u4e49\u662f\u533a\u95f4\u03b1\uff0cb)\u5230E3\u4e2d\u7684\u6620\u5c04r:\u03b1,b)E3\u3002\u6709\u65f6\u4e5f\u628a\u8fd9\u6620\u5c04\u7684\u50cf\u79f0\u4e3a\u66f2\u7ebf\u3002
\u4ee5\u66f2\u7ebf\u7684\u5168\u90e8\u6216\u786e\u5b9a\u7684\u4e00\u6bb5\u4f5c\u4e3a\u7814\u7a76\u5bf9\u8c61\u65f6\uff0c\u5c31\u5f97\u5230\u66f2\u7ebf\u7684\u6574\u4f53\u7684\u51e0\u4f55\u6027\u8d28\u3002\u8bbe\u66f2\u7ebfC\u7684\u53c2\u6570\u65b9\u7a0b\u4e3ar=r(s)\uff0cs\u2208\u3010\u03b1,b)\u3011\uff0cs\u4e3a\u5f27\u957f\u53c2\u6570,\u82e5\u5176\u59cb\u70b9\u548c\u7ec8\u70b9\u91cd\u5408r(\u03b1)=r(b))\uff0c\u8fd9\u65f6\u66f2\u7ebf\u662f\u95ed\u5408\u7684\uff0c\u79f0\u4e3a\u95ed\u66f2\u7ebf\u3002\u82e5\u5b83\u5728\u8fd9\u70b9\u7684\u5207\u5411\u91cf\u91cd\u5408\uff0c\u5373r\u2521(\u03b1)=r\u2521(b))\uff0c\u4e14\u81ea\u8eab\u4e0d\u518d\u76f8\u4ea4\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u2014\u2014\u66f2\u7ebf
\u8054\u7acb\u4e24\u4e2a\u65b9\u7a0b
r=3cos\u03b8
r=1+cos\u03b8
\u5f53\u4e24\u4e2a\u76f8\u7b49\u65f6\uff0c3cos\u03b8=1+cos\u03b8
\u53732cos\u03b8=1\uff0c\u03b8=\u03c0/3\u548c-\u03c0/3
\u5148\u5bf9\u5fc3\u5f62\u7ebf\u5728-\u03c0/3\u5230\u03c0/3\u7684\u9762\u79ef\u6c42\u51fa\u6765\uff0c\u56e0\u4e3a\u4e0a\u4e0b\u5bf9\u79f0\uff0c\u6240\u4ee5\u9762\u79ef\u662f\u4e0a\u9762\u4e00\u5757\u7684\u4e24\u500d
S1=\u222b[0,\u03c0/3](1+cos\u03b8)^2d\u03b8=\u222b[0,\u03c0/3](1+2cos\u03b8+cos\u03b8^2)d\u03b8=\u03c0/2+9\u6839\u53f73/8
\u5bf9\u4e8e\u5269\u4e0b\u7684\u90e8\u5206\u5c31\u662f\u5706r=3cos\u03b8\uff0c\u4ece\u03c0/3\u79ef\u5206\u5230\u03c0/2\uff0c\u4ecd\u7136\u4e0a\u4e0b\u5bf9\u79f0
S2=9\u222b[\u03c0/3\uff0c\u03c0/2](cos\u03b8)^2d\u03b8=3\u03c0/4-9\u6839\u53f73/8
\u603b\u9762\u79efS=S1+S2=3\u03c0/4-9\u6839\u53f73/8+\u03c0/2+9\u6839\u53f73/8=5\u03c0/4
联立两个方程
r=3cosθ
r=1+cosθ
当两个相等时,3cosθ=1+cosθ
即2cosθ=1,θ=π/3和-π/3
先对心形线在-π/3到π/3的面积求出来,因为上下对称,所以面积是上面一块的两倍
S1=∫[0,π/3](1+cosθ)^2dθ=∫[0,π/3](1+2cosθ+cosθ^2)dθ=π/2+9根号3/8
对于剩下的部分就是圆r=3cosθ,从π/3积分到π/2,仍然上下对称
S2=9∫[π/3,π/2](cosθ)^2dθ=3π/4-9根号3/8
总面积S=S1+S2=3π/4-9根号3/8+π/2+9根号3/8=5π/4
扩展资料：
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 [2] ．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：
k×π/2±a(k∈z)的三角函数：
（1）当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；
（2）当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
参考资料：百度百科-三角函数公式
联立两个方程
r=3cosθ
r=1+cosθ
当两个相等时，3cosθ=1+cosθ
即2cosθ=1，θ=π/3和-π/3
先对心形线在-π/3到π/3的面积求出来，因为上下对称，所以面积是上面一块的两倍
S1=∫[0,π/3](1+cosθ)^2dθ=∫[0,π/3](1+2cosθ+cosθ^2)dθ=π/2+9根号3/8
对于剩下的部分就是圆r=3cosθ，从π/3积分到π/2，仍然上下对称
S2=9∫[π/3，π/2](cosθ)^2dθ=3π/4-9根号3/8
总面积S=S1+S2=3π/4-9根号3/8+π/2+9根号3/8=5π/4
θ范围？
积分可以很简单求出来的
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