这个波动方程怎么解呢？
这是一个关于波动方程推导的问题。先默认我们已知波动方程的微分表达式是这样的：
\frac{d^2y}{dt^2} -v^2\frac{d^2y}{dx^2} =0
为了得到它的解呢，首先根据观察，容易发现解有这样的形式：
y=Ae^{at+bx+c}
其中：\frac{a^2}{b^2} =v^2，c为任意常数
如果取a为\omega(\omega > 0)，取b为k的话，这个解是不正确的，因为会出现如下问题：
当t\rightarrow +\infty时，有y\rightarrow +\infty，不符合能量守恒。
然而即便\omega<0，t\rightarrow +\infty时，能量衰减以后去向也不明。
为了解决这个问题，他说只要加上虚数单位 i 就可以了，即：
y=Ae^{\mathrm{i}\omega t+\mathrm{i}kx}
这一步我不是特别明白。
首先，我知道这样的公式确实是正确的。因为它的实部确实和我以前所接触过的波动方程相同。但是，问题如下：
1. 这个解的虚部有什么物理意义？或说有什么含义？
2. 为什么加入了虚数单位？\mathrm{i}就解决了上述问题？
3. 引入的虚数单位\mathrm{i}在这里有什么物理意义？
4. 为什么可以引入虚数单位？\mathrm{i}？为什么会想到这样做？
先假设，在原点处有振动 y=f(t)，振动以速度 v 向 x 轴正方向传播，则 t 时刻 x 处的振动方程是 y=f(t-\frac{x}{v})，即 x 处的振动比原点处慢 \frac{x}{v} 。我们就得到了沿 x 轴正方向传播的波函数一般形式 y(x,t)=f(t-\frac{x}{v}) 。若原点处是简谐振动 f(t) = A sin(\omega t) ， 则波函数y(x,t)=f(t-\frac{x}{v}) = Asin(\omega(t -\frac{x}{v})) = A sin(\omega t - kx) ， k = \frac{w}{v} 。
从波函数出发我们就可以推导出波动方程的一般形式。令 u=t-\frac{x}{v}，
对时间的一阶偏导数 \frac{\partial y}{\partial t}=\frac{df}{du}\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{df}{du}，二阶偏导数 \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=\frac{d^2f}{du^2} 。
对坐标的一阶偏导数 \frac{\partial y}{\partial x}=\frac{df}{du}\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{v}\frac{df}{du}，二阶偏导数 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=-\frac{1}{v}\frac{d^2f}{du^2}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{v^2}\frac{d^2f}{du^2} 。
可以很容易得到波函数时空变化关系，即波动方程 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}，移相后就得到常见的波动方程 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=0 。
然后对波动方程求解。波动方程是二阶齐次线性偏微分方程，严格求解需要初值条件和边值条件。如果边值条件也是齐次的就可以用分离变量法求解。令 y(x,t)=Y(x)f(t)，代入波动方程然后分离变量，f\frac{d^2Y}{dx^2}-\frac{1}{v^2}Y\frac{d^2f}{dt^2}=0，v^2\frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dx^2}=\frac{1}{f}\frac{d^2f}{dt^2} = -\lambda 。
f''(t) + \lambda f(t) = 0 ， Y''(x) + \frac{\lambda}{v^2}Y(x) = 0 。
若\lambda < 0 ， f(t) = A e^{\sqrt{-\lambda}t} + B e^{-\sqrt{-\lambda}t} 不符合振动的形式。
\lambda >0 ， f(t) = A sin(\omega t + \phi) , Y(x) = C sin(kx) + D cos(kx) 。
其中 \omega^2 = \lambda ， k = \frac{\omega}{v} 。
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