二项分布
wiki: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E4%BD%88
假设实验A的结果有且仅有有0,1两种情况(如抛硬币,只有正反两种情况,其实这个例子也不严格,但是最为直观和接近的),为0的概率为 p ,那么为1的概率为1- p
,二项分布即表示进行多次实验A时,0,1的分布情况
这是维基百科中给出的 概率质量函数(就是在各随机变量取值的概率) ,解释下几个变量,假设要观察实验A的结果为1(或0)的概率,这个函数即为计算在 n 次实验中,结果为1的次数等于 k 的概率,其中 p 为单次实验中1发生的概率,其中(n/k)的是之前学的 排列组合 中的 组合
PS: f(k=1,2,3,...n) 的累加等于1,开始感觉不太能理解,不能和实际经验结合,后来想明白,进行 n 次实验,某指定的结果(例如1)出现次数只能是取值于 0,1,2,3....n ,每种次数对应的概率相加自然是1 ,通过简单的举例验证也可以得出这个结果,例如抛3次硬币,正常朝上可能出现的几种情况的对应的概率相加,即得1
在制造二项分布概率的参考表格时，通常表格中只填上n/2个值。这是因为k > n/2时的概率可以从它的补集计算出
此处的 值 是指,只需要在实验结果1或0任选一个, 填写其{ k | k =1,2,,3...n}的概率就可以,根据以上公式(较容易推导)即可计算出其补集的结果
这是二项分布的 累积分布函数 ( C umulative D istribution F unction)
开始比较疑惑为什么可以通过累加得到其CDF,但如果想通以上 概率质量函数 累加得1,这里应该也就想的通了
如果 X~B(n,p) ，那么 X 的期望值: E(X)=np
维基百科中给出的推导方式为：
但其实这个方式我感觉完全无法认同，因为 1 和 0 仅仅是我们主观的用于表示二项分布的两种结果的两种符号，我们完全可以用 1 和 -1 ,或者 1 和 1000 来表示，但取不同的值，算出来的期望并不相同，所以我感觉无法认同
下面是一种我可以理解的推导方式:
首先是两个 预备公式 :
PS:上面这个公式可自行验证
这个公式叫做二项式定理，用于计算 a+b 的 n 次方
假设实验结果为 1 的概率为 p ，实验结果为 0 的概率为 q=(1-p) ，得出二项分布的期望为:
根据上面第一个公式将期望公式转为:
再提取公共项:
最后 再根据二项式定理，得出: E(X)=np(p+q) n-1 ,因为 p+q =1 ,所以得出 E(X)=np
关于期望,方差,协方差的关系,可参考 http://blog.codinglabs.org/articles/basic-statistics-calculate.html
这篇文章中有一点我有一点纠结了很久,就是我中学曾经学过的方差计算方式是
而关于统计学中给出的都是
分析一下:
期望 E(x) 的计算，我们可以理解，这里我们假设它为 μ ,展开公式则可得:
和中学学过的公式相比较，缺少一个 1/n ,多了一个 p(x i ) ,其实这里的 1/n 就是 p(x i ) ,中学的这个公式的一个隐含条件是假设所有的数出现的概率相同，也就是 1/n
二项分布的方差为 Var(x)=np(1-p)
下面是关于方差的 证明 ：
方差的证明即是利用上述文章中说的 Var(x)=E(x 2 )-(E(x)) 2 证明在二项分布中 Var(x)=np(1-p)
预备公式：
预备公式证明:
方差公式证明:
通过 预备公式 换算，并 提取公共项 np 和 n(n-1)p 2 可得:
在根据 二项式定理 得:
整理得：
根据 期望 计算得 (E(x)) 2 =(np) 2 再代入 Var(x)=E(x 2 )-(E(x)) 2 ,得出 Var(x)=np+(np) 2 -np 2 -(np) 2 =np(1-p)
关于期望和方差的证明方法来自 https://wenku.baidu.com/view/7038047d31126edb6f1a107a.html ，并做了些修改
绛旓細浜岄」鍒嗗竷鏄噸澶峮娆＄嫭绔嬬殑浼姫鍒╄瘯楠銆傚湪姣忔璇曢獙涓彧鏈変袱绉嶅彲鑳界殑缁撴灉锛岃屼笖涓ょ缁撴灉鍙戠敓涓庡惁浜掔浉瀵圭珛锛屽苟涓旂浉浜掔嫭绔嬶紝涓庡叾瀹冨悇娆¤瘯楠岀粨鏋滄棤鍏筹紝浜嬩欢鍙戠敓涓庡惁鐨勬鐜囧湪姣忎竴娆＄嫭绔嬭瘯楠屼腑閮戒繚鎸佷笉鍙橈紝鍒欒繖涓绯诲垪璇曢獙鎬荤О涓簄閲嶄集鍔埄瀹為獙锛屽綋璇曢獙娆℃暟涓1鏃讹紝浜岄」鍒嗗竷鏈嶄粠0-1鍒嗗竷銆姝ｆ佸垎甯锛屼篃绉扳滃父鎬佸垎甯冣...
