特征向量怎么求详细步骤 特征向量具体怎么求的
\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u600e\u4e48\u6c42\u4ece\u5b9a\u4e49\u51fa\u53d1\uff0cAx=cx\uff1aA\u4e3a\u77e9\u9635\uff0cc\u4e3a\u7279\u5f81\u503c\uff0cx\u4e3a\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u3002
\u77e9\u9635A\u4e58\u4ee5x\u8868\u793a\uff0c\u5bf9\u5411\u91cfx\u8fdb\u884c\u4e00\u6b21\u8f6c\u6362\uff08\u65cb\u8f6c\u6216\u62c9\u4f38\uff09\uff08\u662f\u4e00\u79cd\u7ebf\u6027\u8f6c\u6362\uff09\uff0c\u800c\u8be5\u8f6c\u6362\u7684\u6548\u679c\u4e3a\u5e38\u6570c\u4e58\u4ee5\u5411\u91cfx\uff08\u5373\u53ea\u8fdb\u884c\u62c9\u4f38\uff09\u3002
\u901a\u5e38\u6c42\u7279\u5f81\u503c\u548c\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u5373\u4e3a\u6c42\u51fa\u8be5\u77e9\u9635\u80fd\u4f7f\u54ea\u4e9b\u5411\u91cf\uff08\u5f53\u7136\u662f\u7279\u5f81\u5411\u91cf\uff09\u53ea\u53d1\u751f\u62c9\u4f38\uff0c\u4f7f\u5176\u53d1\u751f\u62c9\u4f38\u7684\u7a0b\u5ea6\u5982\u4f55\uff08\u7279\u5f81\u503c\u5927\u5c0f\uff09\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u6570\u503c\u8ba1\u7b97\u7684\u539f\u5219\uff1a
\u5728\u5b9e\u8df5\u4e2d\uff0c\u5927\u578b\u77e9\u9635\u7684\u7279\u5f81\u503c\u65e0\u6cd5\u901a\u8fc7\u7279\u5f81\u591a\u9879\u5f0f\u8ba1\u7b97\uff0c\u8ba1\u7b97\u8be5\u591a\u9879\u5f0f\u672c\u8eab\u76f8\u5f53\u8d39\u8d44\u6e90\uff0c\u800c\u7cbe\u786e\u7684\u201c\u7b26\u53f7\u5f0f\u201d\u7684\u6839\u5bf9\u4e8e\u9ad8\u6b21\u7684\u591a\u9879\u5f0f\u6765\u8bf4\u5f88\u96be\u8ba1\u7b97\u548c\u8868\u8fbe\uff1a\u963f\u8d1d\u5c14\uff0d\u9c81\u8d39\u5c3c\u5b9a\u7406\u663e\u793a\u9ad8\u6b21\uff085\u6b21\u6216\u66f4\u9ad8\uff09\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u6839\u65e0\u6cd5\u7528n\u6b21\u65b9\u6839\u6765\u7b80\u5355\u8868\u8fbe\u3002
