诱导公式推导是什么?
诱导公式推导是:
1、万能公式推导:sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[cos2(α)+sin2(α)],(因为cos2(α)+sin2(α)=1)。
再把分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα/[1+tan2(α)]。
然后用α/2代替α即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
2、三倍角公式推导:
tan3α=sin3α/cos3α。
=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)。
=[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα-sin3(α)]/[cos3(α)-cosαsin2(α)-2sin2(α)cosα]。
上下同除以cos3(α),得:
tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)]。
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos2(α)+[1-2sin2(α)]sinα=2sinα-2sin3(α)+sinα-2sin3(α)=3sinα-4sin3(α)。
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=[2cos2(α)-1]cosα-2cosαsin2(α)=2cos3(α)-cosα+[2cosα-2cos3(α)]=4cos3(α)-3cosα。
即:sin3α=3sinα-4sin3(α)、cos3α=4cos3(α)-3cosα。
三角函数中和差化积公式推导是:
首先,我们知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,sin(a-b)=sinacosb-cosasinb。
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb。
同理,若把两式相减,就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2。
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb,cos(a-b)=cosacosb+sinasinb。
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb。
同理,两式相减我们就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2。
这样,我们就得到了积化和差的公式:cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2;sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2。
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式。
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2。
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]。
sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]。
cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]。
cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]。
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