如何证明函数的极限
函数的极限的证明如下：
1.利用函数的连续性求函数的极限（直接带入即可）如果是初等函数，且点在定义区间内，那么，因此计算当时的极限，只要计算对应的函数值就可以了。
2.利用有理化分子或分母求函数的极限a，若含有，一般利用去根号b。
3.利用两个重要极限求函数的极限。
4.利用无穷小的性质求函数的极限性质
①有界函数与无穷小的乘积是无穷小性质
②常数与无穷小的乘积是无穷小性质
③有限个无穷小相加、相减及相乘仍旧无穷小
知识拓展：
1.函数的极限的性质
（1）函数极限的唯一性
若limf(x)存在,则极限唯一。以上性质的证明与数列极限的性质类似。
（2）函数极限的局部有界性
若在某个过程下,f(x)有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后f(x)有界。
（3）函数极限的局部保号性
（4）函数极限的保序性
（5）函数极限的迫敛性
2.函数极限的概念
函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的函数极限证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
以x→Xo的极限为例，f(x)在点Xo以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。
3.函数极限的定义
设函数y=f（x）在点X0的某个去心领域中有定义，即存在ρ>0，使O（X0，ρ）\{X0}。
如果存在实数A，对于任意给定的ε>0，可以找到δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，成立│f(x)-A│<ε,则称数A为函数f(x)当x→+∞时的极限，记作f(x)→A(x→+∞)。
例：y=1/x，x→+∞时极限为y=0
函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。
极限符号可记为lim
绛旓細1. 鍒╃敤鏋侀檺瀹氫箟璇佹槑 杩欐槸鏈鍩虹鐨勮瘉鏄庢柟娉曪紝涔熸槸鏈甯哥敤鐨勬柟娉曘傛牴鎹瀬闄愬畾涔夛紝褰撳嚱鏁癴(x)鐨勮嚜鍙橀噺x瓒嬭繎浜巃鏃讹紝濡傛灉鏈変竴涓暟L锛屼娇寰楀浜庝换鎰忕殑蔚>0锛岄兘瀛樺湪涓涓>0锛屾弧瓒硘f(x)-L|<蔚锛屽綋0<|x-a|<未鏃舵垚绔嬶紝鍒欒〃绀哄嚱鏁板瓨鍦ㄦ瀬闄怢銆傚洜姝わ紝鎴戜滑鍙渶瑕佹寜鐓ц繖涓畾涔夛紝閫愭璇佹槑f(x)婊¤冻瀹氫箟鍗冲彲銆
绛旓細涓銆佸簲鐢ㄥす閫煎畾鐞嗚瘉鏄銆備簩銆佸簲鐢ㄥ崟璋冩湁鐣屽畾鐞嗚瘉鏄庛備笁銆佷粠鐢ㄦ瀬闄愮殑瀹氫箟鍏ユ墜鏉ヨ瘉鏄庛傚洓銆佸簲鐢ㄦ瀬闄愬瓨鍦ㄧ殑鍏呰鏉′欢璇佹槑銆備竴銆佸簲鐢ㄥす閫煎畾鐞嗚瘉鏄 濡傛灉鏈夊嚱鏁癴(x),g(x),h(x),婊¤冻g(x)鈮(x)鈮(x),Limg(x)=Limh(x)=A锛屽垯Limf(x)=A銆傜敤澶归煎畾鐞嗘椂锛岀敱缁欏嚭鐨勬暟鍒楁斁澶с佺缉灏忥紝鍦ㄦ斁澶с佺缉灏忔椂...