\u5bf9\u4e8e\u4f30\u7b97\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u6839\u7684\u6709\u6548\u7b97\u6cd5\u662f\u6709\u7684\uff0c\u4f46\u7279\u5f81\u503c\u7684\u5c0f\u8bef\u5dee\u53ef\u4ee5\u5bfc\u81f4\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u7684\u5de8\u5927\u8bef\u5dee\u3002\u6c42\u7279\u5f81\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u96f6\u70b9\uff0c\u5373\u7279\u5f81\u503c\u7684\u4e00\u822c\u7b97\u6cd5\uff0c\u662f\u8fed\u4ee3\u6cd5\u3002\u6700\u7b80\u5355\u7684\u65b9\u6cd5\u662f\u5e42\u6cd5\uff1a\u53d6\u4e00\u4e2a\u968f\u673a\u5411\u91cfv\uff0c\u7136\u540e\u8ba1\u7b97\u4e00\u7cfb\u5217\u5355\u4f4d\u5411\u91cf\u3002
\u7ed9\u5b9an\u9636\u77e9\u9635A\uff0c\u5148\u4ee4\u2160A-\u03bbE\u2160=0\u6c42\u51fa\u6240\u6709\u7279\u5f81\u503c\u3002\u7136\u540e\u628a\u5404\u4e2a\u7279\u5f81\u503c\u4ee3\u5165A-\u03bbE\uff0c\u7136\u540e\u8fdb\u884c\u521d\u7b49\u884c\u53d8\u6362\uff0c\u5f97\u5230\u9f50\u6b21\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u7cfb\u6570\u77e9\u9635\uff0c\u7136\u540e\u89e3\u8be5\u7cfb\u6570\u77e9\u9635\u7684\u901a\u89e3\uff0c\u8fd9\u5c31\u5f97\u5230\u4e00\u4e2a\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u3002\u4f9d\u6b64\u6c42\u51fa\u5176\u4ed6\u7279\u5f81\u503c\u5bf9\u5e94\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u3002
从定义出发，Ax=cx：A为矩阵，c为特征值，x为特征向量。
矩阵A乘以x表示，对向量x进行一次转换（旋转或拉伸）（是一种线性转换），而该转换的效果为常数c乘以向量x（即只进行拉伸）。
通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量（当然是特征向量）只发生拉伸，使其发生拉伸的程度如何（特征值大小）。
数值计算的原则：
在实践中，大型矩阵的特征值无法通过特征多项式计算，计算该多项式本身相当费资源，而精确的“符号式”的根对于高次的多项式来说很难计算和表达：阿贝尔－鲁费尼定理显示高次（5次或更高）多项式的根无法用n次方根来简单表达。
对于估算多项式的根的有效算法是有的，但特征值的小误差可以导致特征向量的巨大误差。求特征多项式的零点，即特征值的一般算法，是迭代法。最简单的方法是幂法：取一个随机向量v，然后计算一系列单位向量。
特征向量是方阵的非零向量，其纯数量表示为特征值。下面是求解特征向量的详细步骤：1. 计算矩阵的特征值首先需要计算矩阵的特征值。我们可以通过解决以下方程来计算：Ax = λx其中A为输入矩阵，x是我们要找的向量，λ为特征值。2. 计算特征值对应的特征向量一旦获得所有的特征值，就可以计算每个特征值对应的特征向量。我们可以通过以下方程来计算：(A-λI)x = 0其中λ为特征值，I是单位矩阵，x是我们要找的向量。通过解决该方程，我们可以得到特征向量x。3. 规范化特征向量为了方便处理，我们需要将特征向量规范化（即使其模长为1）。我们可以通过计算以下公式来实现：x = x/ ||x||其中||x||为向量x的模长。4. 校验特征向量现在我们已经得到了特征向量，需要校验它们是否正确。我们可以用以下方式来校验：Ax = λx将特征向量带入该公式，我们应该得到与特征值对应的结果。如果结果不一致，则表明我们可能犯了错误。5. 重复步骤2-4如果矩阵有多个特征值，则需要重复步骤2-4，以获取所有特征向量。
绛旓細鐢1銆3寮忚В寰楋細a=2锛涗笖2b+2 = b(b+3)锛屽嵆锛歜^2+b-2 = 0锛屽嵆锛(b-1)(b+2)=0 鎵浠 b=1 鎴 b=-2銆傛敞锛氳伪鏄疉*鐨勫睘浜庣壒寰佸嘉鐨勭壒寰佸悜閲 鍒 A*伪=位伪 鎵浠 AA*伪=位A伪锛屽嵆 |A|伪=位A伪 鎵浠ュ綋A鍙嗘椂锛孉伪=(|A|/位)伪 鎵浠ノ变篃鏄疉鐨勭壒寰佸悜閲忋傛眰鐭╅樀鐨勫叏閮...
