如何理解和掌握快速傅里叶变换的计算和概念 快速傅里叶变换和离散傅里叶变换的主要区别是什么？哪个准确？

\u5982\u4f55\u7406\u89e3\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u516c\u5f0f

1\u3001\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u516c\u5f0f

\u516c\u5f0f\u63cf\u8ff0\uff1a\u516c\u5f0f\u4e2dF(\u03c9)\u4e3af(t)\u7684\u50cf\u51fd\u6570\uff0cf(t)\u4e3aF(\u03c9)\u7684\u50cf\u539f\u51fd\u6570\u3002
2\u3001\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\uff0c\u8868\u793a\u80fd\u5c06\u6ee1\u8db3\u4e00\u5b9a\u6761\u4ef6\u7684\u67d0\u4e2a\u51fd\u6570\u8868\u793a\u6210\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\uff08\u6b63\u5f26\u548c/\u6216\u4f59\u5f26\u51fd\u6570\uff09\u6216\u8005\u5b83\u4eec\u7684\u79ef\u5206\u7684\u7ebf\u6027\u7ec4\u5408\u3002\u5728\u4e0d\u540c\u7684\u7814\u7a76\u9886\u57df\uff0c\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\u5177\u6709\u591a\u79cd\u4e0d\u540c\u7684\u53d8\u4f53\u5f62\u5f0f\uff0c\u5982\u8fde\u7eed\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\u548c\u79bb\u6563\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\u3002\u6700\u521d\u5085\u7acb\u53f6\u5206\u6790\u662f\u4f5c\u4e3a\u70ed\u8fc7\u7a0b\u7684\u89e3\u6790\u5206\u6790\u7684\u5de5\u5177\u88ab\u63d0\u51fa\u7684\u3002
3\u3001\u76f8\u5173
\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u5c5e\u4e8e\u8c10\u6ce2\u5206\u6790\u3002
\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u7684\u9006\u53d8\u6362\u5bb9\u6613\u6c42\u51fa\uff0c\u800c\u4e14\u5f62\u5f0f\u4e0e\u6b63\u53d8\u6362\u975e\u5e38\u7c7b\u4f3c;
\u6b63\u5f26\u57fa\u51fd\u6570\u662f\u5fae\u5206\u8fd0\u7b97\u7684\u672c\u5f81\u51fd\u6570\uff0c\u4ece\u800c\u4f7f\u5f97\u7ebf\u6027\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u89e3\u53ef\u4ee5\u8f6c\u5316\u4e3a\u5e38\u7cfb\u6570\u7684\u4ee3\u6570\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u89e3.\u5728\u7ebf\u6027\u65f6\u4e0d\u53d8\u7684\u7269\u7406\u7cfb\u7edf\u5185\uff0c\u9891\u7387\u662f\u4e2a\u4e0d\u53d8\u7684\u6027\u8d28\uff0c\u4ece\u800c\u7cfb\u7edf\u5bf9\u4e8e\u590d\u6742\u6fc0\u52b1\u7684\u54cd\u5e94\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u7ec4\u5408\u5176\u5bf9\u4e0d\u540c\u9891\u7387\u6b63\u5f26\u4fe1\u53f7\u7684\u54cd\u5e94\u6765\u83b7\u53d6\uff1b
\u5377\u79ef\u5b9a\u7406\u6307\u51fa\uff1a\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u53ef\u4ee5\u5316\u590d\u6742\u7684\u5377\u79ef\u8fd0\u7b97\u4e3a\u7b80\u5355\u7684\u4e58\u79ef\u8fd0\u7b97\uff0c\u4ece\u800c\u63d0\u4f9b\u4e86\u8ba1\u7b97\u5377\u79ef\u7684\u4e00\u79cd\u7b80\u5355\u624b\u6bb5\uff1b
\u79bb\u6563\u5f62\u5f0f\u7684\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\u53ef\u4ee5\u5229\u7528\u6570\u5b57\u8ba1\u7b97\u673a\u5feb\u901f\u5730\u7b97\u51fa\uff08\u5176\u7b97\u6cd5\u79f0\u4e3a\u5feb\u901f\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u7b97\u6cd5\uff08FFT))\u3002

