为什么实对称矩阵一定可以对角化 实对称矩阵为什么一定可以对角化？
\u4e3a\u4ec0\u4e48\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u4e00\u5b9a\u53ef\u4ee5\u5bf9\u89d2\u5316\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u4e00\u5b9a\u53ef\u4ee5\u5bf9\u89d2\u5316\uff0c\u56e0\u4e3a\u76f8\u4f3c\u5bf9\u89d2\u5316\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662fn\u9636\u65b9\u9635A\u6709n\u4e2a\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\uff0c\u5145\u5206\u6761\u4ef6\u662fA\u6709n\u4e2a\u4e0d\u540c\u7684\u7279\u5f81\u503c\uff0c\u800cn\u4e2a\u4e0d\u540c\u7684\u7279\u5f81\u503c\u4e00\u5b9a\u5bf9\u5e94n\u4e2a\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\uff0c\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635n\u91cd\u7279\u5f81\u503c\u5bf9\u5e94n\u4e2a\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\uff0c\u6240\u4ee5\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u4e00\u5b9a\u53ef\u4ee5\u5bf9\u89d2\u5316\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u7684\u6027\u8d28\uff1a
1\u3001\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635A\u7684\u4e0d\u540c\u7279\u5f81\u503c\u5bf9\u5e94\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u662f\u6b63\u4ea4\u7684\u3002
2\u3001\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635A\u7684\u7279\u5f81\u503c\u90fd\u662f\u5b9e\u6570\uff0c\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u90fd\u662f\u5b9e\u5411\u91cf\u3002
3\u3001n\u9636\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635A\u5fc5\u53ef\u5bf9\u89d2\u5316\uff0c\u4e14\u76f8\u4f3c\u5bf9\u89d2\u9635\u4e0a\u7684\u5143\u7d20\u5373\u4e3a\u77e9\u9635\u672c\u8eab\u7279\u5f81\u503c\u3002
4\u3001\u82e5\u03bb0\u5177\u6709k\u91cd\u7279\u5f81\u503c\uff0c\u5fc5\u6709k\u4e2a\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\uff0c\u6216\u8005\u8bf4\u5fc5\u6709\u79e9r(\u03bb0E-A)=n-k\uff0c\u5176\u4e2dE\u4e3a\u5355\u4f4d\u77e9\u9635\u3002
