一维实序列的快速傅里叶变换（FFT） 谁能告诉我fft（快速傅里叶变换）的原理
\u4e00\u7ef4\u590d\u6570\u5e8f\u5217\u7684\u5feb\u901f\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\uff08FFT\uff09\u8bbex\uff08N\uff09\u4e3aN\u70b9\u6709\u9650\u957f\u79bb\u6563\u5e8f\u5217\uff0c\u4ee3\u5165\u5f0f\uff088\uff0d3\uff09\u3001\u5f0f\uff088\uff0d4\uff09\uff0c\u5e76\u4ee4 \u5176\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\uff08DFT\uff09\u4e3a
\u5730\u7403\u7269\u7406\u6570\u636e\u5904\u7406\u57fa\u7840
\u53cd\u53d8\u6362\uff08IDFT\uff09\u4e3a
\u5730\u7403\u7269\u7406\u6570\u636e\u5904\u7406\u57fa\u7840
\u4e24\u8005\u7684\u5dee\u5f02\u53ea\u5728\u4e8eW\u7684\u6307\u6570\u7b26\u53f7\u4e0d\u540c\uff0c\u4ee5\u53ca\u5dee\u4e00\u4e2a\u5e38\u65701/N\uff0c\u56e0\u6b64\u4e0b\u9762\u6211\u4eec\u53ea\u8ba8\u8bbaDFT\u6b63\u53d8\u6362\u5f0f\uff088\uff0d5\uff09\u7684\u8fd0\u7b97\u91cf\uff0c\u5176\u53cd\u53d8\u6362\u5f0f\uff088\uff0d6\uff09\u7684\u8fd0\u7b97\u662f\u5b8c\u5168\u76f8\u540c\u7684\u3002
\u4e00\u822c\u6765\u8bf4\uff0cW\u662f\u590d\u6570\uff0c\u56e0\u6b64\uff0cX\uff08j\uff09\u4e5f\u662f\u590d\u6570\uff0c\u5bf9\u4e8e\u5f0f\uff088\uff0d5\uff09\u7684\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\uff08DFT\uff09\uff0c\u8ba1\u7b97\u4e00\u4e2aX\uff08j\uff09\u503c\u9700\u8981N\u6b21\u590d\u6570\u4e58\u6cd5\u548cN\uff0d1\u6b21\u590d\u6570\u52a0\u6cd5\u3002\u800cX\uff08j\uff09\u4e00\u5171\u6709N\u4e2a\u503c\uff08j\uff1d0\uff0c1\uff0c\u2026\uff0cN\uff0d1\uff09\uff0c\u6240\u4ee5\u5b8c\u6210\u6574\u4e2aDFT\u8fd0\u7b97\u603b\u5171\u9700\u8981N2\u6b21\u590d\u6570\u4e58\u6cd5\u548cN\uff08N\uff0d1\uff09\u6b21\u590d\u6570\u52a0\u6cd5\u3002
\u76f4\u63a5\u8ba1\u7b97DFT\uff0c\u4e58\u6cd5\u6b21\u6570\u548c\u52a0\u6cd5\u6b21\u6570\u90fd\u662f\u4e0eN2\u6210\u6b63\u6bd4\u7684\uff0c\u5f53N\u5f88\u5927\u65f6\uff0c\u8fd0\u7b97\u91cf\u4f1a\u5f88\u5927\uff0c\u4f8b\u5982\uff0c\u5f53N\uff1d8\u65f6\uff0cDFT\u970064\u6b21\u590d\u6570\u4e58\u6cd5\uff1b\u800c\u5f53N\uff1d1024\u65f6\uff0cDFT\u6240\u9700\u4e58\u6cd5\u4e3a1048576\u6b21\uff0c\u5373\u4e00\u767e\u591a\u4e07\u6b21\u7684\u590d\u6570\u4e58\u6cd5\u8fd0\u7b97\uff0c\u5bf9\u8fd0\u7b97\u901f\u5ea6\u8981\u6c42\u9ad8\u3002\u6240\u4ee5\u9700\u8981\u6539\u8fdbDFT\u7684\u8ba1\u7b97\u65b9\u6cd5\uff0c\u4ee5\u51cf\u5c11\u8fd0\u7b97\u6b21\u6570\u3002
