按定义证明下述数列为无穷大量{n - arctan n } 按定义证明通项为下列式子数列为无穷大：
\u6309\u5b9a\u4e49\u8bc1\u660e\u4e0b\u8ff0\u6570\u5217\u4e3a\u65e0\u7a77\u5927\u91cf\u6570\u5b66\u5206\u6790\u3001\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u7b2c\u4e8c\u7ae0\uff0810\uff09\u65e0\u7a77\u5c0f\u548c\u65e0\u7a77\u5927\u6570\u5217\u6982\u5ff5\uff0c\u6570\u5217\u6781\u9650\u4e2d\u51e0\u4e2a\u5e94\u8bb0\u4f4f\u7684\u7ed3\u679c
1/3+1/4 >= 1/4+1/4 = 1/2
1/5+1/6+1/7+1/8 >= 1/8+1/8+1/8+1/8 = 1/2
1/9+...+1/16 >= 1/16+...+1/16 = 1/2
......
一 数列极限的定义
1 数列的定义
定义：若函数的定义域为全体正整数集合，则称为数列。
注：记，则数列就可写作为：，简记为。
2 数列的例子
（1）；（2）（3）
2、什么是数列极限
1．引言
容易看出，数列的通项随着的无限增大而无限地接近于零。
一般地说，对于数列，若当无限增大时，能无限地接近某一个常数，则称此数列为收敛数列，常数称为它的极限。不具有这种特性的数列就称为发散数列。
据此可以说，数列是收敛数列，0是它的极限。
数列都是发散的数列。
需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。
以为例，可观察出该数列具以下特性：
随着n的无限增大，无限地接近于1随着n的无限增大，与1的距离无限减少随着n的无限增大，无限减少会任意小，只要n充分大。
如：要使，只要即可；
要使，只要即可；
任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项，从该项之后，。即，当时，。
如何找N？（或N存在吗？）解上面的数学式子即得：，取即可。这样当时，。
综上所述，数列的通项随的无限增大，无限接近于1，即是对任意给定正数，总存在正整数N，当时，有。此即以1为极限的精确定义，记作或。
2.数列极限的定义
定义1 设为数列,a为实数,若对任给的正数,总存在正整数,使得当时有, 则称数列收敛于a, a称为数列的极限, 并记作或.
若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列。
[问题]：如何表述没有极限？
3。举例说明如何用定义来验证数列极限
例： 证明.
例： 证明.
例：证明 .
例：证明 .
例：证明 ，其中.
4 关于数列的极限的定义的几点说明
（1） 关于：① 的任意性；②的暂时固定性；③的多值性；④正由于是任意小正数，我们可以限定小于一个确定的正数。
（2） 关于N：① 相应性；②N多值性。
（3） 数列极限的几何理解： “当时有” 所有下标大于N的项都落在邻域内；而在之外，数列中的项至多只有N个（有限个）。
（4） 数列极限的等价定义（邻域定义）：
定义 任给，若在之外数列中的项只有有限个，则称数列收敛于极限a.
由此可见：数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关。所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响。
例：证明都是发散数列。
二 无穷小数列
在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：
定义2 若，则称为无穷小数列。
如都是无穷小数列。
数列收敛于a的充要条件：
定理1 数列收敛于的充要条件是为无穷小数列。
三 收敛数列的性质
性质1（保不等式性）设数列与均收敛，若存在正数，使得当时有，则。
性质2（保号性） 若（或），则对任何（或），存在正数N，使得当时有（或）。
性质3（极限唯一性） 若数列收敛，则它只有一个极限。
性质4（迫敛性） 设收敛数列、都以a为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且.
注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。
例： 求数列的极限。
性质5（有界性）若数列收敛，则为有界数列。
注：数列收敛则必有界，反之未必。例如数列有界，但它不收敛。
四 数列极限的运算
性质6（极限的四则运算法则） 若、为收敛数列，则也都收敛，且有
;
.
若再做假设及，则数列也收敛，且有
.
在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。
例： 求，其中.
例： 求。
五 单调有界数列
在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两基本问题。下面将重点讨论极限的存在性问题。
定义 若数列的各项满足不等式，则称为递增（递减）数列。递增和递减数列统称为单调数列．
例如：为递减数列；为递增数列。
定理（单调有界定理） 在实数系中，有界且单调数列必有极限。
例：设其中，证明数列收敛。
例：证明下列数列收敛，并求其极限：
例：证明存在。
六 无穷大量的定义
定义：设是一个数列。若
按定义证明下述数列为无穷大量{n - arctan n }（当n趋向于无穷大时）。
以上证明都没有按定义来证明！
按数列极限的定义严格证明如下：
任意的M>0，对于不等式|n - arctan n|>|n|-|arctan n|>n - pi/2>M 或n>M+pi/2,取N=[M+pi/2],则当任意的n>N时，都有不等式|n - arctan n|>M 成立。
这就证明了当n趋向于无穷大时，数列{n - arctan n}为无穷大量。
你也许看得不大明白，不过按定义证明就这么抽象。
此证明保证绝对正确，我可是数学专业的研究生。
最简单的方法是反用洛必达法则，证明它和X是等阶无穷大。lim(x-无穷)X - arctanX/X=1-1/1+X平方=1，所以为无穷大量。
按定义，既存在U（空心临域）（无穷，&）,只要X属于U，对任意M，便有f(x)>M.所以，！x-arctanx-n+arctann!<1(&=1).x-arctanx>n-arctann-1.因为arctanx的值域为[-圆周率/2，圆周率/2]。所以n-arctann-1>n-圆周率/2，令M=n-圆周率/2，所以得证。你把里面所有n换成x0.我打的实在太费劲了。
楼下yaozai_321剽窃，不过反用洛必达法则这种方法有争议。
完了,我的高数没前途了,总是想到一些巨S....的方法,因为limit(n-无穷)N=正无穷,limit(N-无穷)arctan n=派/2,所以limit(n-无穷)n - arctan n =无穷.