绛旓細鏂规硶涓锛氬疄瀵圭О鐭╅樀涓嶅悓鐗瑰緛鍊煎搴鐨勭壒寰佸悜閲鐩镐簰姝ｄ氦锛岀敱姝ゅ彲寰楃涓変釜鐗瑰緛鍊煎搴旂殑鐗瑰緛鍚戦噺锛岃繘涓姝ュ彲寰楀埌绗笁涓壒寰佸笺傛柟娉曚簩锛氬疄瀵圭О鐭╅樀鎵鏈夌壒寰佸肩殑鍜岀瓑浜庣煩闃靛瑙掔嚎涓婂厓绱犵殑浠ｆ暟鍜岋紝鎵鏈夌壒寰佸肩殑绉瓑浜庣煩闃电殑琛屽垪寮忕殑鍊笺傛嵁姝ゅ彲寰楃涓変釜鐗瑰緛鍊笺傚疄瀵圭О鐭╅樀A鐨勪笉鍚岀壒寰佸煎搴旂殑鐗瑰緛鍚戦噺鏄浜ょ殑銆傚疄...
绛旓細鐭╅樀鐗瑰緛鍊煎拰鐗瑰緛鍚戦噺鎬庝箞姹浠嬬粛濡備笅锛1銆佺粰瀹氫竴涓柟闃 A锛屾壘鍑哄叾鐗瑰緛鍊 位銆2銆佸浜庢瘡涓壒寰佸 位锛岃В鏂圭▼缁 (A - 位I)X = 0锛屽叾涓 A 鏄師鐭╅樀锛屛 鏄壒寰佸硷紝I 鏄崟浣嶇煩闃碉紝X 鏄緟姹傜殑鐗瑰緛鍚戦噺銆3銆佸皢鏂圭▼缁 (A - 位I)X = 0 杞寲涓哄骞跨煩闃靛舰寮忥紝鍗 (A - 位I|0)銆4銆佸澧炲箍...
绛旓細鎵╁睍璧勬枡 姹傜壒寰佸悜閲忥細璁続涓簄闃剁煩闃碉紝鏍规嵁鍏崇郴寮廇x=位x锛屽彲鍐欏嚭(位E-A)x=0锛岀户鑰屽啓鍑虹壒寰佸椤瑰紡|位E-A|=0锛屽彲姹傚嚭鐭╅樀A鏈塶涓壒寰佸硷紙鍖呮嫭閲嶇壒寰佸硷級銆傚皢姹傚嚭鐨勭壒寰佸嘉籭浠ｅ叆鍘熺壒寰佸椤瑰紡锛屾眰瑙ｆ柟绋(位iE-A)x=0锛屾墍姹傝В鍚戦噺x灏辨槸瀵瑰簲鐨勭壒寰佸嘉籭鐨勭壒寰佸悜閲銆傚垽鏂煩闃靛彲瀵硅鍖栫殑`鍏...
绛旓細娉ㄦ剰瀵逛簬瀹炲绉扮煩闃典笉鍚岀壒寰佸鐨勭壒寰佸悜閲涓瀹氭浜 寰楀埌鐭╅樀P锛屽啀姹傚嚭鍏堕嗙煩闃礟^(-1)鍙互瑙ｅ緱鍘熺煩闃礎=P位P^(-1)璁続涓簄闃剁煩闃碉紝鑻ュ瓨鍦ㄥ父鏁拔诲強n缁撮潪闆跺悜閲弜锛屼娇寰桝x=位x锛屽垯绉拔绘槸鐭╅樀A鐨勭壒寰佸硷紝x鏄疉灞炰簬鐗瑰緛鍊嘉荤殑鐗瑰緛鍚戦噺銆備竴涓煩闃礎鐨勭壒寰佸煎彲浠ラ氳繃姹傝В鏂圭▼pA(位) = 0鏉ュ緱鍒般 鑻...