\u5206\u6790Wjk\uff0c\u8868\u9762\u4e0a\u6709N2\u4e2a\u6570\u503c\uff0c\u7531\u4e8e\u5176\u5468\u671f\u6027\uff0c\u5b9e\u9645\u4e0a\u4ec5\u6709N\u4e2a\u4e0d\u540c\u7684\u503cW0\uff0cW1\uff0c\u2026\uff0cWN\uff0d1\u3002\u5bf9\u4e8eN\uff1d2m\u65f6\uff0c\u7531\u4e8e\u5176\u5bf9\u79f0\u6027\uff0c\u53ea\u6709N/2\u4e2a\u4e0d\u540c\u7684\u503cW0\uff0cW1\uff0c\u2026\uff0c
\u5730\u7403\u7269\u7406\u6570\u636e\u5904\u7406\u57fa\u7840
\u56e0\u6b64\u53ef\u4ee5\u628a\u957f\u5e8f\u5217\u7684DFT\u5206\u89e3\u4e3a\u77ed\u5e8f\u5217DFT\uff0c\u800c\u524d\u9762\u5df2\u7ecf\u5206\u6790DFT\u4e0eN2\u6210\u6b63\u6bd4\uff0c\u6240\u4ee5N\u8d8a\u5c0f\u8d8a\u6709\u5229\u3002\u540c\u65f6\uff0c\u5229\u7528ab\uff0bac\uff1da\uff08b\uff0bc\uff09\u7ed3\u5408\u5f8b\u6cd5\u5219\uff0c\u53ef\u4ee5\u5c06\u540c\u4e00\u4e2aWr\u5bf9\u5e94\u7684\u7cfb\u6570x\uff08k\uff09\u76f8\u52a0\u540e\u518d\u4e58\u4ee5Wr\uff0c\u5c31\u80fd\u5927\u5927\u51cf\u5c11\u8fd0\u7b97\u6b21\u6570\u3002\u8fd9\u5c31\u662f\u5feb\u901f\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\uff08FFT\uff09\u7684\u7b97\u6cd5\u601d\u8def\u3002
\u4e0b\u9762\uff0c\u6211\u4eec\u6765\u5206\u6790N\uff1d2m\u60c5\u51b5\u4e0b\u7684FFT\u7b97\u6cd5\u3002
1.N\uff1d4\u7684FFT\u7b97\u6cd5
\u5bf9\u4e8em\uff1d2\uff0cN\uff1d4\uff0c\u5f0f\uff088\uff0d5\uff09\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u4e3a
\u5730\u7403\u7269\u7406\u6570\u636e\u5904\u7406\u57fa\u7840
\u5c06\u5f0f\uff088\uff0d7\uff09\u5199\u6210\u77e9\u9635\u5f62\u5f0f
\u5730\u7403\u7269\u7406\u6570\u636e\u5904\u7406\u57fa\u7840
\u4e3a\u4e86\u4fbf\u4e8e\u5206\u6790\uff0c\u5c06\u4e0a\u5f0f\u4e2d\u7684j\uff0ck\u5199\u6210\u4e8c\u8fdb\u5236\u5f62\u5f0f\uff0c\u5373
\u5730\u7403\u7269\u7406\u6570\u636e\u5904\u7406\u57fa\u7840
\u4ee3\u5165\u5f0f\uff088\uff0d7\uff09\uff0c\u5f97
\u5730\u7403\u7269\u7406\u6570\u636e\u5904\u7406\u57fa\u7840
\u5206\u6790Wjk\u7684\u5468\u671f\u6027\u6765\u51cf\u5c11\u4e58\u6cd5\u6b21\u6570
\u5730\u7403\u7269\u7406\u6570\u636e\u5904\u7406\u57fa\u7840
\u5219 \u4ee3\u56de\u5f0f\uff088\uff0d9\uff09\uff0c\u6574\u7406\u5f97
\u5730\u7403\u7269\u7406\u6570\u636e\u5904\u7406\u57fa\u7840
