十字相乘法分解因式有什么技巧？
十字相乘法十字相乘法是因式分解中十四种方法之一，另外十三种分别都是：1.提公因式法 2.公式法 3.双十字相乘法 4.轮换对称法 5.拆添项法 6.配方法7.因式定理法 8.换元法 9.综合除法 10.主元法 11.特殊值法 12.待定系数法 13.二次多项式。
十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。[1]
十字分解法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是整数范围内）。对于像ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。
中文名
十字相乘法
外文名
Cross multiplication
别名
十字相乘
表达式
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
适用领域
因式分解题目，数学
快速
导航
判定运算举例分解因式例题解析重难点注意事项
原理
一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S， A所占的数量为M，B为S-M。
则：[A*M+B*(S－M)]/S=C
M/S=(C-B)/(A-B)
1-M/S=(A-C)/(A-B)
因此：M/S∶(1-M/S)=(C-B)∶(A-C)
上面的计算过程可以抽象为：
A ^C-B
^C
B^ A-C
这就是所谓的十字分解法。X增加，平均数C向A偏，A-C(每个A给B的值）变小，C-B(每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。
判定
对于形如ax2+bx+c的多项式，在判定它能否使用十字分解法分解因式时，可以使用Δ=b2-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。
运算举例
例1：a2+a-42
首先，我们看看第一个数，是a2，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a+?)×(a-?)，
然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×(-7)也可以分解成 -21×2 或者21×(-2)或者±3×±14。
首先，21和2无论正负，通过任意加减后都不可能是1，只可能是7或者6，所以排除前者。
然后，再确定是-7×6还是7×（-6）。
﹣7﹢6=﹣1，7﹣6=1，因为一次项系数为1，所以确定是7×﹣6。
所以a2+a-42就被分解成为(a+7）×(a-6），这就是通俗的十字分解法分解因式。
具体应用
双十字分解法是一种因式分解方法。对于型如 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解，常采用的方法是待定系数法。这种方法运算过程较繁。对于这问题，若采用“双十字分解法”（主元法），就能很容易将此类型的多项式分解因式。
例2：3x2+5xy-2y2+x+9y-4=(x+2y-1)(3x-y+4)
因为3=1×3，-2=2×(-1)，-4=(-1)×4，
而1×(-1)+3×2=5，2×4+(-1)(-1)=9，1×4+3×(-1)=1
要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，
例3：ab+b2+a-b-2
=0×1×a2+ab+b2+a-b-2
=(0×a+b+1)(a+b-2)
=(b+1)(a+b-2）
提示：设x2=y，用拆项法把cx2拆成mx2与ny之和。
例4：2x^4+13x^3+20x2+11x+2
=2y2+13xy+15x2+5y+11x+2
=(2y+3x+1)(y+5x+2)
=(2x2+3x+1)(x2+5x+2)
=(x+1)(2x+1)(x2+5x+2)
分解二次三项式时，我们常用十字分解法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字分解法分解因式。
例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字分解法，分解为
即
-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
再利用十字分解法对关于x的二次三项式分解
所以
原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]
=(x+2y-3)(2x-11y+1)．
(x+2y)(2x-11y)=2x^2-7xy-22y^2；
(x-3)(2x+1)=2x^2-5x-3；
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．
这就是所谓的双十字分解法．也是俗称的“主元法”
用双十字分解法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
⑴用十字分解法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列）；
⑵把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
我们把形如anx^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a1x+a0（n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如
f(x)=x2-3x+2，g(x)=x^5+x2+6，…，
当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)
f(1)=12-3×1+2=0；
f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．
若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．
定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)至少有一个因式x-a．
根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根。
分解因式
例1、因式分解。
x2-x-56
分析：因为7x + (-8x) =-x
解：原式=(x+7)(x-8)
例2、因式分解。
x2-10x+16
分析：因为-2x+(-8x)=-10x
解：原式=(x-2)(x-8)
例3、因式分解。
6y2+19y+15
分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字分解法进行因式分解。
因为
9y + 10y=19y
解：原式=(2y+3)(3y+5)
例4、 因式分解。
14x2+3x-27
分析：因为
21x+(-18x)=3x
解：原式=(2x+3)(7x-9)
例5、 因式分解。
10(x+2)2-29(x+2)+10
分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。
因为
-25(x+2)+[-4(x+2)]= -29(x+2)
解：原式=[2(x+2)-5][5(x+2)-2]
=(2x-1)(5x+8)
例题解析
例1
把2x2-7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分
别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数（只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同！）：
2=1×2=2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 3
╳
2 1
1×1+2×3=7 ≠-7
1 1
╳
2 3
1×3+2×1=5 ≠-7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)=-7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。
例2
解 2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)
通常地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2 + a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字分解法.
例3
把5x2+6xy-8y2分解因式.
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
1 2
╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解 5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y).