\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u6839\u636e\u539f\u4fe1\u53f7\u7684\u4e0d\u540c\u7c7b\u578b\uff0c\u53ef\u4ee5\u628a\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u5206\u4e3a\u56db\u79cd\u7c7b\u522b\uff1a
1\u3001\u975e\u5468\u671f\u6027\u8fde\u7eed\u4fe1\u53f7\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\uff08Fourier Transform\uff09
2\u3001\u5468\u671f\u6027\u8fde\u7eed\u4fe1\u53f7\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570(Fourier Series)
3\u3001\u975e\u5468\u671f\u6027\u79bb\u6563\u4fe1\u53f7\u79bb\u6563\u65f6\u57df\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\uff08Discrete Time Fourier Transform\uff09
4\u3001\u5468\u671f\u6027\u79bb\u6563\u4fe1\u53f7\u79bb\u6563\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362(Discrete Fourier Transform)

FFT(Fast Fourier Transformation)\uff0c\u5373\u4e3a\u5feb\u901f\u5085\u6c0f\u53d8\u6362\uff0c\u662f\u79bb\u6563\u5085\u6c0f\u53d8\u6362\u7684\u5feb\u901f\u7b97\u6cd5\uff0c\u5b83\u662f\u6839\u636e\u79bb\u6563\u5085\u6c0f\u53d8\u6362\u7684\u5947\u3001\u5076\u3001\u865a\u3001\u5b9e\u7b49\u7279\u6027\uff0c\u5bf9\u79bb\u6563\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\u7684\u7b97\u6cd5\u8fdb\u884c\u6539\u8fdb\u83b7\u5f97\u7684\u3002\u5b83\u5bf9\u5085\u6c0f\u53d8\u6362\u7684\u7406\u8bba\u5e76\u6ca1\u6709\u65b0\u7684 \u53d1\u73b0\uff0c\u4f46\u662f\u5bf9\u4e8e\u5728\u8ba1\u7b97\u673a\u7cfb\u7edf\u6216\u8005\u8bf4\u6570\u5b57\u7cfb\u7edf\u4e2d\u5e94\u7528\u79bb\u6563\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\uff0c\u53ef\u4ee5\u8bf4\u662f\u8fdb\u4e86\u4e00\u5927\u6b65\u3002
FFT\u63d0\u9ad8\u4e86\u8fd0\u7b97\u901f\u5ea6\uff0c\u4f46\u662f\uff0c\u4e5f\u5bf9\u53c2\u4e0e\u8fd0\u7b97\u7684\u6837\u672c\u5e8f\u5217\u4f5c\u51fa\u4e86\u9650\u5236\uff0c\u5373\u8981\u6c42\u6837\u672c\u6570\u4e3a2^N\u70b9\u3002\u79bb\u6563\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362DFT\u5219\u65e0\u4e0a\u8ff0\u9650\u5236\u3002
\u5c0f\u7ed3:FFT\u5feb\uff0cDFT\u7075\u6d3b\uff0c\u5404\u6709\u4f18\u70b9\uff0c\u5982\u679c\u6ee1\u8db3\u5206\u6790\u8981\u6c42\uff0c\u4e24\u8005\u51c6\u786e\u5ea6\u76f8\u540c\u3002
\u5feb\u901f\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362 (fast Fourier transform), \u5373\u5229\u7528\u8ba1\u7b97\u673a\u8ba1\u7b97\u79bb\u6563\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362(DFT)\u7684\u9ad8\u6548\u3001\u5feb\u901f\u8ba1\u7b97\u65b9\u6cd5\u7684\u7edf\u79f0\uff0c\u7b80\u79f0FFT\u3002\u5feb\u901f\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u662f1965\u5e74\u7531J.W.\u5e93\u5229\u548cT.W.\u56fe\u57fa\u63d0\u51fa\u7684\u3002
\u91c7\u7528\u8fd9\u79cd\u7b97\u6cd5\u80fd\u4f7f\u8ba1\u7b97\u673a\u8ba1\u7b97\u79bb\u6563\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u6240\u9700\u8981\u7684\u4e58\u6cd5\u6b21\u6570\u5927\u4e3a\u51cf\u5c11\uff0c\u7279\u522b\u662f\u88ab\u53d8\u6362\u7684\u62bd\u6837\u70b9\u6570N\u8d8a\u591a\uff0cFFT\u7b97\u6cd5\u8ba1\u7b97\u91cf\u7684\u8282\u7701\u5c31\u8d8a\u663e\u8457\u3002
\u79bb\u6563\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362(DFT)\uff0c\u662f\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u5728\u65f6\u57df\u548c\u9891\u57df\u4e0a\u90fd\u5448\u73b0\u79bb\u6563\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u5c06\u65f6\u57df\u4fe1\u53f7\u7684\u91c7\u6837\u53d8\u6362\u4e3a\u5728\u79bb\u6563\u65f6\u95f4\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362(DTFT)\u9891\u57df\u7684\u91c7\u6837\u3002
\u5728\u5f62\u5f0f\u4e0a\uff0c\u53d8\u6362\u4e24\u7aef(\u65f6\u57df\u548c\u9891\u57df\u4e0a)\u7684\u5e8f\u5217\u662f\u6709\u9650\u957f\u7684\uff0c\u800c\u5b9e\u9645\u4e0a\u8fd9\u4e24\u7ec4\u5e8f\u5217\u90fd\u5e94\u5f53\u88ab\u8ba4\u4e3a\u662f\u79bb\u6563\u5468\u671f\u4fe1\u53f7\u7684\u4e3b\u503c\u5e8f\u5217\u3002\u5373\u4f7f\u5bf9\u6709\u9650\u957f\u7684\u79bb\u6563\u4fe1\u53f7\u4f5cDFT\uff0c\u4e5f\u5e94\u5f53\u5c06\u5176\u770b\u4f5c\u7ecf\u8fc7\u5468\u671f\u5ef6\u62d3\u6210\u4e3a\u5468\u671f\u4fe1\u53f7\u518d\u4f5c\u53d8\u6362\u3002\u5728\u5b9e\u9645\u5e94\u7528\u4e2d\u901a\u5e38\u91c7\u7528\u5feb\u901f\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u4ee5\u9ad8\u6548\u8ba1\u7b97DFT\u3002

