二阶齐次线性微分方程
二阶常系数线性微分方程：如y''+py'+qy=f（x）的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f（x）为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。
二阶线性微分方程是指未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的二阶方程，简单称为二阶线性方程。
标准形式y″+py′+qy=0
特征方程r^2+pr+q=0
通解
1、两个不相等的实根：y=C1e^（r1x）+C2e^（r2x）
2、两根相等的实根：y=（C1+C2x）e^（r1x）
3、共轭复根r=α+iβ：y=e^（αx）*（C1cosβx+C2sinβx）
标准形式y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）
简介
二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。前者主要是采用特征方程求解，后者在对应的齐次方程的通解上加上特解即为非齐次方程的通解。齐次和非齐次的微分方程的通解都包含一切的解。
绛旓細浜岄樁甯哥郴鏁绾挎у井鍒嗘柟绋涓鑸舰寮弝'' +p y' + qy = f(x)鈶 (涓嬮潰鐢ㄥ埌r1銆乺2銆亂1銆亂2銆丆1銆丆2)涓銆佷簩闃跺父绯绘暟榻愭绾挎鏂圭▼ 鍏朵竴鑸舰寮弝'' + py' + qy = 0 鈶 鍗斥憼寮忎腑鐨刦(x) = 0锛屾眰璇ュ紡閫氳В锛岀洿鎺ヨ繍鐢ㄥ畾鐞嗗緱鐭モ憽鐨勯氳В锛歽 = C1y1(x) + C2y2(x)鎺ョ潃鍙渶姹傝В鍑簓1(x)...
绛旓細濡傛灉涓涓簩闃舵柟绋嬩腑锛屾湭鐭ュ嚱鏁板強鍏朵竴闃躲佷簩闃跺鏁伴兘鏄竴娆℃柟鐨勶紝灏辩О瀹冧负浜岄樁绾挎у井鍒嗘柟绋锛岀畝鍗曠О涓浜岄樁绾挎ф柟绋銆備簩闃剁嚎鎬у井鍒嗘柟绋嬬殑姹傝В鏂瑰紡鍒嗕负涓ょ被锛屼竴鏄浜岄樁绾挎ч綈娆寰垎鏂圭▼锛屼簩鏄嚎鎬ч潪榻愭寰垎鏂圭▼銆傚墠鑰呬富瑕佹槸閲囩敤鐗瑰緛鏂圭▼姹傝В锛屽悗鑰呭湪瀵瑰簲鐨榻愭鏂圭▼鐨勯氳В涓婂姞涓婄壒瑙ｅ嵆涓洪潪榻愭鏂圭▼鐨勯氳В銆
绛旓細2銆丄y''+By'+Cy=a sinx + bcosx 鐗硅В y=msinx+nsinx 3銆丄y''+By'+Cy= mx+n 鐗硅В y=ax 浜岄樁甯哥郴鏁扮嚎鎬у井鍒嗘柟绋嬫槸褰㈠y''+py'+qy=f(x)鐨勫井鍒嗘柟绋嬶紝鍏朵腑p锛宷鏄疄甯告暟銆傝嚜鐢遍」f(x)涓哄畾涔夊湪鍖洪棿I涓婄殑杩炵画鍑芥暟锛屽嵆y''+py'+qy=0鏃讹紝绉颁负浜岄樁甯哥郴鏁榻愭绾挎у井鍒嗘柟绋銆傝嫢...
绛旓細涓瀵瑰叡杞鏍箁1=伪+i尾,r2=伪-i尾 y=e伪x(C1cos尾x+C2sin尾x)2.1.浜岄樁甯哥郴鏁伴潪榻愭绾挎у井鍒嗘柟绋瑙ｆ硶 涓鑸舰寮: y鈥+py鈥+qy=f(x)鍏堟眰y鈥+py鈥+qy=0鐨勯氳Вy0(x),鍐嶆眰y鈥+py鈥+qy=f(x)鐨勪竴涓壒瑙*(x)鍒檡(x)=y0(x)+y*(x)鍗充负寰垎鏂圭▼y鈥+py鈥+qy=f(x)鐨勯氳В...
绛旓細浜岄樁寰垎鏂圭▼鐨勯氳В鍏紡锛歽''+py'+qy=f(x)锛屽叾涓璸锛宷鏄疄甯告暟銆傝嚜鐢遍」f(x)涓哄畾涔夊湪鍖洪棿I涓婄殑杩炵画鍑芥暟锛屽嵆y''+py'+qy=0鏃讹紝绉颁负浜岄樁甯哥郴鏁榻愭绾挎у井鍒嗘柟绋銆傝嫢鍑芥暟y1鍜寉2涔嬫瘮涓哄父鏁帮紝绉皔1鍜寉2鏄嚎鎬х浉鍏崇殑銆傝嫢鍑芥暟y1鍜寉2涔嬫瘮涓嶄负甯告暟锛岀Оy1鍜寉2鏄嚎鎬ф棤鍏崇殑銆傜壒寰佹柟绋嬩负锛毼籢2+p...
