正态分布形成的原理 简述偶然误差所遵循的正态分布原理
\u4e3a\u4ec0\u4e48\u6b63\u592a\u5206\u5e03\u5728\u81ea\u7136\u754c\u51fa\u73b0\u5982\u6b64\u4e4b\u5e7f\u6cdb\uff0c\u7b80\u8981\u4ecb\u7ecd\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u5f62\u6210\u673a\u5236\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u662f\u6700\u5927\u71b5\u7684\u5206\u5e03\uff0c\u8fd9\u662f\u5bf9\u4e8e\u5c01\u95ed\u7684\u7cfb\u7edf\u800c\u8a00\u5b58\u5728\u6982\u7387\u6700\u5927\u7684\u5206\u5e03\u3002
\u7136\u800c\u81ea\u7136\u754c\u6700\u5e38\u89c1\u7684\u5206\u5e03\u5e76\u975e\u662f\u6b63\u6001\u5206\u5e03\uff0c\u5bf9\u4e8e\u70ed\u529b\u5b66\u8bed\u8a00\u4e4b\u4e0b\uff0c\u8fd9\u662f\u56e0\u4e3a\u81ea\u7136\u754c\u5927\u591a\u6570\u7684\u7cfb\u7edf\u90fd\u5e76\u4e0d\u662f\u5b8c\u7f8e\u7684\u5904\u4e8e\u70ed\u529b\u5b66\u5e73\u8861\u6001\u7684\u5c01\u95ed\u7cfb\u7edf\u3002\u5728\u6570\u5b66\u7684\u89c6\u89d2\u4e0b\uff0c\u5b83\u4eec\u5f7c\u6b64\u4e4b\u95f4\u4e0d\u662f\u72ec\u7acb\u7684\uff0c\u800c\u662f\u5b58\u5728\u9519\u7efc\u590d\u6742\u7684\u76f8\u4e92\u4f5c\u7528\uff0c\u4e0d\u9002\u7528\u4e2d\u5fc3\u6781\u9650\u5b9a\u7406\u3002\u4e25\u683c\u7684\u6765\u8bf4\uff0c\u81ea\u7136\u754c\u51e0\u4e4e\u5904\u5904\u90fd\u662f\u5f00\u653e\u7684\u3001\u6709\u5404\u79cd\u76f8\u4e92\u4f5c\u7528\u7684\u7cfb\u7edf\uff0c\u8fd8\u5b58\u5728\u8bb8\u591a\u81ea\u7ec4\u7ec7\u7cfb\u7edf\uff0c\u5373\u90a3\u4e9b\u53ef\u4ee5\u4ece\u6bd4\u8f83\u6df7\u4e71\u7684\u521d\u59cb\u72b6\u6001\uff0c\u4ec5\u4ec5\u662f\u7531\u5176\u5c40\u57df\u7684\u52a8\u529b\u5b66\u89c4\u5219\uff0c\u6f14\u5316\u6210\u6709\u89c4\u5f8b\u7684\u4f53\u7cfb\u7684\u7cfb\u7edf\u3002
\u201c\u4ece\u6765\u6e90\u770b,\u8bef\u5dee\u53ef\u4ee5\u5206\u6210\u7cfb\u7edf\u8bef\u5dee\u548c\u5076\u7136\u8bef\u5dee\u4e24\u79cd.\u201d
\u3000\u3000\u201c\u7cfb\u7edf\u8bef\u5dee\u662f\u7531\u4e8e\u4eea\u5668\u672c\u8eab\u4e0d\u7cbe\u786e,\u6216\u5b9e\u9a8c\u65b9\u6cd5\u7c97\u7565,\u6216\u5b9e\u9a8c\u539f\u7406\u4e0d\u5b8c\u5584\u800c\u4ea7\u751f\u7684.\u7cfb\u7edf\u8bef\u5dee\u7684\u7279\u70b9\u662f\u5728\u591a\u6b21\u91cd\u505a\u540c\u4e00\u5b9e\u9a8c\u65f6,\u8bef\u5dee\u603b\u662f\u540c\u6837\u7684\u504f\u5927\u6216\u504f\u5c0f,\u4e0d\u4f1a\u51fa\u73b0\u8fd9\u51e0\u6b21\u504f\u5927\u53e6\u51e0\u6b21\u504f\u5c0f\u7684\u60c5\u51b5.\u8981\u51cf\u5c0f\u7cfb\u7edf\u8bef\u5dee,\u5fc5\u987b\u6821\u51c6\u6d4b\u91cf\u4eea\u5668,\u6539\u8fdb\u5b9e\u9a8c\u65b9\u6cd5,\u8bbe\u8ba1\u5728\u539f\u7406\u4e0a\u66f4\u4e3a\u5b8c\u5584\u7684\u5b9e\u9a8c.\u201d