\u4e0d\u4ec5\u53ef\u4ee5\u5bf9\u89d2\u5316\uff0c\u8fd8\u53ef\u4ee5\u6b63\u4ea4\u5bf9\u89d2\u5316\u3002
\u8bc1\u660e\u5f88\u5bb9\u6613\uff0c\u4efb\u53d6\u4e00\u4e2a\u5355\u4f4d\u7279\u5f81\u5411\u91cfx\u6ee1\u8db3Ax=cx\uff0cx'x=1\uff0c\u628ax\u5f20\u6210\u6b63\u4ea4\u9635Q=[x,*]\uff0c\u90a3\u4e48
Q'AQ=
c 0
0 *
\u5bf9\u53f3\u4e0b\u89d2\u5f52\u7eb3\u5373\u53ef\u3002
设A是一个n阶实对称矩阵，那么可以找到n阶正交矩阵T，使得（T的逆阵）AT为对角矩阵。
证明：当n=1时结论显然成立。现在证明若对n-1阶实对称矩阵成立，则 对n阶实对称矩阵也成立。设シ是A的一个特征值（n阶矩阵一定有n个特征值（计数重复的）），设α是A 的一个特征向量（α是列向量）。（（α的转置）*A）的转置=Aα=シα。因为特征向量的非零倍数仍然是特征向量，所以只要把α的每一个元都除以イ，其中イ的平方=（α的转置）*α，就使得α为单位向量（所谓单位向量就是（α的转置）*α=1）。显然所有的单位向量有无数个，且显然可以找到足够多的列单位向量，使得他们与α的内积为0且他们两两内积等于0，因为正交矩阵的充要条件是列（行）向量两两正交且都是单位向量，又因为对方阵而言若AB=E则BA=E，故可以 以α为第一列人工写出一个正交矩阵Q，（所谓正交矩阵就是（Q的转置）*Q=Q*(Q的转置)=E）。由（（α的转置）*A）的转置=Aα=シα 得（Q的转置）A的第一行是（シα）的转置，于是 （Q的转置）AQ的第1行第1列处是シ（α的转置）α= シ，还可以推出（Q的转置）AQ的第一列除了第一行以外都是0（至于这是为啥实在不方便打字，读者可以自己算一下，提示一下 设t是Q的元，tij*t+t..*t..+t..*t..+t..*t..时若每一项的角标都不完全一样，那么这些加起来就是0）。因为Q是正交矩阵，（（Q的逆阵）AQ）的转置=（Q的转置）（A的转置）（Q的逆阵的转置）=（Q的逆阵）AQ，所以（Q的逆阵）AQ也是对称矩阵，所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大块矩阵还是一个对称矩阵，所以最后可以反复进行这个过程整成对角矩阵。证毕
然而正交矩阵一定是可逆矩阵，对方阵而言可逆等价于满秩，乘以一个方阵满秩方阵以后秩不变，这就证明了你的实对称矩阵一定可以相似对角化
直接证明更强的结论：Hermite矩阵可以酉对角化
如果A是Hermite阵，取A的一个单位特征向量x，张成一个酉阵Q=[x,*]
那么Q^HAQ具有分块结构
λ 0
0 B
对B用归纳假设就行了
绛旓細鍥犱负瀹為檯涓婂绉扮煩闃电浉浼间簬鐢卞叾鐗瑰緛鍊兼瀯鎴愮殑瀵硅鐭╅樀锛屾墍浠瀹炲绉扮煩闃鐨勭壒寰佸肩浉鍚屾椂,瀹冧滑鐩镐技浜庡悓涓涓瑙掔煩闃碉紝鐢辩浉浼肩殑浼犻掓х煡瀹冧滑鐩镐技锛屼竴鑸煩闃典笉涓瀹鍙瑙掑寲銆備絾褰撹繖涓や釜鐭╅樀鏄疄瀵圭О鐭╅樀鏃讹紝 鏈夌浉鍚岀殑鐗瑰緛鍊煎繀鐩镐技锛屾瘮濡傚綋鐭╅樀A涓嶣鐨勭壒寰佸肩浉鍚岋紝A鍙瑙掑寲锛屼絾B涓鍙互瀵硅鍖鏃讹紝A鍜孊灏变笉鐩镐技...
绛旓細瀹炲绉扮煩闃典竴瀹氬彲浠ュ瑙掑寲锛鍥犱负鐩镐技瀵硅鍖栫殑鍏呰鏉′欢鏄痭闃舵柟闃礎鏈塶涓嚎鎬ф棤鍏崇殑鐗瑰緛鍚戦噺锛屽厖鍒嗘潯浠舵槸A鏈塶涓笉鍚岀殑鐗瑰緛鍊锛岃宯涓笉鍚岀殑鐗瑰緛鍊间竴瀹氬搴攏涓嚎鎬ф棤鍏崇殑鐗瑰緛鍚戦噺锛屽疄瀵圭О鐭╅樀n閲嶇壒寰佸煎搴攏涓嚎鎬ф棤鍏崇殑鐗瑰緛鍚戦噺锛屾墍浠ュ疄瀵圭О鐭╅樀涓瀹氬彲浠ュ瑙掑寲銆
绛旓細瀹炲绉闃电殑鐗瑰緛鍊奸兘鏄疄鏁帮紝鎵浠闃堕樀鍦ㄥ疄鏁板煙涓氨鏈塶涓壒寰佸硷紙鍖呮嫭閲嶆暟锛夛紝骞朵笖瀹炲绉伴樀鐨勬瘡涓壒寰佸肩殑閲嶆暟鍜屽睘浜庡畠鐨勬棤鍏崇殑鐗瑰緛鍚戦噺鐨勪釜鏁版槸涓鏍风殑锛屼粠鑰宯闃鐭╅樀鍏辨湁n涓棤鍏崇壒寰佸悜閲忥紝鎵浠ュ彲瀵硅鍖銆傜煩闃碉紝鏁板鏈銆傚湪鏁板涓紝鐭╅樀锛圡atrix锛夋槸涓涓寜鐓ч暱鏂归樀鍒楁帓鍒楃殑澶嶆暟鎴栧疄鏁伴泦鍚堬紝鏈鏃╂潵鑷簬...