绛旓細鈭碅-x*I=0锛岋紙2-x锛夛紙1-x锛夛紙-x锛-4锛2-x锛=0锛屽寲绠寰楋紙x-2锛夛紙x^2-x-4锛=0锛屸埓鐭╅樀鏈変笁涓壒寰佸硷細2锛岋紙1卤鏍瑰彿17锛/2銆傛妸鐗瑰緛鍊煎垎鍒唬鍏ユ柟绋嬶紝璁緓=锛坅锛宐锛宑锛夛紝鍙緱鍒板浜巟=2锛宐=0锛宎+c=0锛屽搴攛=2鐨勭壒寰佸悜閲涓猴紙-1锛0锛1锛夛紙鏈綊涓鍖栵級锛屽叾瀹儀鐨勪竴鏍峰仛銆傛眰鐭╅樀...
绛旓細浠A-位E|=0锛屾眰鍑何诲笺侫鏄痭闃剁煩闃碉紝Ax=位x锛屽垯x涓鐗瑰緛鍚戦噺锛屛讳负鐗瑰緛鍊
绛旓細浠绘剰缁欏畾涓涓煩闃礎锛屽苟涓嶆槸瀵规墍鏈夌殑x瀹冮兘鑳芥媺闀匡紙缂╃煭锛夈傚嚒鏄兘琚獳鎷夐暱锛堢缉鐭級鐨勫悜閲忕О涓篈鐨勭壒寰佸悜閲(Eigenvector)锛涙媺闀匡紙缂╃煭锛夐噺灏变负杩欎釜鐗瑰緛鍚戦噺瀵瑰簲鐨勭壒寰佸硷紙Eigenvalue锛夈傚煎緱娉ㄦ剰鐨勬槸锛屾垜浠鐨勭壒寰佸悜閲忔槸涓绫诲悜閲忥紝鍥犱负浠绘剰涓涓壒寰佸悜閲忛殢渚夸箻浠ヤ竴涓爣閲忕粨鏋滆偗瀹氫篃婊¤冻浠ヤ笂鏂圭▼锛屽綋鐒惰繖涓や釜...
绛旓細濡傛灉A鏄疄瀵圭О鐭╅樀锛岄鐩姹傛眰姝ｄ氦鐭╅樀P锛屼娇P^T*A*P鎴愪负瀵硅闃碉紝鍒欐眰寰楃殑A鐨勭壒寰佸悜閲瑕佸厛姝ｄ氦鍖栵紙濡傛灉A鏈夐噸鐗瑰緛鍊硷級锛屽啀鍗曚綅鍖栵紝鐒跺悗鎵嶅彲浠ュ啓鍑烘浜ら樀P銆傚湪浜屾鍨嬪寲涓烘爣鍑嗗舰鐨勯鐩噷锛屽鏋滆姹傛眰姝ｄ氦鍙樻崲锛屽垯姹傚緱鐨勪簩娆″瀷鐭╅樀A鐨勭壒寰佸悜閲忚鍏堟浜ゅ寲锛堝鏋淎鏈夐噸鐗瑰緛鍊硷級锛屽啀鍗曚綅鍖栵紝鐒跺悗鎵嶅彲浠...
绛旓細姹傜煩闃鐨勭壒寰佸悜閲鏄嚎鎬т唬鏁颁腑鐨勪竴涓噸瑕侀棶棰樸傜壒寰佸悜閲忔槸鎸囧湪鐭╅樀涔樻硶涓紝浠呰浼哥缉鑰屼笉鏀瑰彉鏂瑰悜鐨勫悜閲忋備笅闈㈡槸姹傝В鐭╅樀鐗瑰緛鍚戦噺鐨涓鑸姝ラ锛氬浜庝竴涓猲闃剁煩闃礎锛屾垜浠姹傝В鍏剁壒寰佸悜閲忥紝棣栧厛闇瑕佹壘鍒板叾鐗瑰緛鍊笺傜壒寰佸兼槸婊¤冻鏂圭▼det(A-位iE)=0鐨勎诲硷紝鍏朵腑E鏄崟浣嶇煩闃点傝В鐗瑰緛鍊兼柟绋嬶紝寰楀埌鎵鏈夌壒寰佸嘉1...