\u3000\u3000\u201c\u5076\u7136\u8bef\u5dee\u662f\u7531\u5404\u79cd\u5076\u7136\u56e0\u7d20\u5bf9\u5b9e\u9a8c\u8005\u3001\u6d4b\u91cf\u4eea\u5668\u3001\u88ab\u6d4b\u7269\u7406\u91cf\u7684\u5f71\u54cd\u800c\u4ea7\u751f\u7684.\u5076\u7136\u8bef\u5dee\u603b\u662f\u6709\u65f6\u504f\u5927,\u6709\u65f6\u504f\u5c0f,\u5e76\u4e14\u504f\u5927\u504f\u5c0f\u7684\u6982\u7387\u76f8\u540c.\u56e0\u6b64,\u53ef\u4ee5\u591a\u8fdb\u884c\u51e0\u6b21\u6d4b\u91cf,\u6c42\u51fa\u51e0\u6b21\u6d4b\u5f97\u7684\u6570\u503c\u7684\u5e73\u5747\u503c,\u8fd9\u4e2a\u5e73\u5747\u503c\u6bd4\u4e00\u6b21\u6d4b\u5f97\u7684\u6570\u503c\u66f4\u63a5\u8fd1\u4e8e\u771f\u5b9e\u503c.\u201d
\u3000\u30002\uff0e\u4eba\u6c11\u6559\u80b2\u51fa\u7248\u793e2004\u5e745\u6708\u7b2c\u4e00\u7248\u666e\u901a\u9ad8\u4e2d\u8bfe\u7a0b\u6807\u51c6\u6559\u79d1\u4e66\u7269\u7406\u5fc5\u4fee1\u7b2c102\u9875\u201c\u8bef\u5dee\u548c\u6709\u6548\u6570\u5b57\u201d\u4e2d\u7684\u8868\u8ff0\u662f\u8fd9\u6837\u7684\uff1a
\u3000\u3000\u201c\u5f53\u591a\u6b21\u91cd\u590d\u540c\u4e00\u6d4b\u91cf\u65f6,\u504f\u5927\u548c\u504f\u5c0f\u7684\u673a\u4f1a\u6bd4\u8f83\u63a5\u8fd1,\u53ef\u4ee5\u7528\u6c42\u5e73\u5747\u503c\u7684\u65b9\u6cd5\u6765\u51cf\u5c0f\u5076\u7136\u8bef\u5dee.\u201d
\u3000\u3000\u201c\u591a\u6b21\u91cd\u590d\u6d4b\u91cf\u7684\u7ed3\u679c\u603b\u662f\u5927\u4e8e\uff08\u6216\u5c0f\u4e8e\uff09\u88ab\u6d4b\u91cf\u7684\u771f\u5b9e\u503c,\u5448\u73b0\u5355\u4e00\u503e\u5411.\u201d
正态分布在数理统计中具有基础性的作用，因此产生高质量的正态分布有重要的意义。我们将介绍几种数值方法求正态分布：中心极限定理，Hasiting 有理逼近法，统计工具箱，反函数法，舍选法，R软件及一维正态随机数的检验。
正态分布；一维；随机数。
一．利用中心极限定理
中心极限定理：（一般 n≥10），
产生服从N(μ,σ)的算法步骤：
（1）产生n 个RND 随机数：r1，r2，…，rn；
计算x?(?ri?（2） 2)/
i?1n122;
2(3) 计算 y=σx+μ ，y 是服从 N(μ,σ) 分布的随机数。
原理分析：
设ζ1，ζ2，…，ζn是n个相互独立的随机变量,且ζi～U(0,1), i= 1,2, …,n, 有E(?i)?1
，D(?i)?1,12
n??(??i?n由中心极限定理知 ：)/，渐近服从正态分布N(0, l )。
i?1n
注意：我们现在已经能产生[0，1]均匀分布的随机数了，那么我们可以利用这个定理来产生标准正态分布的随机数。
r 1,r2,?,rn现在我们产生n个[0，1]均匀分布随机数，
我们有： ?1n1?u?n?r??n?i2???i?1?