绛旓細浜岄樁甯哥郴鏁扮嚎鎬у井鍒嗘柟绋嬶細濡倅+py+qy=f鐨勫井鍒嗘柟绋嬶紝鍏朵腑p锛宷鏄疄甯告暟銆傝嚜鐢遍」f涓哄畾涔夊湪鍖洪棿I涓婄殑杩炵画鍑芥暟锛屽嵆y+py+qy=0鏃讹紝绉颁负浜岄樁甯哥郴鏁榻愭绾挎у井鍒嗘柟绋銆備簩闃剁嚎鎬у井鍒嗘柟绋嬫槸鎸囨湭鐭ュ嚱鏁板強鍏朵竴闃躲佷簩闃跺鏁伴兘鏄竴娆℃柟鐨勪簩闃舵柟绋嬶紝绠鍗曠О涓浜岄樁绾挎ф柟绋銆傛爣鍑嗗舰寮弝鈥+py鈥+qy=0鐗瑰緛鏂圭▼r^2+...
绛旓細绉颁负浜岄樁甯哥郴鏁扮嚎鎬ч潪榻愭寰垎鏂圭▼銆備簩闃跺父绯绘暟绾挎у井鍒嗘柟绋嬶紙linear differential equation with constant coefficients of the second order锛夋槸褰㈠y''+py'+qy=f(x)鐨勫井鍒嗘柟绋嬶紝鍏朵腑p锛宷鏄疄甯告暟銆傝嚜鐢遍」f(x)涓哄畾涔夊湪鍖洪棿I涓婄殑杩炵画鍑芥暟锛屽嵆y''+py'+qy=0鏃讹紝绉颁负浜岄樁甯哥郴鏁榻愭绾挎у井鍒嗘柟绋銆
绛旓細1銆浜岄樁甯哥郴鏁扮嚎鎬у井鍒嗘柟绋 鏍囧噯褰㈠紡锛 y鈥+py鈥+qy=f(x)褰 f(x)=0锛屽嵆 y鈥+py鈥+qy=0涓轰簩闃跺父绯绘暟榻愭绾挎у井鍒嗘柟绋 褰 f(x)鈮0锛屽嵆 y鈥+py鈥+qy=f(x)涓轰簩闃跺父绯绘暟闈為綈娆＄嚎鎬у井鍒嗘柟绋 2銆佺壒寰佹柟绋嬶細涓鍏冧簩娆℃柟绋 r2+pr+q=0 寰垎鏂圭▼锛 y鈥+py鈥+qy=0 鐗瑰緛鏂圭▼锛 r2+pr+...
绛旓細浜岄樁榻愭寰垎鏂圭▼鐨勯氳В鏄細y=e^(伪x)(C1cos(尾x)+C2*sin(尾x))銆備簩闃跺父绯绘暟榻愭绾挎у井鍒嗘柟绋涓鑸舰寮忎负锛歽"+py鈥+qy=0 锛屽叾涓璸锛宷涓哄父鏁般備互r^k浠ｆ浛涓婂紡涓殑y锛坘锛(k=0,1,2) 锛屽緱涓浠ｆ暟鏂圭▼锛歳²+pr+q=0锛岃繖鏂圭▼绉颁负寰垎鏂圭▼鐨勭壒寰佹柟绋嬶紝鎸夌壒寰佹牴鐨勬儏鍐碉紝鍙洿鎺ュ啓鍑烘柟绋...
绛旓細浜岄樁甯哥郴鏁扮嚎鎬у井鍒嗘柟绋嬫槸褰㈠y''+py'+qy=f(x)鐨勫井鍒嗘柟绋嬶紝鍏朵腑p锛宷鏄疄甯告暟銆傝嚜鐢遍」f(x)涓哄畾涔夊湪鍖洪棿I涓婄殑杩炵画鍑芥暟锛屽嵆y''+py'+qy=0鏃讹紝绉颁负浜岄樁甯哥郴鏁榻愭绾挎у井鍒嗘柟绋銆傛爣鍑嗗舰寮 y鈥+py鈥+qy=0銆傜壒寰佹柟绋 r^2+pr+q=0銆傞氳В锛1銆佷袱涓笉鐩哥瓑鐨勫疄鏍癸細y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)...