绛旓細璇佹槑鍑芥暟鏋侀檺鐨勬柟娉曢氬父鍒嗕负涓ょ锛氫唬鏁版硶鍜屽嚑浣曟硶銆1銆佷唬鏁版硶鏄氳繃鏁板杩愮畻鍜岄昏緫鎺ㄧ悊鏉ヨ瘉鏄庡嚱鏁版瀬闄愮殑瀛樺湪銆傞鍏堬紝鎴戜滑闇瑕佸畾涔夊嚱鏁癴锛坸锛夊拰甯告暟a锛岀劧鍚庝娇鐢ㄥ畾涔夋潵璇佹槑褰搙瓒嬩簬a鏃讹紝鍑芥暟f锛坸锛夌殑鏋侀檺瀛樺湪銆傜‘瀹氬嚱鏁癴锛坸锛夌殑瀹氫箟鍩熷拰甯告暟a銆2銆佹牴鎹嚱鏁版瀬闄愮殑瀹氫箟锛屽鏋滃綋x瓒嬩簬a鏃讹紝鍑芥暟f锛坸锛夌殑鏋侀檺...
绛旓細1.鍒╃敤鍑芥暟鐨勮繛缁ф眰鍑芥暟鐨勬瀬闄愶紙鐩存帴甯﹀叆鍗冲彲锛夊鏋滄槸鍒濈瓑鍑芥暟锛屼笖鐐瑰湪瀹氫箟鍖洪棿鍐咃紝閭ｄ箞锛屽洜姝よ绠楀綋鏃剁殑鏋侀檺锛屽彧瑕佽绠楀搴旂殑鍑芥暟鍊煎氨鍙互浜嗐2.鍒╃敤鏈夌悊鍖栧垎瀛愭垨鍒嗘瘝姹傚嚱鏁扮殑鏋侀檺a锛岃嫢鍚湁锛屼竴鑸埄鐢ㄥ幓鏍瑰彿b銆3.鍒╃敤涓や釜閲嶈鏋侀檺姹傚嚱鏁扮殑鏋侀檺銆4.鍒╃敤鏃犵┓灏忕殑鎬ц川姹傚嚱鏁扮殑鏋侀檺鎬ц川 鈶犳湁鐣屽嚱鏁颁笌鏃犵┓...
绛旓細璇佹槑鏋侀檺鐨勬柟娉曞涓嬶細1銆佄-未瀹氫箟娉曪細杩欐槸涓绉嶅父鐢ㄧ殑璇佹槑鏋侀檺鐨勬柟娉銆傚浜庣粰瀹氱殑鍑芥暟f(x)鍜屾瀬闄怢锛屽鏋滃浜庝换鎰忕粰瀹氱殑蔚 > 0锛屽瓨鍦ㄤ竴涓 > 0锛屼娇寰楀綋0 < |x - a| < 未鏃讹紝鏈墊f(x) - L| < 蔚鎴愮珛锛岄偅涔堟垜浠氨鍙互璇存瀬闄愬瓨鍦紝骞惰浣渓im鈹(x鈫抋)銆杅(x)=L銆椼2銆佸す閫...
绛旓細鍑芥暟鏋侀檺瀛樺湪鐨勮瘉鏄庢柟娉曞涓嬶細1銆佸畾涔夋硶锛氶氳繃瀹氫箟鏉璇佹槑鍑芥暟鏋侀檺鐨勫瓨鍦ㄣ傞鍏堬紝鎴戜滑闇瑕佺‘瀹氬嚱鏁板湪鏌愮偣澶鐨勬瀬闄鍊硷紝鐒跺悗锛岄氳繃瀹氫箟涓殑涓嶇瓑寮忥紝鎴戜滑鍙互璇佹槑鍑芥暟鍦ㄦ煇鐐瑰鐨勬瀬闄愬肩瓑浜庤鐐瑰鐨勫嚱鏁板笺傝繖绉嶆柟娉曢渶瑕佹垜浠鍑芥暟杩涜閫愮偣閫艰繎锛屽苟浣跨敤涓嶇瓑寮忔潵璇佹槑鏋侀檺鍊肩殑瀛樺湪鎬с2銆佹煰瑗挎敹鏁涘噯鍒欙細鏌タ鏀舵暃...
