有界函数的定义是什么？
简单分析一下，答案如图所示
值域是有限区间的函数，是有界函数。值域是无限区间的函数是无界函数。
例如，正弦函数y=sinx，对任意x∈(-∞，+∞)，|sinx|≤1恒成立，所以y=sinx是R上的有界函数。
有的函数在定义域的部分区间上可能是有界的.
例如，一次函数y=2x+1，定义域(-∞，+∞)，值域(-∞，+∞).它在定义域(-∞，+∞)上是无界的. 但是它在区间（-1，2）上，值域（-1，5），它是有界的. 事实上，它在定义域的任意的真子集上都是有界的.
有的函数在定义域的部分区间上可能是无界的.
例如，反比例函数y=1/x，定义域(-∞，0)∪(0，+∞)，值域(-∞，0)∪(0，+∞).它在定义域(-∞，0)∪(0，+∞)上是无界的.它在区间（0，1）内，值域（1，+∞），它是无界的. 当然，它在区间（1，+∞）内，值域（0，1），它是有界的.
绛旓細鍦ㄦ暟瀛︿腑锛鏈夌晫鍑芥暟鏄寚鍦ㄥ叾瀹氫箟鍩熷唴锛屽嚱鏁扮殑鍊煎缁堣涓や釜纭畾鐨勫父鏁版墍闄愬埗鐨勫嚱鏁銆傚叿浣撴潵璇达紝瀛樺湪涓涓鏁癕鍜屼竴涓礋鏁癿锛屼娇寰楀嚱鏁板糵濮嬬粓婊¤冻m 鈮 f 鈮 M銆傝繖鏍风殑鍑芥暟琚О涓烘湁鐣屽嚱鏁般傝缁嗚В閲婂涓嬶細棣栧厛锛屾湁鐣屽嚱鏁版槸涓绉嶇壒娈婄殑鍑芥暟鎬ц川銆傚湪鍑芥暟鐨勫畾涔夊煙鍐咃紝鏃犺杈撳叆鍊煎浣曞彉鍖栵紝鍏惰緭鍑哄奸兘琚檺瀹...
绛旓細鏈夌晫鍑芥暟鏄f(x)鏄尯闂碋涓婄殑鍑芥暟锛岃嫢瀵逛簬浠绘剰鐨剎灞炰簬E锛屽瓨鍦ㄥ父鏁癿銆丮锛屼娇寰梞鈮(x)鈮锛屽垯绉癴(x)鏄尯闂碋涓婄殑鏈夌晫鍑芥暟銆傚叾涓璵绉颁负f(x)鍦ㄥ尯闂碋涓婄殑涓嬬晫锛孧绉颁负f(x)鍦ㄥ尯闂碋涓婄殑涓婄晫銆傛湁鐣屽嚱鏁扮殑瀹氫箟 璁惧嚱鏁癴(x)鐨勫畾涔夊煙涓篋锛宖锛坸锛夐泦鍚圖涓婃湁瀹氫箟銆傚鏋滃瓨鍦ㄦ暟K1锛屼娇寰 f(x)鈮1...
绛旓細鏈夌晫鍑芥暟鐨勫畾涔夊涓嬶細鑻ュ瓨鍦ㄤ袱涓父鏁癿鍜孧锛屼娇鍑芥暟y=f(x),x鈭圖婊¤冻m鈮(x)鈮,x鈭圖锛屽垯绉板嚱鏁皔=f(x)鍦―鏈夌晫锛屽叾涓璵鏄畠鐨勪笅鐣岋紝M鏄畠鐨勪笂鐣屻傚嚱鏁扮殑鏈夌晫鎬ф槸鏁板鏈銆傝鍑芥暟f(x)鐨勫畾涔夊煙涓篋锛宖锛坸锛夊湪闆嗗悎D涓婃湁瀹氫箟銆傚鏋滃瓨鍦ㄦ暟K1锛屼娇寰梖(x)鈮1瀵逛换鎰弜鈭圖閮芥垚绔嬶紝鍒欑О鍑芥暟f(x...
绛旓細鏍规嵁瀹氫箟锛鍙湁鏃㈡湁涓婄晫鍙堟湁涓嬬晫鐨勫嚱鏁帮紝鎵嶆湁璧勬牸绉颁负鏈夌晫鍑芥暟銆傚悓鏍锋牴鎹畾涔夛紝鎵鏈夋湁鐣屽嚱鏁帮紝蹇呯劧鏃㈡湁涓婄晫鍙堟湁涓嬬晫銆傛湁鐣屽嚱鏁板苟涓嶄竴瀹氭槸杩炵画鐨勩傛牴鎹畾涔夛紝ƒ鍦―涓婃湁涓婏紙涓嬶級鐣岋紝鍒欐剰鍛崇潃鍊煎煙ƒ(D)鏄竴涓湁涓婏紙涓嬶級鐣岀殑鏁伴泦銆傛牴鎹‘鐣屽師鐞嗭紝ƒ鍦ㄥ畾涔夊煙涓婃湁涓婏紙涓嬶級纭晫銆備竴涓壒渚...
