彻底搞懂快速傅里叶变换FFT--旋转因子
深入理解快速傅里叶变换FFT：旋转因子的秘密
在探索FFT的奇妙世界中，蝴蝶操作如蝴蝶般翩翩起舞，实现了“分而治之”的高效计算策略。然而，它所带来的信号相位变化，就像一场精心编排的舞蹈，需要通过“旋转因子”来保持整体结果的和谐。今天，我们将揭开旋转因子的神秘面纱，它是如何在FFT的舞蹈中扮演关键角色的。
在计算的下一章中，16个样本点的FFT如同一幅宏大的拼图，每个阶段都精心构建。我们已经完成了DIVIDE和CONQUER，接下来是COMBINE，将小块拼接成更大的整体。以4个点为例，从0到3的频率测试，实际上是对0、2和1、3这两个对称频率的计算，因为余弦函数的周期性保证了这两个频率的分量是相同的。
要计算0和8、4和12的组合频率，我们先对a2进行了相位变换。为了恢复原始信号的分量，我们引入了旋转因子W40，它就像一个魔术师，将相位移动后的信号重新定位到正确的位置。通过乘以W40，我们得到b0，它是4点信号在频率为0时DFT的完整结果。同样，b1、b2和b3也遵循同样的步骤。
旋转因子：信号的隐形舞者
旋转因子，也被称为相位因子，每个因子都有一个独特的标识：大写字母W，下标表示蝴蝶操作中的点数，上标则是其索引。在4点蝴蝶操作中，仅需要对第三个和第四个输入应用旋转因子，因为它们是经过平移的样本。索引总是阶数的一半，这是由样本对的计算顺序所决定的。
旋转因子不仅是一种转换，更是信号在变换过程中的桥梁。它以复数的形式存在，确保在蝴蝶操作的旅程中，信号的原始信息得以保持。我们用W乘以信号，就像给它穿上隐形的舞鞋，使它在复杂的数学舞蹈中保持平衡。
验证旋转因子的力量：从b0到b1
在实际计算中，b0和b1与蝴蝶操作的预期结果一致。当我们遇到旋转因子为-i时，这标志着原始信号需要向右平移。这是旋转因子如何巧妙地调整信号的实例，确保每次变换都能无缝对接。
旋转因子不仅是信号的调色师，还是时间轴上的移动者。通过-i，我们实际上将信号向左移动了π/2个单位，然后通过蝴蝶操作，再乘以W40，信号又回到了原来的路径。
至此，我们已经掌握了蝴蝶操作和旋转因子的协作艺术。然而，FFT的完整故事并未结束，下一篇文章将揭示如何将这些元素扩展到整个信号，以及FFT输出的最终奥秘。让我们一起期待，下一次的FFT旅程吧！
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