为方便起见，我们特别选 n = 12，则 ： u??ri?6
i?112
这样我们很方便地就把标准正态分布随机数计算出来了。
在C语言中表示为：
例1：利用中心极限定理产生标准正态分布随机数并检验
% example 1
clc,clear
for i=1:1000
R=rand(1,12);
X(i)=sum(R)-6;
end
X=X';
m=mean(X)
v=var(X)
subplot(1,2,1),cdfplot(X)
subplot(1,2,2),histfit(X)
h=kstest(X, [X normcdf(X, 0,1)])
结果为：H=0, 接受原假设，变换后的确为标准正态分布。
二．Hasiting 有理逼近法
这是一种计算速度快，也能满足一定精度的算法。我们可以构造分布函数反函数的近似逼近公式，来产生标准正态分布的随机数。其计算公式为：
2a?ay?ay012 x?y?1?b1y?b2y2?b3y3
y?(?2lnr)1/2,r~U(0,1)，系数为： 这里
a0 = 2.515517 b1 = 1.432788
a1 = 0.802853 b2 = 0.189269
a2 = 0.010328 b3 = 0.001308
三．利用统计工具箱
在MATLAB统计工具箱中为我们提供了大量的产生各种随机数发生器程序，我们只需要调用就可以产生我们想要的随机数。
四．反函数法
设连续型随机变量Y的概率函数为 f(x), 需产生给定分布的随机数.
算法:
（1）产生n个RND 随机数r1，r2，…，rn；
从等式ri??f(y)dy中解出yi;所得（2） ??yiyi, i=1,2, …,n 即所求.
基本原理：
设随机变量Y的分布函数F(y)是连续函数，而且随机变量X～U(0,1)，令Z=F(X)。 则Z与Y有相同分布。
证明 ：FZ(z)= P{F(X) ≤ z}= P{X≤F(z)}=G(F(z)) = F(z)
因G(x)是随机变量X 的分布函数：
?0,?G(x)??x,
?1, ?－1－1 x?0;0?x?1;1?x.
－1Y若Y的概率密度为 f(y)，由Y=F(X)可得： X?F(Y)??f(y)dy??
对给出定的(0, 1)上均匀分布随机数ri，则具有给定分布的随机数 yi 可由方程
if(y)dy解出。 ri????y
五．舍选法
基本思想：
实质上是从许多RND随机数中选出一部分, 使之成为具有给定分布的随机数。 设随机变量X的概率密度函数为f(x)，存在实数a<b，使P{a<X<b}=1。 算法步骤：
(1) 选取常数λ，使λf(x)＜1，x∈(a, b)；
(2) 产生两个RND 随机数r1 、r2，令y= a＋(b－a)r1 ；
(3) 若r2≤λf(y)，则令x=y；否则剔除 r1和r2, 重返步骤(2)，重复循环, 产生的随机数x1，x2，…，xN的分布由概率函数 f(x) 确定。
舍选法算法原理分析：
设P{a＜Z＜b}=1，Z的概率密度为f(z),
（1）选常数λ，使λf(z)≤1，z∈(a，b)；
（2）随机变量X1，X2相互独立Xi～U(0, 1),令Y1=a+(b－a)X1～U(a, b);
（3）若X2≤λf(Y1)，则令X = Y1，否则剔除X1，X2重复到(2)； 则随机变量X的分布与Z相同。
b注： 若不满足条件：?f(x)dx?1,a
