对矩阵AB，AB=BA的充要条件是不是A=B或AB都为对称矩阵 设A B都是n阶对称矩阵，证明AB为对称矩阵的充分必要条件是...
\u5bf9\u77e9\u9635AB\uff0cAB=BA\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662f\u4e0d\u662fA=B\u6216AB\u90fd\u4e3a\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635AB\u662f\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff0c\u5219AB=BA\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662fA\uff0cB\u90fd\u4e3a\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u3002
\u4e0d\u5fc5\u8981\u52a0A=B\u3002
\u4e8b\u5b9e\u4e0a\uff0c\u82e5A\uff0cB\u90fd\u4e3a\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u3002\u5219
(AB)T=BTAT=BA
\u56e0\u4e3aAB\u662f\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff0c\u6240\u4ee5(AB)T=AB
\u6240\u4ee5AB=BA
\u53cd\u4e4b\uff0c\u82e5AB=BA
\u5219(AB)T=(BA)T
AB=ATBT
\u6545A=AT,B=BT
\u8bc1\u660e:\u5fc5\u8981\u6027
\u7531\u4e8eA\uff0cB\u90fd\u662fn\u9636\u6b63\u5b9a\u77e9\u9635\uff0c\u6839\u636e\u6b63\u5b9a\u77e9\u9635\u7684\u5b9a\u4e49\uff0cA\uff0cB\u90fd\u662fn\u9636\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff0c\u5373A'=A,B'=B(\u8fd9\u91ccA'\u8868\u793aA\u7684\u8f6c\u7f6e\u77e9\u9635)\u3002\u82e5AB\u6b63\u5b9a\uff0c\u5219
AB\u4e5f\u662f\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff0c\u4ece\u800cAB=(AB)'=B'A'=BA.\u5373\u8bc1\u5f97\u4e86AB=BA\u3002
\u5145\u5206\u6027
\u82e5AB=BA\uff0c\u5219(AB)'=B'A'=BA=AB,\u8fd9\u8bf4\u660eAB\u5b9e\u5bf9\u79f0\u3002
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\u53e6\u5916\uff0cQP'PQ'=(PQ')'(PQ'),\u6839\u636eP,Q\u90fd\u662f\u53ef\u9006\u5b9e\u77e9\u9635\uff0cPQ'\u4e5f\u662f\u53ef\u9006\u5b9e\u77e9\u9635\uff0c\u56e0\u6b64QP'PQ'\u6b63\u5b9a\uff0c\u6240\u4ee5QP'PQ'\u7684\u7279\u5f81\u503c\u90fd\u662f\u6b63\u5b9e\u6570\u3002
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AB是对称矩阵，则AB=BA的充要条件是A，B都为对称矩阵。
不必要加A=B。
事实上，若A，B都为对称矩阵。则
(AB)T=BTAT=BA
因为AB是对称矩阵，所以(AB)T=AB
所以AB=BA
反之，若AB=BA
则(AB)T=(BA)T
AB=ATBT
故A=AT，B=BT
两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
扩展资料：
若矩阵A满足条件A=A'，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i，j都成立。
对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。
一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵A，AXAT也是对称矩阵。
n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。
参考资料来源：百度百科--对称矩阵
AB是对称矩阵，则AB=BA的充要条件是A，B都为对称矩阵。
不必要加A=B。
事实上，若A，B都为对称矩阵。则
(AB)T=BTAT=BA
因为AB是对称矩阵，所以(AB)T=AB
所以AB=BA
反之，若AB=BA
则(AB)T=(BA)T
AB=ATBT
故A=AT，B=BT
两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
扩展资料：
若矩阵A满足条件A=A'，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i，j都成立。
对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。
一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵A，AXAT也是对称矩阵。
n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。
参考资料来源：搜狗百科--对称矩阵
AB是对称矩阵，则AB=BA的充要条件是A，B都为对称矩阵。
不必要加A=B。
事实上，若A，B都为对称矩阵。则
(AB)T=BTAT=BA
因为AB是对称矩阵，所以(AB)T=AB
所以AB=BA
反之，若AB=BA
则(AB)T=(BA)T
AB=ATBT
故A=AT,B=BT
A=B,B=A
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