\u4e0a\u5f0f\u53ef\u5206\u5c42\u8ba1\u7b97\uff0c\u5148\u8ba1\u7b97\u5185\u5c42\uff0c\u518d\u8ba1\u7b97\u5916\u5c42\u65f6\u5c31\u5229\u7528\u5185\u5c42\u8ba1\u7b97\u7684\u7ed3\u679c\uff0c\u53ef\u907f\u514d\u91cd\u590d\u8ba1\u7b97\u3002\u5199\u6210\u5206\u5c42\u5f62\u5f0f
\u5730\u7403\u7269\u7406\u6570\u636e\u5904\u7406\u57fa\u7840
\u5219X\uff08j1 j0\uff09\uff1dX2\uff08j1 j0\uff09\u3002
\u4e0a\u5f0f\u8868\u660e\u5bf9\u4e8eN\uff1d4\u7684FFT\uff0c\u5229\u7528Wr\u7684\u5468\u671f\u5173\u7cfb\u53ef\u5206\u4e3am\uff1d2\u6b65\u8ba1\u7b97\u3002\u5b9e\u9645\u4e0a\uff0c\u5229\u7528Wr\u7684\u5bf9\u79f0\u6027\uff0c\u4ecd\u53ef\u4ee5\u5bf9\u5f0f\uff088\uff0d11\uff09\u8fdb\u884c\u7b80\u5316\u8ba1\u7b97\u3002\u8003\u8651\u5230
\u5730\u7403\u7269\u7406\u6570\u636e\u5904\u7406\u57fa\u7840
\u5f0f\uff088\uff0d11\uff09\u53ef\u4ee5\u7b80\u5316\u4e3a
\u5730\u7403\u7269\u7406\u6570\u636e\u5904\u7406\u57fa\u7840
\u4ee4j\uff1dj0\uff1bk\uff1dk0\uff0c\u5e76\u628a\u4e0a\u5f0f\u8868\u793a\u4e3a\u5341\u8fdb\u5236\uff0c\u5f97
\u5730\u7403\u7269\u7406\u6570\u636e\u5904\u7406\u57fa\u7840
\u53ef\u4ee5\u770b\u5230\uff0c\u5b8c\u6210\u4e0a\u5f0fN\uff1d4\u7684FFT\u8ba1\u7b97\uff08\u88688\uff0d1\uff09\u9700\u8981N\u00b7\uff08m\uff0d1\uff09/2\uff1d2\u6b21\u590d\u6570\u4e58\u6cd5\u548cN\u00b7m\uff1d8\u6b21\u590d\u6570\u52a0\u6cd5\uff0c\u6bd4N\uff1d4\u7684DFT\u7b97\u6cd5\u7684N2\uff1d16\u6b21\u590d\u6570\u4e58\u6cd5\u548cN\u00b7\uff08N\uff0d1\uff09\uff1d12\u6b21\u590d\u6570\u52a0\u6cd5\u8981\u5c11\u5f97\u591a\u3002
\u88688\uff0d1 N\uff1d4\u7684FFT\u7b97\u6cd5\u8ba1\u7b97\u8fc7\u7a0b
\u6ce8\uff1aW0\uff1d1\uff1bW1\uff1d\uff0di\u3002
\uff3b\u4f8b1\uff3d\u6c42N\uff1d4\u6837\u672c\u5e8f\u52171\uff0c3\uff0c3\uff0c1\u7684\u9891\u8c31\uff08\u88688\uff0d2\uff09\u3002
\u88688\uff0d2 N\uff1d4\u6837\u672c\u5e8f\u5217
2.N\uff1d8\u7684FFT\u7b97\u6cd5
\u7c7b\u4f3cN\uff1d4\u7684\u60c5\u51b5\uff0c\u7528\u4e8c\u8fdb\u5236\u5f62\u5f0f\u8868\u793a\uff0c\u6709
\u5730\u7403\u7269\u7406\u6570\u636e\u5904\u7406\u57fa\u7840
\u5199\u6210\u5206\u5c42\u8ba1\u7b97\u7684\u5f62\u5f0f\uff1a
\u5730\u7403\u7269\u7406\u6570\u636e\u5904\u7406\u57fa\u7840
\u5219X\uff08j2 j1 j0\uff09\uff1dX3\uff08j2 j1 j0\uff09\u3002
\u5bf9\u5f0f\uff088\uff0d14\uff09\u7684X1\uff08k1 k0 j0\uff09\u8fdb\u884c\u5c55\u5f00\uff0c\u6709
\u5730\u7403\u7269\u7406\u6570\u636e\u5904\u7406\u57fa\u7840