MATLAB傅里叶变换：　　傅立叶变换的分类：傅立叶级数：将周期性连续函数变换为离散频率点上的函数（连续）傅立叶变换：将连续函数变换为连续频率的函数离散时间傅立叶变换：将离散函数变换为连续频率的函数离散傅立叶变换：将有限长离散函数变换为离散频率点上的函数其中FFT是离散傅立叶变换的快速计算方法，适用于离散信号，并且注意变换后的点数与信号的采样点数一致。尽管可以将信号补0，但补0不能提高频域的分辨率。matlab中提供了函数fft做一维的FFT。　　时域谱和频域谱是相互对应；时域的信号长度，决定频域的采样间隔，它们成导数关系；　　时域中信号有N点，每点间隔dt，所以时域信号长度为N*dt；那么频谱每点的间隔就是1/(N*dt)。　　傅立叶变换结果和原来信号有相同的点数，所以m=N，又第一点一定对应0频率，所以频域信号的很坐标就是(0:m-1)/(N*dt)，这句就是根据这个很坐标和频谱c，画出频谱plot((0:m-1)/(N*dt),c），所以在频谱图上，可以根据峰值的位置的横坐标读出对应的频率。clearall;N=256;dt=0.02;n=0:N-1;t=n*dt;x=sin(2*pi*t);m=N;a=zeros(1,m);b=zeros(1,m);fork=0:m-1 forii=0:N-1 a(k+1)=a(k+1)+2/N*x(ii+1)*cos(2*pi*k*ii/N); b(k+1)=b(k+1)+2/N*x(ii+1)*sin(2*pi*k*ii/N); endc(k+1)=sqrt(a(k+1)^2+b(k+1)^2);endsubplot(211);plot(t,x);title('原始信号'),xlabel('时间/t');f=(0:m-1)/(N*dt);subplot(212);plot(f,c);holdontitle('Fourier');xlabel('频率/HZ');ylabel('振幅');ind=find(c==max(c),1,'first');%寻找最到值的位置x0=f(ind);%根据位置得到横坐标（频率）y0=c(ind);%根据位置得到纵坐标（幅度）plot(x0,y0,'ro');holdofftext(x0+1,y0-0.1,num2str(x0,'频率=%f'));

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