求f(x)的n阶导数
这个是有规律可循的。阶次用n表示f1(x) = 3(sin^2x)cosx = 3(1-cos^2x)cosx = 3cosx - 3cos^3x
f2(x) = -3sinx + 3^2cos^2x ·sinx = -3sinx + 3^2(1-sin^2x)sinx = -3sinx + 3^2sinx -3^2sin^3x
f3(x) = -3cosx +3^2cosx - 3^3sin^2x·cosx = -3cosx +3^2cosx - 3^3(1-cos^2x)cosx = -3cosx +3^2cosx -3^3cosx + 3^3cos^3x
到此应该能看出规律来了吧。
可以看到，奇数阶次都是cosx，偶数阶次都是sinx，而每一项的符号都是正负相间的，而且第一项的符号是以+ - - +的周期性变化，且前面的项都是一次cosx或sinx，最后一项都是sin^3x或cos^3x，那么我就可以很快的写出
f4(x)=3sinx - 3^2sinx + 3^3sinx - 3^4sinx +3^4sin^3x
通项要分4n+1，4n+2，4n+3，4n+4来讨论
4n+1阶次导数共有4n+2项
f4n+1(x) = 3cosx -3^2cosx + 3^3cosx - 3^4cosx + ... + 3^(4n+1)cosx -3^(4n+1)cos^3x
4n+2阶次导数共有4n+3项
f4n+2(x) = -3sinx + 3^2sinx - 3^3sinx + 3^4sinx - ... + 3^(4n+2)sinx -3^(4n+2)sin^3x
4n+3阶次导数共有4n+4项
f4n+1(x) = -3cosx + 3^2cosx - 3^3cosx + 3^4cosx - ... - 3^(4n+3)cosx + 3^(4n+3)cos^3x
4n+4阶次导数共有4n+5项
f4n+1(x) = 3sinx -3^2sinx + 3^3sinx - 3^4sinx + ... - 3^(4n+4)sinsx + 3^(4n+4)sin^3x
绛旓細鐢卞畾涔,f锛坸锛锛漚rctanx 鐨勯害鍏嬭佹灄鍏紡涓紝x^n鐨勭郴鏁版槸锛歠锛n锛锛0锛 / n!,f锛坣锛夛紙0锛夎〃绀哄湪x锛0澶鐨刵闃跺鏁銆傚彟涓鏂归潰,f ' 锛坸锛夛紳1/锛1锛媥^2锛夛紳鈭戯紙锛1锛塣n脳x^锛2n锛,鎵浠,f锛坸锛夛紳鈭戯紙锛1锛塣n脳x^锛2n锛1锛/ 锛2n锛1锛夋瘮杈冧袱涓〃杈惧紡涓瓁^n鐨勭郴鏁,寰楋細褰搉涓...
绛旓細3銆乫''(x)=(-3+2lnx)/x^3=[(2脳1-1)-2!lnx]/(-x)^3,4銆乫'''(x)=(5-6lnx)/x^4=[(2脳3-1)-3!lnx]/(-x)^4,...,5銆乫^(n)(x)=[(2n-1)-n!lnx]/(-x)^(n+1),y=lnx/x鐨刵闃跺鏁锛
绛旓細f4(x)=3sinx - 3^2sinx + 3^3sinx - 3^4sinx +3^4sin^3x 閫氶」瑕佸垎4n+1锛4n+2锛4n+3锛4n+4鏉ヨ璁 4n+1闃娆瀵兼暟鍏辨湁4n+2椤 f4n+1(x) = 3cosx -3^2cosx + 3^3cosx - 3^4cosx + ... + 3^(4n+1)cosx -3^(4n+1)cos^3x 4n+2闃舵瀵兼暟鍏辨湁4n+3椤 f4n+2(x)...
绛旓細f''(x) =2f(x)f'(x)=2[f(x)]^3 f'''(x) =6[f(x)]^2.f'(x)=6[f(x)]^4 ...f^(n)(x) = n![f(x)]^(n+1)
绛旓細f(x)鏄痭闃跺椤瑰紡,x^n鐨勭郴鏁颁负1,璁緁(x)=x^n+a1x^{n-1}+...+a{n-1}x+an 鍥犳,f(x)鐨刵闃跺鏁绛変簬n!,杩欓噷闄^n涔嬪,鍏朵綑椤姹傚n娆″悗鍙樹负0锛堣繖鏄洜涓烘眰涓娆″鏁板箓鍑芥暟x^a鐨勬鏁板氨闄嶄竴娆)
绛旓細+x^n * f(n)(0)/n!+Rn 鍏朵腑Rn鏄叕寮忕殑浣欓」锛屽嵆楂橀樁鏃犵┓灏忥紝濡備僵浜氳(Peano)浣欓」Rn(x) = o(x^n)绛夎〃绀烘柟娉曪紝 鑰宖(n)(0)鍒欒〃绀f(x)鐨刵闃跺鏁鍦▁=0鏃剁殑鍙栧硷紝 閫氳繃杩欎釜寮忓瓙寰堝鏄撳緱鍒 褰揻(x)=cosx鏃讹紝鍏秐闃跺鏁颁负cos(x+蟺*n/2) 濡傞褰搉鍙栧埌4娆℃椂锛 f(x)=cos0 + cos...
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