\u8fd8\u539f\u6210\u5341\u8fdb\u5236\uff0c\u5e76\u4ee4k\uff1d2k1\uff0bk0\uff0c\u5373k\uff1d0\uff0c1\uff0c2\uff0c3\uff0c\u6709
\u5730\u7403\u7269\u7406\u6570\u636e\u5904\u7406\u57fa\u7840
\u7528\u7c7b\u4f3c\u7684\u65b9\u6cd5\u5bf9\u5f0f\uff088\uff0d14\uff09\u7684X2\uff08k0 j1 j0\uff09\uff0cX3\uff08j2 j1 j0\uff09\u8fdb\u884c\u5c55\u5f00\uff0c\u6574\u7406\u5f97
\u5730\u7403\u7269\u7406\u6570\u636e\u5904\u7406\u57fa\u7840
\u7528\u5f0f\uff088\uff0d16\uff09\u3001\u5f0f\uff088\uff0d17\uff09\u9010\u6b21\u8ba1\u7b97\u5230X3\uff08j\uff09\uff1dX\uff08j\uff09\uff08j\uff1d0\uff0c1\uff0c\u2026\uff0c7\uff09\uff0c\u5373\u5b8c\u6210N\uff1d23\uff1d8\u7684FFT\u8ba1\u7b97\uff0c\u5176\u8be6\u7ec6\u8fc7\u7a0b\u89c1\u88688\uff0d3\u3002
\u88688\uff0d3 N\uff1d8\u7684FFT\u7b97\u6cd5\u8ba1\u7b97\u8fc7\u7a0b
\u6ce8\uff1a\u5bf9\u4e8e\u6b63\u53d8\u6362 \u5bf9\u4e8e\u53cd\u53d8\u6362 \u6240
\uff3b\u4f8b2\uff3d\u6c42N\uff1d8\u6837\u672c\u5e8f\u5217\uff08\u88688\uff0d4\uff09x\uff08k\uff09\uff1d1\uff0c2\uff0c1\uff0c1\uff0c3\uff0c2\uff0c1\uff0c2\u7684\u9891\u8c31\u3002
\u88688\uff0d4 N\uff1d8\u6837\u672c\u5e8f\u5217
3.\u4efb\u610fN\uff1d2m\u7684FFT\u7b97\u6cd5
\u5217\u51faN\uff1d4\uff0cN\uff1d8\u7684FFT\u8ba1\u7b97\u516c\u5f0f\uff0c\u8fdb\u884c\u5bf9\u6bd4
\u5730\u7403\u7269\u7406\u6570\u636e\u5904\u7406\u57fa\u7840
\u89c2\u5bdf\u5f0f\uff088\uff0d18\uff09\u3001\u5f0f\uff088\uff0d19\uff09\uff0c\u4e0d\u96be\u770b\u51fa\uff0c\u9075\u5faa\u5982\u4e0b\u89c4\u5f8b\uff1a
\uff081\uff09\u7b49\u5f0f\u5de6\u8fb9\u7684\u4e0b\u6807\u75311\u9012\u589e\u5230m\uff0c\u53ef\u7528q\uff1d1\uff0c2\uff0c\u2026\uff0cm\u4ee3\u66ff\uff0c\u5219\u7b49\u5f0f\u53f3\u8fb9\u4e3aq\uff0d1\uff1b
\uff082\uff09k\u7684\u4e0a\u9650\u4e3a\u5947\u6570\u4e14\u968fq\u7684\u589e\u5927\u800c\u51cf\u5c0f\uff0c\u81f3q\uff1dm\u65f6\u4e3a0\uff0c\u6240\u4ee5\u5176\u53d6\u503c\u8303\u56f4\u4e3ak\uff1d0\uff0c1\uff0c2\uff0c\u2026\uff0c\uff082m\uff0dq\uff0d1\uff09\uff1b
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\uff084\uff09k\u7684\u7cfb\u6570\uff0c\u5728\u7b49\u5f0f\u5de6\u8fb9\u4e3a2q\uff0c\u7b49\u5f0f\u53f3\u8fb9\u4e3a2q\uff0d1\uff08\u5305\u62ecW\u7684\u5e42\u6307\u6570\uff09\uff1b
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通过前面的分析，我们认识到傅里叶变换本身是复数运算，地球物理获取的数据大多数是实数，对于实数的变换原则上可直接套用复序列的FFT算法，但那样是把实数序列当作虚部为零的复数对待，显然需要存储虚部的零并进行无功的运算，既浪费了一倍的计算内存，又降低了约一半的运算速度。