指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。
例4
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。
问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y）的二次三项式，就可以用十字分解法分解因式了。
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)2-3(x-y)-2
1 -2
╳
2 1
1×1+2×(-2)=-3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
指出：将元x、y换成(x+y)，以(x+y)为元，这就是“换元法”。
重难点
难点：灵活运用十字分解法分解因式。因为并不是所有二次多项式都可以用十字相乘法分解因式。
重点：正确地运用十字分解法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式。
注意事项
第一点：用来解决两者之间的比例问题。
第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。
绛旓細鍒嗚В鍥犲紡鏂规硶鏈夛細鍏紡娉曘佹彁鍙栧叕鍥犲紡娉鍜鍗佸瓧鐩镐箻娉3绉嶃 鍗佸瓧鐩镐箻娉曟柟娉曪細銆鍗佸瓧鐩镐箻娉曠殑鏂规硶绠鍗曠偣鏉ヨ灏辨槸锛氬崄瀛楀乏杈圭浉涔樼瓑浜庝簩娆￠」绯绘暟锛屽彸杈圭浉涔樼瓑浜庡父鏁伴」锛屼氦鍙夌浉涔樺啀鐩稿姞绛変簬涓娆￠」绯绘暟銆 鍗佸瓧鐩镐箻娉曡兘鎶婃煇浜涗簩娆′笁椤瑰紡鍒嗚В鍥犲紡銆傝繖绉嶆柟娉曠殑鍏抽敭鏄妸浜屾椤圭郴鏁癮鍒嗚В鎴愪袱 鍗佸瓧鐩镐箻娉曚釜鍥犳暟a1,...
绛旓細?c2锛屽苟浣縜1c2+a2c1姝ｅソ鏄竴娆￠」b锛岄偅涔堝彲浠ョ洿鎺ュ啓鎴愮粨鏋:鍦ㄨ繍鐢ㄨ繖绉嶆柟娉鍒嗚В鍥犲紡鏃讹紝瑕佹敞鎰忚瀵燂紝灏濊瘯锛屽苟浣撲細瀹冨疄璐ㄦ槸浜岄」寮忎箻娉曠殑閫嗚繃绋嬨傚綋棣栭」绯绘暟涓嶆槸1鏃讹紝寰寰闇瑕佸娆¤瘯楠岋紝鍔″繀娉ㄦ剰鍚勯」绯绘暟鐨勭鍙枫傚熀鏈紡瀛愶細x²+锛坧+q)x+pq=(x+p)(x+q)鎵璋鍗佸瓧鐩镐箻娉,灏辨槸杩愮敤涔樻硶鍏紡(x+a)(...
绛旓細鍗佸瓧鐩镐箻娉鑳芥妸鏌愪簺浜屾涓夐」寮鍒嗚В鍥犲紡銆傝鍔″繀娉ㄦ剰鍚勯」绯绘暟鐨勭鍙枫
绛旓細涓銆鍗佸瓧鐩镐箻娉鐨勪娇鐢 涓句釜渚嬪瓙锛鍥犲紡鍒嗚Вx²+3x-4 鐜板湪绾镐笂鐢讳竴涓ぇ澶х殑鈥溾暢鈥濄傚湪宸︿笂瑙掑拰宸︿笅瑙掑啓涓婁袱涓暟锛岃繖涓や釜鏁扮殑绉濂戒负浜屾椤癸紝杩欓噷鍒嗗埆鍐檟,x銆傚湪鍙充笂瑙掑拰鍙充笅瑙掑啓涓婁袱涓暟锛岃繖涓や釜鏁扮殑绉濂戒负甯告暟椤癸紙杩欓噷涓-4锛夛紝鎴戜滑閫夋嫨2锛-2銆傚亣鑻ュ乏涓婅涓庡彸涓婅鐨勭Н 涓 宸...
绛旓細鍗佸瓧鐩镐箻娉曞崄瀛楃浉涔樻硶涓鑸敤浜庝簩娆′笁椤瑰紡鐨鍥犲紡鍒嗚В銆傚x²-5x+6.瑕佹眰鍙樹负(x+a)(x+b)鐨勫舰寮忥紝鍒欏彲浠ュ彉涓簒鈺硏x+銆x锛濓紞5x.鑰宎锛宐鍚屽彿锛屾墍浠鍜宐鍧囦负璐熸暟銆傦紙杩欒杩涜璇曞晢锛夋渶鍚庡緱x銆锛2銆鈺硏銆锛3锛2x锛3x锛濓紞5x.鎵浠²-5x+6锛濓紙x-2锛夛紙x-3锛夛紟鍗佸瓧鐩镐箻娉曠殑绠楁硶鏄...