可选取有限区间(a1, b1)，使得 ?a1f(x)dx?1??（ε是很小的正数） 例如，取 a1=μ－3σ,b1=μ＋3σ(x??)2?e2dx?1?0.003，有a12??b1?b1
在区间(a1, b1)上应用舍选法,不会出现较大的系统误差。
六．R软件
利用R软件，可方便地求各种常见概率分布的分布函数，分位点及生成各种常见分布的随机数等。在各种分布名称中加上不同的前缀表示不同的意义如：p-求分布函数，q-求分位点，r产生随机数等。
七、一维正态随机数的检验
我们已经基本搞清伪随机数的产生原理，由于并不是真正的随机数，很自然的问题是，它们是否具有真正随机数的那些统计性质如参数大小、独立性，均匀性等等。
设：随机数具有连续的分布函数F（X），则随机变量R=（X）是均匀分布（0，1）的随机变量，因此如果R通过统计检验随机变量 X 也可以通过。因此我们以下着重讨论均匀分布R的检验问题，再简单地讨论正态随机数检验问题。 统计推断原理：
X1,X2,?,Xn为 随机变量序列，则随机序列的函数称为统计量。统计量的定义：设
记为：
S?S(X1,X2,?,Xn)显然统计量 S 也是随机变量。既然是随机变量，它们就应该有其分布或称总体的规律，当然也有各种数字特征。例如均值、标准差、方差等等各阶矩。
我们的统计推断方式是：
（1）H0：某假定成立；
（2）在假定成立的条件下构造统计量S；
（3）统计量构造完毕，我们也就知道了该统计量的全部统计规律。如它的分布函数，或密度函数各阶矩等；
（4）根据统计量的分布，在给定的显著性水平α，对统计量S 的一次抽样确定以 1-α为概率的区域，该区域称为接受域 。如果该次抽样计算出统计量 S 的值 s 落入该领域，我们就接受原假，否则推翻原假设。这个就是小概率事件在一次实验实际不可能发生原理。落入由α 确定的区域是一个小概率事件，在一次实验中我们认为是不可能发生的。
统计检验中两类常用统计量的构造检验方法：
?，和有限方差D（X）= ?2，我们抽 N 1.设随机变量 X 具有数学期望E（X）=
?XN
i??
首先，基本上每个人的学习都是相互独立的，所以可认为n个人的成绩是n个相互独立的随机变量X1，X2.....Xn，同时他们具有自己的数学期望和方差（每个人参加多次考试的成绩都会有所波动嘛),所以满足中心极限定理二李雅谱诺夫定理的条件，故无论各个随机变量服从什么分布，在满足上述定理的条件下，当人数较多时，即n较大时，ΣX就近似的服从正态分布。所以无论每个人的学习情况怎么样，总体是近似正太分布的。关于中心极限定理二李雅谱诺夫定理的求证可参考以下网页http://wenku.baidu.com/link?url=SDqQ83D79jjKgxF5__QDa0wDhj6g_Ogp5rwOHPm7vUd5Mf85mIwU54XHX14Pvia7JJD2Er8jenWyGQX6MJRSqYo-4M51DtOboO_ikcjC80O
绛旓細姝ｆ佸垎甯冨湪鏁扮悊缁熻涓叿鏈夊熀纭鎬х殑浣滅敤锛屽洜姝や骇鐢熼珮璐ㄩ噺鐨勬鎬佸垎甯冩湁閲嶈鐨勬剰涔銆傛垜浠皢浠嬬粛鍑犵鏁板兼柟娉曟眰姝ｆ佸垎甯冿細涓績鏋侀檺瀹氱悊锛孒asiting 鏈夌悊閫艰繎娉曪紝缁熻宸ュ叿绠憋紝鍙嶅嚱鏁版硶锛岃垗閫夋硶锛孯杞欢鍙婁竴缁存鎬侀殢鏈烘暟鐨勬楠屻傛鎬佸垎甯冿紱涓缁达紱闅忔満鏁般備竴锛庡埄鐢ㄤ腑蹇冩瀬闄愬畾鐞 涓績鏋侀檺瀹氱悊锛氾紙涓鑸 n鈮10锛夛紝...