看不懂别怪我,在电脑上打数学式子真不是人干的活
lim(x-无穷)X - arctanX/X=1-1/1+X平方=1
绛旓細瀹氫箟锛氳嫢鍑芥暟鐨勫畾涔夊煙涓哄叏浣撴鏁存暟闆嗗悎锛屽垯绉颁负鏁板垪銆傛敞锛氳锛屽垯鏁板垪灏卞彲鍐欎綔涓猴細锛岀畝璁颁负銆2 鏁板垪鐨勪緥瀛 锛1锛夛紱锛2锛夛紙3锛2銆佷粈涔堟槸鏁板垪鏋侀檺 1锛庡紩瑷 瀹规槗鐪嬪嚭锛屾暟鍒楃殑閫氶」闅忕潃鐨鏃犻檺澧炲ぇ鑰屾棤闄愬湴鎺ヨ繎浜庨浂銆備竴鑸湴璇达紝瀵逛簬鏁板垪锛岃嫢褰撴棤闄愬澶ф椂锛岃兘鏃犻檺鍦版帴杩戞煇涓涓父鏁帮紝鍒欑О姝鏁板垪涓鏀舵暃鏁板垪...
绛旓細鏍瑰彿n+1鈮ゆ牴鍙2n 1/鏍瑰彿n+1锛夆墺1/鏍瑰彿2n 1/鏍瑰彿n+1锛+1/鏍瑰彿*n+2+...+1/鏍瑰彿2n鈮1/鏍瑰彿2n+1/鏍瑰彿2n+1/鏍瑰彿2n+...+1/鏍瑰彿2n =n/鏍瑰彿2n=鏍瑰彿锛坣/2锛 瓒嬩簬鏃犵┓ 鍓嶉潰閭ｄ釜涓鐪煎氨鑳界湅鍑烘潵锛岃嚜宸辨參鎱㈡兂鍚э紝杩欐牱鐙珛鎯冲嚭鏉ョ殑鏇存湁鍚彂 ...
绛旓細瀵逛换鎰忔鏁 K ,鍙 N = [e^K ]+1 ,鍒欏綋 n > N 鏃,鏈 lnn > lnN > K ,鎵浠鏁板垪锝沴nn锝濇槸鏃犵┓澶ч噺.
绛旓細瀵逛换鎰忔鏁 K 锛屽彇 N = [e^K ]+1 锛屽垯褰 n > N 鏃讹紝鏈 lnn > lnN > K 锛屾墍浠鏁板垪锝沴nn锝濇槸鏃犵┓澶ч噺銆
绛旓細ln2n>M,2n>e^M ,n>e^M/2 瀵逛换鎰廙>0.鍙朜=[e^M/2],褰搉>N鏃,鏈夛細ln2n>M,鏁卨n 2n鏁板垪涓烘棤绌峰ぇ閲
绛旓細楂樻暟鏃犵┓澶ф棤绌峰皬璇佹槑棰,鍦ㄧ嚎绛,鎬 (1)璇佹槑鏁板垪{(2n^3-5n+1)/(5n^2-4n-4)涓烘棤绌峰ぇ閲(2)璇佹槑鏁板垪{[n+(-1)^n]/(n^2-1)}涓烘棤绌峰皬閲(3)璇佹槑鏁板垪{(n^2+1)/(2n+1)}... (1)璇佹槑鏁板垪{(2n^3-5n+1)/(5n^2-4n-4)涓烘棤绌峰ぇ閲(2)璇佹槑鏁板垪{[n+(-1)^n]/(n^2-1)}涓烘棤绌峰皬閲(3)...
绛旓細閫氶」 1/k=(1/k)lne=(1/k){ln[(1+1/n)^n]}(n->+鈭)>(1/k)[ln(1+1/k)^k]=ln(k+1)-lnk 鈭 1+1/2+1/3+...+1/n>ln2-ln1+ln3-ln2+ln4-ln3+鈥︹+ln(n+1)-ln(n)=ln(n+1)=+鈭烇紙n->+鈭)鈭1+1/2+1/3+...+1/n鏄棤绌峰ぇ閲 ...
绛旓細S(n)=1/1+1/2+1/3+...+1/n 杩欎釜鏁板垪鏄娌℃湁鏋侀檺鐨.涔熷氨鏄,杩欎釜绾ф暟鏄彂鏁ｇ殑,鑰屼笉鏄敹鏁涚殑.涓嬮潰璇佹槑S(n)鍙互杈惧埌鏃犵┓澶:1/1 = 1 1/2 = 1/2 >= 1/2 1/3+1/4 >= 1/4+1/4 >=1/2.1/5+1/6+1/7+1/8 >= (1/8)*4 >=1/2..鎵浠: (2^n灏辨槸2鐨刵娆℃柟)S...
绛旓細搴旇鏄浜庝换鎰忕殑G>0锛屽瓨鍦∟=N(G)锛屽綋n>N(G)鏃讹紝S(n)>G銆備护n=2^(k+1)-1锛孲(n)>1+k/2>k/2>G锛宬>2G銆傛墍浠ュ浠绘剰G>0锛屽瓨鍦∟=2^(2G+1)-1锛屽綋n>N鏃讹紝S(n)>G銆
