拉普拉斯定理及证明？ 拉普拉斯定理及证明？
\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u5c55\u5f00\u5b9a\u7406\u600e\u4e48\u8bc1\u660e\u8bc1\u660e\u7684\u4f9d\u636e\u662f\u884c\u5217\u5f0f\u4efb\u610f\u4e24\u5217\u4e92\u6362\uff0c\u884c\u5217\u5f0f\u503c\u53d8\u53f7\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\uff0c\u884c\u5217\u5f0f\u4e2d\u5c06\u4efb\u610f\u4e24\u5217\u4e92\u6362\uff0c\u4e92\u6362\u4e86\u51e0\u6b21\uff0c\u5219\u884c\u5217\u5f0f\u53d8\u4e3a\u539f\u6765\u7684\uff08-1\uff09\u7684\u51e0\u6b21\u65b9\u500d\u3002\u5728\u6570\u5b66\u4e2d\uff0c\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u5c55\u5f00\uff08\u6216\u79f0\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u516c\u5f0f\uff09\u662f\u4e00\u4e2a\u5173\u4e8e\u884c\u5217\u5f0f\u7684\u5c55\u5f00\u5f0f\u3002
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\u8bbeB\u662f\u4e00\u4e2a
\u7684\u77e9\u9635\uff0c
\u4e3a\u4e86\u660e\u786e\u8d77\u89c1\uff0c\u5c06
\u7684\u7cfb\u6570\u8bb0\u4e3a
\u5176\u4e2d
\u8003\u8651B\u7684\u884c\u5217\u5f0f|B|\u4e2d\u7684\u6bcf\u4e2a\u542b\u6709
\u7684\u9879\uff0c\u5b83\u7684\u5f62\u5f0f\u4e3a\uff1a
\u5176\u4e2d\u7684\u7f6e\u6362\u03c4 \u2208Sn\u4f7f\u5f97\u03c4(i) =j\uff0c\u800c\u03c3 \u2208Sn-1\u662f\u552f\u4e00\u7684\u5c06\u9664\u4e86i\u4ee5\u5916\u7684\u5176\u4ed6\u5143\u7d20\u90fd\u6620\u5c04\u5230\u4e0e\u03c4\u76f8\u540c\u7684\u50cf\u4e0a\u53bb\u7684\u7f6e\u6362\u3002\u663e\u7136\uff0c\u6bcf\u4e2a\u03c4\u90fd\u5bf9\u5e94\u7740\u552f\u4e00\u7684\u03c3\uff0c\u6bcf\u4e00\u4e2a\u03c3\u4e5f\u5bf9\u5e94\u7740\u552f\u4e00\u7684\u03c4\u3002\u56e0\u6b64\u6211\u4eec\u521b\u5efa\u4e86Sn−1\u4e0e{\u03c4\u2208Sn:\u03c4(i)=j}\u4e4b\u95f4\u7684\u4e00\u4e2a\u53cc\u5c04\u3002\u7f6e\u6362\u03c4\u53ef\u4ee5\u7ecf\u8fc7\u5982\u4e0b\u65b9\u5f0f\u4ece\u03c3\u5f97\u5230\uff1a
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\u7531\u4e8e\u4e24\u4e2a\u8f6e\u6362\u5206\u522b\u53ef\u4ee5\u88ab\u5199\u6210
\u548c
\u4e2a\u5bf9\u6362\uff0c\u56e0\u6b64
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设B是一个
的矩阵，
为了明确起见，将
的系数记为
其中
考虑B的行列式|B|中的每个含有
的项，它的形式为：
其中的置换τ∈Sn使得τ(i)=j，而σ∈Sn-1是唯一的将除了i以外的其他元素都映射到与τ相同的像上去的置换。显然，每个τ都对应着唯一的σ，每一个σ也对应着唯一的τ。因此我们创建了Sn−1与{τ∈Sn:τ(i)=j}之间的一个双射。置换τ可以经过如下方式从σ得到：
定义σ'∈Sn使得对于1≤k≤n−1，σ'(k)=σ(k)并且σ'(n)=n，于是sgnσ'=sgnσ。然后
由于两个轮换分别可以被写成
和
个对换，因此
因此映射σ↔τ是双射。由此：
从而拉普拉斯展开成立。
扩展资料：
拉普拉斯定理
拉普拉斯在1772年的论文中给出了行列式展开的一般形式，称为拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基础上，说明了如果将B关于某k行的每一个子式和对应的代数余子式的乘积加起来，那么得到的仍然是B的行列式。
定理的证明与按一行（一列）展开的情况一样，都是通过建立置换间的双射来证明两者相等。
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