设A为n阶实反对称矩阵.证明：
【答案】：由4-15题知实反对称矩阵A的特征值为0或纯虚数，故-1不是A的特征值，即|-E-A|=(-1)n|E+A|≠0，从而有|E+A|≠0，故E+A为可逆矩阵，于是知(E+A)T=ET+AT=E-A亦为可逆矩阵.$因为AT=-A，所以BBT=(E-A)(E+A)-1{(E-A)(E+A)-1}T
=(E-A)(E+A)-1[(E+A)-1]T(E-A)T
=(E-A)(E+A)-1[(E+A)T]-1(E-AT)
=(E-A)(E+A)-1(E-A)-1(E+A) (4-21)
从(4-21)式可见，要证明实方阵B为正交矩阵，即证明BBT=E，只要能证明
(E-A)-1(E+A)=(E+A)(E-A)-1 (4-22)即可(因为将(4-22)式代入(4-21)式便可得BBT=E).用E-A左乘(4-22)式两端，并用(E-A)右乘(4-22)式两端，得
(E+A)(E-A)=(E-A)(E+A) (4-23)
如果用(E-A)-1分别左乘和右乘(4-23)式两端，又可得(4-22)式，故(4-22)式与(4-23)式等价.因此，要证明(4-22)式成立，只要证明(4-23)式成立.易知(4-23‘)式两端都等于E-A2，故(4-23)式成立，于是本题得证.
绛旓細銆愮瓟妗堛戯細鐢4-15棰樼煡瀹炲弽瀵圭О鐭╅樀A鐨勭壒寰佸间负0鎴栫函铏氭暟锛屾晠-1涓嶆槸A鐨勭壒寰佸硷紝鍗硘-E-A|=(-1)n|E+A|鈮0锛屼粠鑰屾湁|E+A|鈮0锛屾晠E+A涓鍙嗙煩闃碉紝浜庢槸鐭(E+A)T=ET+AT=E-A浜︿负鍙嗙煩闃.$鍥犱负AT=-A锛屾墍浠BT=(E-A)(E+A)-1{(E-A)(E+A)-1}T=(E-A)(E+A)-1[(E+A)...
绛旓細锛1锛夎位涓A鐨勭壒寰佸硷紝x涓哄搴斾簬位鐨勭壒寰佸悜閲忥紝鍒橝x=位x锛屸憼浠庤.xTAx锛澪.xTx=位|x|2锛庝袱杈瑰彇杞疆鍙緱锛寈TAT.x=位|x|2锛屸憽鍙堝洜涓篈=-AT鏁 xTA.x=-位|x|锛庡彟涓鏂归潰锛屸憼寮忎袱杈瑰彇鍏辫江鍙緱锛孉.x锛.位.x锛屾晠 xTA.x=.位xT.x=.位|x|2锛庘憿鈶+鈶㈠彲寰楋紝(位+.位)|x|2锛0锛屽張...
绛旓細璇佹槑锛氳A涓哄疄鍙嶅绉扮煩闃锛屛绘槸瀹冪殑浠绘剰涓涓壒寰佹牴锛岃 鏄睘浜庣壒寰佹牴位鐨勪竴涓壒寰佸悜閲忥紝鍗 涓鏂归潰锛屾湁 鍙︽柟闈紝鍙堟湁 鏁 浣嗘槸 鏁 鍗澄讳负闆舵垨绾櫄鏁般
绛旓細5銆佽嫢鐭╅樀A鍙嗭紝鍒欑煩闃礎婊¤冻娑堝幓寰嬨傚嵆AB=O锛堟垨BA=O锛夛紝鍒橞=O锛孉B=AC锛堟垨BA=CA锛夛紝鍒橞=C銆6銆佷袱涓彲閫嗙煩闃电殑涔樼Н渚濈劧鍙嗐7銆佺煩闃靛彲閫嗗綋涓斾粎褰撳畠鏄弧绉╃煩闃点
绛旓細璁続涓簄闃跺疄鍙嶅绉扮煩闃锛宺涓篈鐨勭壒寰佸硷紝x涓篈瀵瑰簲r鐨勭壒寰佸垪鍚戦噺 A*x=r*x (x鐨勫叡杞浆缃煩闃)*A*x=r*(x鐨勫叡杞浆缃煩闃)*x鈥︹︹憼 鍥犱负x闈為浂锛屾墍浠(x鐨勫叡杞浆缃煩闃)*x鏄竴涓鏁帮紝璁颁负X 灏嗏憼寮忎袱杈瑰垎鍒綔鍏辫江杞疆锛屽洜涓篈瀹炲弽瀵圭О锛屾墍浠鐨勫叡杞浆缃煩闃=-A (x鐨勫叡杞浆缃煩闃)*(-A)*x...
绛旓細(A^2)^T=(A^T)^2=(-A)^2=A^2 鏁匒^2鏄绉鐨勩傘傘
绛旓細缁撹: 瀹炲弽瀵圭О鐭╅樀A鐨勭壒寰佸煎彧鑳芥槸0鎴栫函澶嶆暟,鎵浠 -1 涓嶆槸A鐨勭壒寰佸,鎵浠 0 涓嶆槸 E+A 鐨勭壒寰佸 鎵浠 A+E 鍙
绛旓細锛夊埄鐢ㄥ弽璇佹硶杩涜璇佹槑锛鍙嶈锛r锛圓锛夛紲n锛屽垯|A|=0锛庝簬鏄=0鏄疉鐨勭壒寰佸硷紝鍋囪鐩稿簲鐨勭壒寰佸悜閲忎负x锛屽嵆锛欰x=0锛坸鈮0锛夛紝鎵浠ワ細xTAT=0锛庝粠鑰岋細xT锛圓B+BTA锛墄=xTABx+xTBTAx=0锛屼笌AB+BTA鏄姝ｅ畾鐭╅樀鐭涚浘锛屾晠鍋囪涓嶆垚绔嬶紟鎵浠ワ紝绉╋紙A锛=n锛庘滃厖鍒嗘р濓紙?锛夊洜涓 r锛圓锛=n锛屾墍浠鐨勭壒寰...
绛旓細(A+E)(A'+E)=AA'+E>0 (姝ｅ畾)=> det(A+E)!=0
绛旓細璇侀嗗惁鍛介,鑻n涓哄鏁,鍒檇etA=detA^T=det(-A)=-detA,鏁卍etA=0,杩涜孉涓嶅彲閫.