为了不浪费不可不设的虚部内存和必然出现的复数运算，可否将一个实序列分为两个子实序列，分别作为实部与虚部构成一个复数序列，然后用复序列的FFT算法求其频谱，对合成的复序列频谱进行分离和加工得到原实序列的频谱呢？答案是肯定的，实现这一过程思路就是实序列FFT算法的基本思想。
1.实序列的傅里叶变换性质
对于一个N个样本的实序列x（k），其频谱为X（j），用Xr（j）和Xi（j）表示X（j）的实部和虚部， 表示X（j）的共轭，则
证明：已知 则
地球物理数据处理基础
上式两端取共轭，并注意到x（k）是实序列，则
地球物理数据处理基础
这就是实序列的傅里叶变换具有复共轭性。
其同样具有周期性，即
地球物理数据处理基础
2.一维实序列的FFT算法
（1）同时计算两个实序列的FFT算法
已知两个实序列h（k），g（k）（k＝0，1，…，N－1），例如重磁异常平面数据中的两条剖面，或地震勘探中的两道地震记录，可以人为地构成一个复序列：
地球物理数据处理基础
设h（k）的频谱为H（j）＝Hr（j）＋iHi（j）
g（k）的频谱为G（j）＝Gr（j）＋iGi（j）
y（k）的频谱为Y（j）＝Yr（j）＋i Yi（j）
利用上节的复序列FFT算法，求得Y（j），即Yr（j）和Yi（j）已知，来寻找Hr（j），Hi（j），Gr（j），Gi（j）与Yr（j），Yi（j）之间的关系。
对式（8－22）作傅里叶变换：
地球物理数据处理基础
由于H（j），G（j）本身是复序列，所以不能仅从上式分离出H（j）和G（j）。应用Y（j）的周期性，容易得到
Y（N－j）＝H（－j）＋iG（－j）
上式取共轭：
地球物理数据处理基础
由于h（k），g（k）为实序列，对上式右端应用复共轭定理，得
地球物理数据处理基础
对式（8－23）展开，得
地球物理数据处理基础
对式（8－24）展开，并应用共轭关系，得
地球物理数据处理基础
把式（8－25）和式（8－26）与Y（j）＝Yr（j）＋iYi（j）进行对比，有
地球物理数据处理基础
整理得
地球物理数据处理基础
因此，对于两个实序列，通过构造一个复序列，应用复序列的FFT算法和式（8－28）的分离加工，即可得到两个实序列的频谱。
（2）计算2 N个数据点的实序列FFT算法
设有2N点的实序列u（k）（k＝0，1，…，2N－1），首先按k的偶、奇分成两个子实序列，并构成复序列，即
地球物理数据处理基础
通过调用复序列FFT算法，求得y（k）的频谱为Y（j）。另记h（k），g（k）的频谱为H（j）和G（j）。
利用前面式（8－23）和式（8－24），容易求得
地球物理数据处理基础
下面分析用H（j），G（j）形成u（k）频谱的问题。记u（k）（k＝0，1，…，2 N－1）的频谱为V（j），分析V（j），H（j），G（j）之间的关系，根据定义
地球物理数据处理基础
利用式（8－31）和式（8－34）可换算出u（k）的前N个频谱V（j）（j＝0，1，…，N－1），还要设法求u（k）的后N个频谱V（N＋j）（j＝0，1，…，N－1）。利用实序列其频谱的复共轭和周期性：
（1）H（N）＝H（0），G（N）＝G（0），WN1＝－1，得
地球物理数据处理基础
（2）由于u（k）（k＝0，1，…，2N－1）是实序列，同样利用实序列其频谱的复共轭和周期性，用已求出的前N个频谱V（j）表示出后面的N－1个频谱V（N＋j）：
地球物理数据处理基础
由于0<2N－j<N，所以可从V（j）（j＝0，1，…，N－1）中选出V（2N－j）（j＝N＋1，N＋2，…，2 N－1），并直接取其共轭 即可得到V（N＋1）～V（2 N－1），从而完成整个实序列频谱的计算。
总结以上叙述，一维实序列u（k）（k＝0，1，…，2N－1）的FFT计算编程步骤如下：
（1）按偶、奇拆分实序列u（k），并构造复序列：
地球物理数据处理基础
（2）调用复序列的FFT计算y（k）的频谱Y（j）（j＝0，1，…，N－1）；
（3）用下式计算形成h（k），g（k）的频谱H（j）和G（j）；
地球物理数据处理基础
（4）用下式换算实序列u（k）的频谱V（j）（j＝0，1，…，2 N－1）：
地球物理数据处理基础
［例3］求实序列样本u（k）＝｛1，2，1，1，3，2，1，2｝（k＝0，1，…，7）的频谱。
解：按偶、奇拆分实序列u（k），按式（8－37）构造复序列c（j）（j＝0，1，2，3），即
c（0）＝1＋2i； c（1）＝1＋i； c（2）＝3＋2i； c（3）＝1＋2i。
（1）调用复序列FFT求c（j）（j＝0，1，2，3）的频谱Z（k）（k＝0，1，2，3），得
Z（0）＝6＋7i； Z（1）＝－3； Z（2）＝2＋i； Z（3）＝－1。
地球物理数据处理基础
（3）运用公式（8－38）计算H（j），G（j）：
地球物理数据处理基础
（4）根据式（8－39）求出u（k）（k＝0，1，…，7）的8个频谱V（j）（j＝0，1，…，7）：
地球物理数据处理基础
地球物理数据处理基础
由上例可见，完成全部2 N个实序列频谱的计算只需做N次FFT计算，相比直接用复序列的FFT算法节省了约一半的计算量。
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