绛旓細浜岄」鍒嗗竷鐨刢鏄粍鍚堟剰鎬濓紝杩欐槸楂樹腑鏁板涓殑缁勫悎鏁帮紝浠5涓笉鍚岀殑鏁颁腑浠诲彇3涓紝绠楁硶鏄細C锛5锛3锛=5锛/锛3锛伱楋紙5-3锛夛紒锛5锛=5脳4脳3脳2脳1=120 3锛伱楋紙5-3锛夛紒=3锛伱2锛=锛3脳2脳1锛壝楋紙2脳1锛=12 C锛5锛3锛=10 绯绘暟鎬ц川锛1銆佸拰棣栨湯涓ょ绛夎窛绂荤殑绯绘暟鐩哥瓑銆2銆佸綋浜岄」寮忔寚...
绛旓細鍥犳锛浜岄」鍒嗗竷鏄鏄庣粨鏋滃彧鏈変袱绉嶆儏鍐电殑n娆″疄楠屼腑鍙戠敓鏌愮缁撴灉涓簒娆＄殑姒傜巼鍒嗗竷銆傚叾姒傜巼瀵嗗害涓猴細P(x)=xPx(1-P)n-x, x=0,1,...n銆2. 浜岄」鍒嗗竷鐨勫簲鐢ㄦ潯浠:鍖诲棰嗗煙鏈夎澶氫簩鍒嗙被璁版暟璧勬枡閮界鍚堜簩椤瑰垎甯(浼犳煋鐥呭拰閬椾紶鐥呴櫎澶)锛屼絾搴旂敤鏃朵粛搴旀敞鎰忚冨療鏄惁婊¤冻浠ヤ笅搴旂敤鏉′欢锛(1) 姣忔瀹為獙鍙湁涓ょ被...
绛旓細浜岄」鍒嗗竷鐨勫垎甯冨嚱鏁板叕寮忥細s^2=((m-x1)^2+(m-x2)^2+...+(m-xn)^2)/n銆傚湪n娆＄嫭绔嬮噸澶嶇殑浼姫鍒╄瘯楠屼腑锛岃姣忔璇曢獙涓簨浠禔鍙戠敓鐨勬鐜囦负p銆傜敤X琛ㄧずn閲嶄集鍔埄璇曢獙涓簨浠禔鍙戠敓鐨勬鏁帮紝鍒橷鐨勫彲鑳藉彇鍊间负0锛1锛屸︼紝n锛屼笖瀵规瘡涓涓猭锛0鈮鈮锛夛紝浜嬩欢{X=k}鍗充负鈥渘娆¤瘯楠屼腑浜嬩欢A鎭板ソ鍙戠敓k...
绛旓細b(n,p)鏄浜岄」鍒嗗竷锛屽嵆浜嬩欢鍙戠敓鐨勬鐜囦负p锛岄噸澶峮娆°傚畠鐨勬湡鏈汦=np锛屾柟宸负np(1-p)銆傚湪姒傜巼璁哄拰缁熻瀛︿腑锛屼簩椤瑰垎甯冩槸n涓嫭绔嬬殑鎴愬姛/澶辫触璇曢獙涓垚鍔熺殑娆℃暟鐨勭鏁ｆ鐜囧垎甯冿紝鍏朵腑姣忔璇曢獙鐨勬垚鍔熸鐜囦负p銆傝繖鏍风殑鍗曟鎴愬姛/澶辫触璇曢獙鍙堢О涓轰集鍔埄璇曢獙銆傚疄闄呬笂锛屽綋n=1鏃讹紝浜岄」鍒嗗竷灏辨槸浼姫鍒╁垎甯冦傚簲鐢 ...
