高等数学，如何利用函数奇偶性计算这个定积分呢？ 大一高数定积分 利用函数的奇偶性计算下列定积分
\u9ad8\u6570\uff0c\u8fd0\u7528\u51fd\u6570\u7684\u5947\u5076\u6027\u8ba1\u7b97\u5b9a\u79ef\u5206\u8ddf\u5b9a\u79ef\u5206\u539f\u7406\u4e00\u6837
\u5728[-a,a]\u4e0a
\u82e5f(x)\u4e3a\u5947\u51fd\u6570\uff0cf(-x)=-f(x)
\u222b(-a,a) f(x) dx\uff0c\u4ee4x=-u
=\u222b(a,-a) f(-u)*(-du)
=\u222b(-a,a) f(-u) du
=\u222b(-a,a) -f(u) du
=-\u222b(-a,a) f(x) dx\uff0c\u79fb\u9879\u5f97
\u222b(-a,a) f(x) dx=0
\u540c\u7406\u222b(-a,a) f(x) dx = 2\u222b(0,a) f(x) dx\u82e5f(x)\u4e3a\u5076\u51fd\u6570
\u81f3\u4e8e\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206
\u82e5D\u5173\u4e8ex\u8f74\u548cy\u8f74\u90fd\u662f\u5bf9\u79f0\u7684
\u800c\u4e14\u88ab\u79ef\u51fd\u6570\u662f\u5173\u4e8ex\u6216y\u662f\u5947\u51fd\u6570\u7684\u8bdd\uff0c\u7ed3\u679c\u4e00\u6837\u662f0
\u4f8b\u5982D\u4e3ax^2+y^2=1
\u5219x\uff0cx^3\uff0cxy\uff0cxy^3\uff0cy^5\uff0cx^3y^3\u7b49\u7b49\u7684\u7ed3\u679c\u90fd\u662f0
\u4e0d\u8981\u4ee5\u4e3axy\u548cx^3y^3\u662f\u5076\u51fd\u6570\uff0c\u5947\u5076\u6027\u662f\u5bf9\u5355\u4e00\u81ea\u53d8\u91cf\u6709\u6548\u7684
\u8ba1\u7b97x\u65f6\u628ay\u5f53\u4f5c\u5e38\u6570\uff0c\u6240\u4ee5\u5bf9x\u7684\u79ef\u5206\u7ed3\u679c\u662f0\u65f6\uff0c\u518d\u6ca1\u5fc5\u8981\u5bf9y\u79ef\u5206\u4e86
\uff081\uff09\u2235\u66f2\u7ebfC1\u7684\u6781\u5750\u6807\u65b9\u7a0b\u4e3a\u03c1\uff082cos\u03b8+5sin\u03b8\uff09-4=0\uff0c\u53732\u03c1cos\u03b8+5\u03c1sin\u03b8-4=0\uff0c
\u2234\u66f2\u7ebfC1\u7684\u666e\u901a\u65b9\u7a0b\u4e3a2x+5y-4=0\uff0c
\u2235\u66f2\u7ebfC2\u7684\u53c2\u6570\u65b9\u7a0b\u4e3a
x\uff1d2cos\u03b8y\uff1d2sin\u03b8
\uff08\u03b8\u4e3a\u53c2\u6570\uff09\uff0c
\u2234\u66f2\u7ebfC2\u7684\u666e\u901a\u65b9\u7a0b\u4e3ax2+y2=4\uff0c
\u6545\u66f2\u7ebfC1\u548c\u66f2\u7ebfC2\u7684\u666e\u901a\u65b9\u7a0b\u5206\u522b\u4e3a2x+5y-4=0\uff0cx2+y2=4\uff1b
\uff082\uff09\u7531\uff081\uff09\u53ef\u77e5\uff0c\u66f2\u7ebfC1\u662f\u65b9\u7a0b\u4e3a2x+5y-4=0\u7684\u76f4\u7ebf\uff0c\u66f2\u7ebfC2\u662f\u65b9\u7a0b\u4e3ax2+y2=4\u7684\u5706\uff0c
\u66f2\u7ebfC2\u7684\u5706\u5fc3\u662f\uff080\uff0c0\uff09\uff0c\u534a\u5f84\u662fr=2\uff0c
=∫(-a,a) (a^2+2x√(a^2-x^2)dx
因为2x√(a^2-x^2)是关于x的奇函数，同时积分区间是对称区间，所以
∫(-a,a) 2x√(a^2-x^2)dx=0
所以原积分=
∫(-a,a) a^2)dx=2a^3
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