绛旓細杞崲鐭╅樀鏄浜ょ煩闃典笉浠ｈ〃琚浆鎹鐭╅樀涓瀹鏄瀹炲绉扮煩闃 鍙嶈繃鏉 瀹炲绉扮煩闃电殑鐩镐技瀵硅鍖涔熶笉涓瀹氶潪瑕佹浜ょ煩闃点傚浜庡疄瀵圭О鐭╅樀锛屾眰瑙ｅ叾鐗瑰緛鍊肩殑甯哥敤鎶宸ф槸浣跨敤鐗瑰緛鍊煎垎瑙ｆ垨绉颁负璋卞垎瑙ｏ紝鐢ㄤ簬姹傝В鐗瑰緛鍊肩殑鍏蜂綋姝ラ鍜屾妧宸у涓嬶細1銆侀鍏堬紝纭繚缁欏畾鐭╅樀鏄疄瀵圭О鐭╅樀銆傚疄瀵圭О鐭╅樀婊¤冻鐭╅樀鐨勮浆缃瓑浜庣煩闃垫湰韬2銆佷娇鐢...
绛旓細涓嶄竴瀹銆傚疄瀵圭О鐭╅樀涓瀹氬彲瀵硅鍖栵紝涓斿彲姝ｄ氦瀵硅鍖栵紝鍏堟眰鐗瑰緛鍊硷紝濡傛灉娌℃湁鐩搁噸鐨勭壒寰佸硷紝鎵鏈夌壒寰佹牴閮戒笉鐩哥瓑锛岄偅涔堝彲浠ュ瑙掑寲銆傚鏋滄湁鐩搁噸鐨勭壒寰佸嘉籯銆傚叾閲嶆暟涓簁锛岄偅涔堥氳繃瑙ｆ柟绋嬶紙位kE-A锛塜=0寰楀埌鐨勫熀纭瑙ｇ郴涓殑瑙ｅ悜閲忚嫢涔熶负k涓紝鍒橝鍙瑙掑寲锛岃嫢灏忎簬k锛屽垯A涓嶅彲瀵硅鍖栥
绛旓細鏍规嵁姝ｄ氦瀵硅鍖鐨勫畾涔夛紝鍙互灏嗗疄瀵圭О鐭╅樀閫氳繃涓涓浜ょ煩闃电浉浼煎彉鎹紝寰楀埌涓涓瀵硅鐭╅樀锛岃繖涓浜ょ煩闃电殑鍒楀氨鏄疄瀵圭О鐭╅樀鐨勭壒寰佸悜閲忥紝鑰屽瑙掔煩闃电殑瀵硅鍏冨氨鏄疄瀵圭О鐭╅樀鐨勭壒寰佸硷紝鍥犳瀹炲绉扮煩闃典竴瀹氬彲浠閫氳繃姝ｄ氦瀵硅鍖栧緱鍒颁竴涓瑙掔煩闃碉紝鑰屼笖杩欎釜瀵硅鐭╅樀鐨勫瑙掑厓灏辨槸瀹炲绉扮煩闃电殑鐗瑰緛鍊笺
绛旓細绾犳涓涓嬶紝瀹炲绉扮煩闃鐗瑰緛鍊煎湪瀵硅鍖栦箣鍚庣殑瀵硅绾夸笂锛屼篃灏辨槸闇瑕佸瑙掑寲涓涓嬫墠鎴愮珛锛堝瑙掑寲灏辨槸鐩镐技鐭╅樀锛岀浉浼肩煩闃电壒寰佸肩浉鍚岋級锛屼笉鐒跺氨璺熸ゼ涓嬭鐨勪竴鏍凤紝鍙槸鏂归樀鐨勫瑙掔嚎涔嬪拰绛変簬鐗瑰緛鍊间箣鍜岋紱鐭╅樀涓嶄竴瀹氶兘鍙互瀵硅鍖栦絾鏄瀵圭О鐭╅樀涓瀹氬彲浠ュ瑙掑寲锛屽瑙掑寲鍚庡瑙掔嚎鐨勫煎氨鏄壒寰佸笺