绛旓細璇佹槑鍑芥暟鏋侀檺鐨勬楠ゅ涓嬶細涓銆佸簲鐢ㄥす閫煎畾鐞嗚瘉鏄庛浜屻佸簲鐢ㄥ崟璋冩湁鐣屽畾鐞嗚瘉鏄銆備笁銆佷粠鐢ㄦ瀬闄愮殑瀹氫箟鍏ユ墜鏉ヨ瘉鏄庛傚洓銆佸簲鐢ㄦ瀬闄愬瓨鍦ㄧ殑鍏呰鏉′欢璇佹槑銆傚嚱鏁帮紙function锛夛紝鏁板鏈銆傚叾瀹氫箟閫氬父鍒嗕负浼犵粺瀹氫箟鍜岃繎浠ｅ畾涔夛紝鍑芥暟鐨勪袱涓畾涔夋湰璐ㄦ槸鐩稿悓鐨勶紝鍙槸鍙欒堪姒傚康鐨勫嚭鍙戠偣涓嶅悓锛屼紶缁熷畾涔夋槸浠庤繍鍔ㄥ彉鍖栫殑瑙傜偣鍑哄彂锛岃...
绛旓細瀹氱悊濡備笅鍥撅細鍑芥暟鏋侀檺鍙互鍒嗘垚 锛岃岃繍鐢ㄎ-未瀹氫箟鏇村鐨勮璇稿凡鐭ユ瀬闄愬肩殑璇佹槑棰樹腑銆傛帉鎻¤繖绫昏瘉鏄庡鍒濆鑰呮繁鍒荤悊瑙ｈ繍鐢ㄦ瀬闄愬畾涔夊ぇ鏈夎（鐩娿備互 鐨勬瀬闄涓轰緥锛宖(x) 鍦ㄧ偣 浠涓烘瀬闄愮殑瀹氫箟鏄細 瀵逛簬浠绘剰缁欏畾鐨勬鏁拔碉紙鏃犺瀹冨涔堝皬锛夛紝鎬诲瓨鍦ㄦ鏁 锛屼娇寰楀綋x婊¤冻涓嶇瓑寮 鏃讹紝瀵瑰簲鐨勫嚱鏁板糵(x)閮...
绛旓細鐢辨锛屾垜浠彲浠ョ煡閬擄紝瑕璇佹槑涓涓鏋侀檺锛屽叧閿氨鏄鎵惧嚭瀛樺湪鐨勎村叧浜幬电殑琛ㄨ揪寮 褰撶劧锛岃繖涓〃杈惧紡未(蔚)鐨勫叿浣撴壘鍑鸿繃绋嬶紝鍙渶鍦ㄨ崏绋夸笂瀹屾垚 涔﹂潰涓婏紝杩欎釜杩囩▼鍙互澶уぇ鐪佺暐锛堜絾涓嶈鍏ㄧ渷浜嗭紝瑕佸啓涓涓ゆ鍏抽敭姝ラ锛変妇涓緥瀛愶細璇佹槑锛歭im(x鈫2) x^2=4 涔﹂潰锛氬厛闄愬埗1<x<3锛岃冭檻锛殀x^2-4| =|x+2|*|...
绛旓細璇佹槑鍑芥暟鏋侀檺鐨勫眬閮ㄦ湁鐣屾э紝鍙互浣跨敤鍙嶈瘉娉曘傚亣璁惧瓨鍦ㄤ竴涓猯imf(x)锛屼絾涓嶆槸灞閮ㄦ湁鐣屾х殑锛屽嵆瀛樺湪涓涓棤绌峰ぇ閲廙鍜屼竴涓棤闄愬ぇ闆嗗悎{xn}锛屼娇寰梶f(xn)|>M銆傛牴鎹瀬闄愮殑瀹氫箟锛屽浜庝换鎰忕粰瀹氱殑姝ｆ暟蔚锛屽瓨鍦ㄦ鏁存暟N锛屼娇寰楀綋n>N鏃讹紝f(xn)涓巐imf(x)涔嬮棿鐨勫樊鍊煎皬浜幬碉紝鍗硘f(xn)-limf(x)|<蔚銆傚洜姝わ紝褰搉...