绛旓細姝ｆ佸垎甯冩槸鍏锋湁涓や釜鍙傛暟渭鍜屜僞2鐨勮繛缁瀷闅忔満鍙橀噺鐨勫垎甯,绗竴鍙傛暟渭鏄湇浠姝ｆ佸垎甯冪殑闅忔満鍙橀噺鐨勫潎鍊,绗簩涓弬鏁跋僞2鏄闅忔満鍙橀噺鐨勬柟宸,鎵浠ユ鎬佸垎甯冭浣淣(渭,蟽^2 )銆 鏈嶄粠姝ｆ佸垎甯冪殑闅忔満鍙橀噺鐨勬鐜囪寰嬩负鍙栦笌渭閭昏繎鐨勫肩殑姒傜巼澶 ,鑰屽彇绂晃艰秺杩滅殑鍊肩殑姒傜巼瓒婂皬;蟽瓒婂皬,鍒嗗竷瓒婇泦涓湪渭闄勮繎,蟽瓒婂ぇ,鍒...
绛旓細鏍囧噯姝ｆ佸垎甯冪殑璇炵敓 鎯宠薄涓涓嬶紝鍚戝钩闈笂浠绘剰涓鐐规姇鎺风粏閽堬紝閽堝皷钀藉湪鏌愮偣鐨勬鐜囧彈鍏朵笌鍘熺偣璺濈鐨勫奖鍝銆傛牴鎹鐜囧瘑搴﹀嚱鏁(PDF)鐨勫畾涔夛紝鎴戜滑鍙互璁惧畾涓涓叧绯伙細PDF = f(r)锛屽叾涓璻浠ｈ〃璺濈銆傚洜涓烘姇鎺锋柟鍚戞槸鐙珛鐨勶紝PDF鍦▁鍜寉杞翠笂鐨勫垎甯冪浉鍚屻傝繖鎰忓懗鐫鎴戜滑鍙互灏哖DF琛ㄨ揪涓鸿窛绂荤殑鍑芥暟锛屽嵆f(r) = k * ...
绛旓細1.鏍囧噯姝ｆ佸垎甯冩槸涓绉嶇壒娈婄殑姝ｆ佸垎甯,鏍囧噯姝ｆ佸垎甯冪殑渭鍜屜2涓0鍜1,閫氬父鐢 (鎴朲)琛ㄧず鏈嶄粠鏍囧噯姝ｆ佸垎甯冪殑鍙橀噺,璁颁负 Z锝濶(0,1)銆 2.鏍囧噯鍖栧彉鎹:姝ゅ彉鎹㈡湁鐗规:鑻ュ師鍒嗗竷鏈嶄粠姝ｆ佸垎甯 ,鍒橺=(x-渭)/蟽 锝 N(0,1) 灏辨湇浠庢爣鍑嗘鎬佸垎甯,閫氳繃鏌ユ爣鍑嗘鎬佸垎甯冭〃灏卞彲浠ョ洿鎺ヨ绠楀嚭鍘熸鎬佸垎甯冪殑姒傜巼鍊笺傛晠...
绛旓細涓轰簡纭繚95%鐨勭敺鎬ц兘椤哄埄绛夎溅锛岃溅闂ㄩ珮搴﹀簲璁惧畾鍦ㄤ粈涔堣寖鍥村憿锛熻繖浜涢棶棰橀兘渚濊禆浜庢爣鍑姝ｆ佸垎甯冪殑鐭ヨ瘑銆傚伐绋嬫硶鍒欙細3蟽鍘熺悊锛 浠や汉鎯婂鐨勬槸锛3蟽娉曞垯鍦ㄥ伐绋嬪拰璐ㄩ噺鎺у埗涓壆婕旂潃鍐崇瓥鑰呯殑瑙掕壊銆傚畠鍛婅瘔鎴戜滑锛屾鎬佸垎甯冧腑澶х害99.7%鐨勬暟鎹細钀藉湪渭卤3蟽鐨勮寖鍥村唴锛岃繖瀵逛簬璁惧畾浜у搧瑙勬牸鍜岄伩鍏嶈川閲忛棶棰樺叿鏈夋寚瀵兼剰涔夈
绛旓細棣栧厛锛屽鏋滀袱涓嫭绔嬬殑姝ｆ佸垎甯僗鍜孻鍚勮嚜閬靛惊鍚勮嚜鐨勫垎甯冿紝X~N(渭1, 蟽1)鍜孻~N(渭2, 蟽2)锛屽畠浠殑鍜屾垨宸‘瀹炰緷鐒剁鍚姝ｆ佸垎甯冪殑瑙勫緥銆傝繖鏄熀纭缁熻瀛鍘熺悊锛屾棤闇璐ㄧ枒銆傜劧鑰岋紝褰撹繖涓や釜姝ｆ佸垎甯冧笉鍐嶇嫭绔嬶紝鎯呭喌鍙樺緱寰銆傚亣璁(X锛孻)褰㈡垚涓涓簩缁存鎬佸垎甯冿紝鍗(X锛孻)~N(渭1, 渭2, 蟽1, 蟽2...
