已知等比数列{an}的各项都是正数,前n项和为Sn,且a3=4,S4=S2+12.
解题思路:(1)直接利用a 3=4,S 4=s 2+12,以及等比数列的性质,得到关于首项和公比的等式,即可求出首项a 1及公比q的值;(2)利用(1)的结论,求出数列{b n}的通项公式,再利用错位相减法即可求出数列{b n}的前n项和T n.
(3)利用作差法,即可证明结论.
(1)由已知S4=S2+12得S4-S2=a3+a4=12
又由a3=4,∴a4=8
∴等比数列的公比q=2(2分)
∴an=a3•qn−3=4×2n−3=2n−1(4分)
(2)bn=(2n+2)an=(2n+2)•2n−1=(n+1)2n(5分)
∴Tn=2•2+3•22+4•23+…+(n+1)•2n(6分)
∴2Tn=2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+(n+1)•2n+1,(7分)
∴−Tn=2•2+22+23+…+2n−(n+1)•2n+1(8分)
=2•(2n-1)+2-(n+1)•2n+1=-n•2n+1(9分)
∴Tn=n•2n+1(10分)
(3)证明:Cn=
2n+1
an=
2n+1
2n−1(11分)
∵n∈N*
∴1-2n<0,2n>0(12分)
∴Cn+1−Cn=
2n+3
2n−
2n+1
2n−1=
1−2n
2n<0,
∴Cn+1<Cn(14分)
点评:
本题考点: 数列与不等式的综合;等比数列的通项公式;等比数列的前n项和;数列的求和.
考点点评: 本题考查了等比数列的通项公式,以及错位相减求和,考查不等式的证明,属于中档题.
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