绛旓細璇ョ煩闃典笉涓瀹姝ｄ氦瀵硅鍖銆瀹炲绉扮煩闃靛彲浠鐩存帴鐢ㄤ竴鑸煩闃电殑鏂规硶姹傚叾瀵硅闃碉紝鍗冲彲浠ヤ笉鐢ㄦ浜ゅ崟浣嶅寲锛岀洿鎺ョ敤p閫咥p=A鐨勫瑙掗樀鏉ュ仛锛岀敤姝ｄ氦闃垫潵瀵硅鍖栧氨鏄崟绾负浜嗕綋鐜拌繖涓柟娉曡屽凡銆傚彲姝ｄ氦瀵硅鍖栫殑鍏呭垎鏉′欢鏄疉鏄疄瀵圭О鐭╅樀锛屽嵆鑻鏄疄瀵圭О鐭╅樀鍒橝蹇呭彲姝ｄ氦瀵硅鍖栥傛瘮濡傛浜ゅ崟浣嶅寲鍚庯紝瑕佹眰p閫嗗彧闇瑕佸皢p杞疆...
绛旓細A鏈塶涓嚎鎬ф棤鍏崇殑鐗瑰緛鍚戦噺锛堟敞锛氬嵆瑕佹眰k閲嶇壒寰佸兼湁k涓嚎鎬ф棤鍏宠В锛変箣鎵浠ヨ瀹炲绉扮煩闃典竴瀹氬彲浠鐩镐技瀵硅鍖鎭版伆灏辨槸鍥犱负瀹冩弧瓒冲彲鐩镐技瀵硅鍖栫殑鍏呭垎蹇呰鏉′欢 锛堜笉鍚岀壒寰佸煎繀绾挎ф棤鍏筹紝k閲嶇壒寰佸兼湁k涓嚎鎬ф棤鍏宠В)鑰屾弧瓒冲瑙掑寲鍏呭垎蹇呰鏉′欢鐨勭粷瀵逛笉浠呬粎鏄疄瀵圭О鐭╅樀锛屽緢澶氶兘鍙互锛屼綘鍙鎯冲嚭涓涓壒寰佸间笉...
绛旓細瀵逛簬n闃瀹炲绉扮煩闃Q锛岃浠ュ畠鐨刱涓嚎鎬ф棤鍏崇殑鐗瑰緛鍚戦噺涓哄垪鏋勬垚鐨勭煩闃典负U锛圲鏄痭琛宬鍒楋級涓嬭瘉鏄庯紝濡傛灉k<n锛屾诲彲浠ユ壘鍒颁竴涓柊鐨勭壒寰佸悜閲忥紝杩欐牱鍙互涓嶆柇娣诲姞鐩村埌鎵惧埌Q鐨刵涓嚎鎬ф棤鍏崇壒寰佸悜閲 灏哢琛ュ叏涓轰竴涓猲闃舵浜ゆ柟闃礟=[U V]锛屽垯V鏄痭琛宯-k鍒楋紝涓旀湁U^TV=0鍜孷^TQU=V^T[t1*u1...tk*uk]...