绛旓細姝ｆ佸垎甯冨師鐞鏄粺璁″涓殑涓涓熀鏈師鐞嗭紝瀹冩弿杩颁簡涓涓殢鏈哄彉閲忕殑姒傜巼瀵嗗害鍑芥暟鍛堢幇鍑虹被浼閽熷舰鏇茬嚎鐨鐗圭偣銆傚湪閬撳皵椤挎澘瀹為獙涓紝鎴戜滑鍙互瑙傚療鍒板垎瀛愭暟鍒嗗竷鍦ㄤ笉鍚屽尯鍩熺殑鎯呭喌锛屽苟灏嗚繖涓垎甯冩儏鍐典笌姝ｆ佸垎甯冪浉姣旇緝銆傞亾灏旈】鏉挎槸涓绉嶅彲浠ョ敤鏉ヨ瀵熺墿鐞嗚繃绋嬬殑瀹為獙瑁呯疆锛屽父鐢ㄤ簬鐮旂┒姘斾綋鍒嗗瓙杩愬姩瑙勫緥銆傚湪閬撳皵椤挎澘涓紝鏈夊緢澶...
绛旓細渚濇嵁鍒楃淮-鏋楀痉浼牸瀹氱悊锛堢嫭绔嬪悓鍒嗗竷鐨勪腑蹇冩瀬闄愬畾鐞嗭級鍜屾＃鑾紬-鎷夋櫘鎷夋柉瀹氱悊锛堜簩椤瑰垎甯冧互姝ｆ佸垎甯涓哄叾鏋侀檺鍒嗗竷锛
绛旓細姝ｆ佸垎甯涔熷彨鍋 楂樻柉鍒嗗竷Gaussian distribution 锛岀敱浜庢洸绾跨殑褰㈢姸鍍忎竴涓挓閾冪殑杞粨锛屾墍浠ヤ篃鍙仛 閽熷舰鏇茬嚎Bell curve 銆備腑蹇冩瀬闄愬畾鐞嗘槸姒傜巼璁轰腑鐨勯噸瑕佸畾鐞嗕箣涓锛屽叾瀹炲氨鏄濡傛灉鏈夊緢澶氬緢澶氱浉浜掔嫭绔嬬殑鍙橀噺瀵规瘡娆＄粨鏋滈兘浜х敓褰卞搷锛堟瘮濡傚緢澶氶樆纰嶅奖鍝嶄笅钀界殑灏忕悆锛夛紝閭ｄ箞瀵逛簬澶ф壒閲忔牱鏈渶鍚庡奖鍝嶇殑缁撴灉灏嗚繎浼间簬姝ｆ佸垎甯...
绛旓細鍦ㄤ竴瀹氭潯浠朵笅,鍙互鎸姝ｆ佸垎甯冨師鐞鏉ュ鐞.杩樻湁灏辨槸涓績鏋侀檺瀹氱悊,鍦ㄥ瑙傚疄闄呬腑鏈夎澶氶殢鏈哄彉閲,浠栦滑鏄敱澶ч噺鐨勭浉浜掔嫭绔嬬殑闅忔満鍥犵礌鐨勭患鍚堝奖鍝嶆墍褰㈡垚鐨,鑰屽叾涓瘡涓涓釜鍒洜绱犲湪鎬荤殑褰卞搷涓墍璧风殑浣滅敤閮芥槸寰皬鐨,杩欑闅忔満鍙橀噺寰寰杩戜技鍦版湇浠庢鎬佸垎甯.杩欑鐜拌薄鏄腑蹇冩瀬闄愬畾鐞嗙殑瀹㈣鑳屾櫙.