绛旓細浜岄」鍒嗗竷鏄寚鍦╪娆＄嫭绔嬮噸澶嶇殑浼姫鍒╄瘯楠屼腑锛屾垚鍔熺殑娆℃暟X鏈嶄粠鐨勬鐜囧垎甯冦傚叾涓瘡娆¤瘯楠岀殑缁撴灉鍙湁涓ょ鍙兘锛氭垚鍔熸垨澶辫触锛屼笖鎴愬姛鐨勬鐜囦负p锛屽け璐ョ殑姒傜巼涓1-p銆傚湪姣忔璇曢獙涓紝鎴愬姛鍜屽け璐ョ殑姒傜巼淇濇寔涓嶅彉銆備簩椤瑰垎甯冪殑姒傜巼璐ㄩ噺鍑芥暟涓篜(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)锛屽叾涓瑿(n,k)琛ㄧず...
绛旓細浜岄」鍒嗗竷X~B(n,p)锛屾湡鏈涘糆(X)=np锛屾剰涔夎〃绀洪殢鏈哄彉閲廥鐨勫钩鍧囧硷紝鎴栧钩鍧囨按骞炽俷琛ㄧずn娆¤瘯楠岋紝p琛ㄧず鍗曟璇曢獙鐨勬垚鍔熸鐜囥備簩椤瑰垎甯冨氨鏄噸澶峮娆＄嫭绔嬬殑浼姫鍒╄瘯楠屻傚湪姣忔璇曢獙涓彧鏈変袱绉嶅彲鑳界殑缁撴灉锛岃屼笖涓ょ缁撴灉鍙戠敓涓庡惁浜掔浉瀵圭珛锛屽苟涓旂浉浜掔嫭绔嬶紝涓庡叾瀹冨悇娆¤瘯楠岀粨鏋滄棤鍏炽備簨浠跺彂鐢熶笌鍚︾殑姒傜巼鍦ㄦ瘡涓娆＄嫭绔...
绛旓細X~B(n,p)鏄浜岄」鍒嗗竷锛屽嵆浜嬩欢鍙戠敓鐨勬鐜囦负p锛岄噸澶峮娆°傚畠鐨勬湡鏈汦=np锛屾柟宸负np(1-p)銆傚湪姒傜巼璁哄拰缁熻瀛︿腑锛屼簩椤瑰垎甯冩槸n涓嫭绔嬬殑鎴愬姛/澶辫触璇曢獙涓垚鍔熺殑娆℃暟鐨勭鏁ｆ鐜囧垎甯冿紝鍏朵腑姣忔璇曢獙鐨勬垚鍔熸鐜囦负p銆傝繖鏍风殑鍗曟鎴愬姛/澶辫触璇曢獙鍙堢О涓轰集鍔埄璇曢獙銆傚疄闄呬笂锛屽綋n=1鏃讹紝浜岄」鍒嗗竷灏辨槸浼姫鍒╁垎甯冦
绛旓細3. 璐浜岄」鍒嗗竷锛氳礋浜岄」鍒嗗竷閫傜敤浜庢弿杩扮嫭绔嬮噸澶嶅疄楠屼腑鑾峰緱涓瀹氭暟閲忔垚鍔熸墍闇杩涜鐨勫疄楠屾鏁般傚叾鐗圭偣鏄瘡娆″疄楠屽彧鏈変袱绉嶅彲鑳界殑缁撴灉锛屽嵆鎴愬姛鎴栧け璐ワ紱姣忔瀹為獙鐨勬垚鍔熸鐜囩浉鍚岋紱瀹為獙涔嬮棿鏄浉浜掔嫭绔嬬殑锛涢渶瑕佽繘琛岀殑瀹為獙娆℃暟鏄浐瀹氱殑銆傝礋浜岄」鍒嗗竷鍦ㄩ闄╃鐞嗐佷繚闄╃簿绠椼佸競鍦鸿惀閿绛夐鍩熷緱鍒板箍娉涘簲鐢ㄣ傛讳箣锛屾硦鏉惧垎甯冮傜敤...