绛旓細鍗佸瓧鐩镐箻娉鏄鍥犲紡鍒嗚В涓崄鍥涚鏂规硶涔嬩竴,鍙﹀鍗佷笁绉嶅垎鍒兘鏄:1.鎻愬叕鍥犲紡娉 2.鍏紡娉 3.鍙屽崄瀛楃浉涔樻硶 4.杞崲瀵圭О娉 5.鎷嗘坊椤规硶 6.閰嶆柟娉7.鍥犲紡瀹氱悊娉 8.鎹㈠厓娉 9.缁煎悎闄ゆ硶 10.涓诲厓娉 11.鐗规畩鍊兼硶 12.寰呭畾绯绘暟娉 13.浜屾澶氶」寮忋鍗佸瓧鍒嗚В娉曠殑鏂规硶绠鍗曟潵璁插氨鏄:鍗佸瓧宸﹁竟鐩镐箻绛変簬浜屾椤圭郴鏁,鍙宠竟鐩镐箻绛変簬...
绛旓細1. 浣跨敤鍗佸瓧鐩镐箻娉曞垎瑙ｅ洜寮 (1)+2-4x-21锛氶鍏堝皢寮忓瓙杩涜鍒嗙粍锛屽緱鍒帮細(1+2) - (4x+21)銆傛帴涓嬫潵锛屽姣忎釜鍒嗙粍搴旂敤鍗佸瓧鐩镐箻娉曪細绗竴缁勶細(1+2) = 3 绗簩缁勶細(4x+21) = 4x+21 鎵浠ュ師濮嬭〃杈惧紡鍙互鍒嗚В涓猴細3 - (4x+21)銆2. 浣跨敤鍗佸瓧鐩镐箻娉曞垎瑙ｅ洜寮 (2)+-5xy-6y锛氶鍏堝皢寮忓瓙杩涜鍒嗙粍锛...
绛旓細鍗佸瓧鐩镐箻娉鏄鍥犲紡鍒嗚В涓崄鍥涚鏂规硶涔嬩竴銆傚崄瀛楃浉涔樻硶 鍗佸瓧鐩镐箻娉曠殑鏂规硶绠鍗曟潵璁插氨鏄細鍗佸瓧宸﹁竟鐩镐箻鐨勭Н涓轰簩娆￠」锛屽彸杈圭浉涔樼殑绉负甯告暟椤癸紝浜ゅ弶鐩镐箻鍐嶇浉鍔犵瓑浜庝竴娆￠」銆傚師鐞嗗氨鏄繍鐢ㄤ簩椤瑰紡涔樻硶鐨勯嗚繍绠楁潵杩涜鍥犲紡鍒嗚В銆傚崄瀛楃浉涔樻硶鑳界敤浜庝簩娆′笁椤瑰紡锛堜竴鍏冧簩娆″紡锛夌殑鍒嗚В鍥犲紡銆傚浜庡儚ax²+bx+c=(a&#...
绛旓細鏈変簺浜屾涓夐」寮忥紝鍙互鎶婄涓椤瑰拰绗笁椤圭殑绯绘暟鍒嗗埆鍒嗚В涓轰袱涓暟涔嬬Н锛岀劧鍚庡熷姪鐢诲崄瀛椾氦鍙夌嚎鐨勬柟娉曪紝鎶婁簩娆′笁椤瑰紡杩涜鍥犲紡鍒嗚В锛岃繖绉嶆柟娉曞彨鍗佸瓧鐩镐箻娉锛1脳1=1锛堜簩娆￠」绯绘暟锛塧b=ab锛堝父鏁伴」锛1脳a+1脳b=a+b锛堜竴娆￠」绯绘暟锛夎鎶婁簩娆￠」绯绘暟涓嶄负1鐨勪簩娆′笁椤瑰紡 鎶鍒嗚В鍥犲紡鏃讹細濡傛灉甯告暟椤筿鏄鏁帮紝...
绛旓細涓夋鏂鍥犲紡鍒嗚В鍗佸瓧鐩镐箻娉涓鑸敤浜庡垎瑙ｄ簩娆′笁椤瑰紡銆備笁娆′笁椤瑰紡涓鑸敤鎷嗛」锛屽噺椤癸紝鍏堟彁鍏叡鐨勫洜寮忥紝鍐嶅儚浜屾閭ｆ牱鍥犲紡鍒嗚В銆傚崄瀛楃浉涔樻硶鏄洜寮忓垎瑙ｄ腑鍗佸洓绉嶆柟娉曚箣涓銆鍗佸瓧鍒嗚В娉曠殑鏂规硶绠鍗曟潵璁插氨鏄細鍗佸瓧宸﹁竟鐩镐箻绛変簬浜屾椤圭郴鏁帮紝鍙宠竟鐩镐箻绛変簬甯告暟椤癸紝浜ゅ弶鐩镐箻鍐嶇浉鍔犵瓑浜庝竴娆￠」绯绘暟銆傚叾瀹炲氨鏄繍鐢ㄤ箻娉曞叕寮忥紙x+...
