行列式与矩阵换行换列
行列式与矩阵有联系，但是不同的数学型式，内容更不一样。最简单的不同是：行列式表示的是一个具体的“值”，而矩阵表示的是一组“数学式”。
行列式是一个数值,
矩阵是一个数表,
它们有本质的区别.
因为行列式是一个数值,
所以它的计算都是等号相连,
互换两行(列)行列式变号,
这是行列式的定义所致.
而矩阵的变换,
是为了之后矩阵的应用设计的.
比如:
求线性方程组的解,
求矩阵的秩,
求向量组的秩,
向量的线性表示,
等等.
矩阵的变换不是相等变换,
变换后用
--->
连接,
变换后的矩阵与原矩阵并不相等,
但它们等价,
有其固有的内在特性.
比如:
A经过初等行变换化成B,
则A,B的列向量组有相同的线性相关性!
这个结论非常有用.
区别如下：
1.矩阵是一个表格，行数和列数可以不一样；而行列式是一个数，且行数必须等于列数。只有方阵才可以定义它的行列式，而对于长方阵不能定义它的行列式。
2.两个矩阵相等是指对应元素都相等；两个行列式相等不要求对应元素都相等，甚至阶数也可以不一样，只要运算代数和的结果一样就行了。
3.两矩阵相加是将各对应元素相加；两行列式相加，是将运算结果相加，在特殊情况下(比如有行或列相同)，只能将一行(或列)的元素相加，其余元素照写。
4.数乘矩阵是指该数乘以矩阵的每一个元素；而数乘行列式，只能用此数乘行列式的某一行或列，提公因数也如此。
5.矩阵经初等变换，其秩不变；行列式经初等变换，其值可能改变：换法变换要变号，倍法变换差倍数；消法变换不改变。
s*n的矩阵就是s*n个数排成s行n列的一个数表，矩阵可以不是方的（即s=n）；当矩阵是方阵时，可以有相对应的行列式，就是将外边的中括号或者小括号换成两条竖线；这样得到的行列式称为矩阵的行列式。
而行列式就是一个数，它必须是方的，而且n阶行列式虽然写成n*n个数排成方阵外再加上两条竖线，但是行列式最终计算下来是一个数。它的计算过程之一就是求出n！项展开式的代数和。
对行列式做初等变换时候，因为它最终是一个数，所以互换行列就相当于最后的这个数改变了，而改变的结果就是换了正负号，这个是行列式的性质，可以证明的。
所以，虽然由方的矩阵可以定义其对应的行列式，但是千万不要认为行列式是矩阵的一种，是特殊的矩阵，这是完全错误的。事实上，在《线性代数》课本上，行列式是在矩阵之前讲的。最早的克莱姆法则也是直接针对行列式的，这个时候用不到矩阵的。
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