绛旓細鏈夌晫鍑芥暟鏄寚鍦ㄥ叾瀹氫箟鍩熷唴锛屽嚱鏁扮殑鍊煎缁堣涓や釜甯告暟鎵闄愬埗鐨勫嚱鏁銆傝缁嗚В閲婂涓嬶細瀹氫箟鍩熷唴鐨勯檺鍒 鏈夌晫鍑芥暟鍦ㄥ叾瀹氫箟鍩熷唴鏈変竴涓槑鏄剧殑鐗规э紝鍗冲嚱鏁扮殑鍊煎缁堝湪涓瀹氱殑鑼冨洿鍐呮尝鍔紝涓嶄細瓒呭嚭杩欎釜鑼冨洿銆傝繖涓寖鍥村彲浠ョ悊瑙ｄ负涓や釜甯告暟鎵褰㈡垚鐨勫尯闂淬傛棤璁哄嚱鏁扮殑杈撳叆鍊煎浣曞彉鍖栵紝鍏惰緭鍑哄煎缁堣惤鍦ㄨ繖涓尯闂村唴銆傝繖绉...
绛旓細甯歌鐨鏈夌晫鍑芥暟鏈夛細y=sin锛坸锛 鍏朵腑锛岃鍑芥暟鐨涓婄晫鏄1锛屼笅鐣屾槸-1銆倅=cos锛坸锛夊叾涓紝璇ュ嚱鏁扮殑涓婄晫鏄1锛屼笅鐣屾槸-1銆倅=arctan锛坸锛夊叾涓紝璇ュ嚱鏁扮殑涓婄晫鏄痯i/2锛屼笅鐣屾槸-pi/2銆倅=x锛0<=x<=5锛夊叾涓紝璇ュ嚱鏁扮殑涓婄晫鏄5锛屼笅鐣屾槸0銆倅=4sin锛坸锛 鍏朵腑锛岃鍑芥暟鐨勪笂鐣屾槸4锛屼笅鐣屾槸-4銆倅=sin锛坸...
绛旓細鏈夌晫鍑芥暟鏄寚鍙栧艰寖鍥存湁闄愮殑鍑芥暟銆傚叿浣撹岃█锛岃嫢瀛樺湪甯告暟 $M$锛屼娇寰楀浜庤鍑芥暟鐨勬墍鏈夎緭鍏 $x$锛岄兘鏈 $|f(x)|le M$锛屽垯绉拌鍑芥暟涓烘湁鐣屽嚱鏁般傛湁鐣屽嚱鏁板湪鍒嗘瀽瀛︺佹嫇鎵戝銆佸疄鍙樺嚱鏁扮瓑鏁板棰嗗煙涓兘鏈夊箍娉涚殑搴旂敤銆鏈夌晫鍑芥暟鐨涓涓噸瑕佹ц川鏄叾鍙互琚Н鍒嗐傝繖鏄洜涓烘湁鐣屽嚱鏁板湪鍏瀹氫箟鍩熷唴鐨勫彇鍊艰寖鍥存槸鏈夐檺鐨...
绛旓細鍦ㄦ暟瀛︿腑锛鏈夌晫鍑芥暟鎸囩殑鏄嚱鏁扮殑鍊煎煙锛瀹氫箟鍩熶腑鍑芥暟鍙栧緱鎵鏈夊彲鑳藉肩殑闆嗗悎锛夎涓涓尯闂达紙绉颁负鍑芥暟鐨勬湁鐣屽尯闂达級鎵鍖呭惈銆備篃灏辨槸璇达紝濡傛灉涓涓嚱鏁扮殑鍊煎煙琚竴涓湁闄愮殑鍖洪棿鎵鍖呭惈锛岄偅涔堝畠灏辨槸鏈夌晫鐨勩備緥濡傦紝鍑芥暟 f(x) = x^2 鍦ㄥ疄鏁拌酱涓婃槸鏈夌晫鐨勶紝鍥犱负瀹冪殑鍊煎煙鍦 [0, +鈭) 鍖洪棿鍐呫傛湁鏈鍊肩殑鏈夌晫...
绛旓細鏈夌晫鍑芥暟鏄f(x)鏄尯闂碋涓婄殑鍑芥暟锛岃嫢瀵逛簬浠绘剰鐨剎灞炰簬E锛屽瓨鍦ㄥ父鏁癿銆丮锛屼娇寰梞鈮(x)鈮锛屽垯绉癴(x)鏄尯闂碋涓婄殑鏈夌晫鍑芥暟銆傚叾涓璵绉颁负f(x)鍦ㄥ尯闂碋涓婄殑涓嬬晫锛孧绉颁负f(x)鍦ㄥ尯闂碋涓婄殑涓婄晫銆鏈夌晫鍑芥暟鐨鐗圭偣锛氭湁鐣屽嚱鏁板苟涓嶄竴瀹氭槸杩炵画鐨勶紝鏍规嵁瀹氫箟锛ƒ鍦―涓婃湁涓婏紙涓嬶級鐣岋紝鍒欐剰鍛崇潃鍊煎煙&#...
绛旓細鏈夌晫鍑芥暟鏄鎸囧湪鍏瀹氫箟鍩熷唴瀛樺湪涓涓父鏁癕锛屼娇寰鍑芥暟鐨鍊煎缁堝湪[-M, M]鐨勯棴鍖洪棿鍐呫傛崲鍙ヨ瘽璇达紝涓涓嚱鏁版槸鏈夌晫鐨勶紝褰撲笖浠呭綋鍏跺嚱鏁板间笉浼氭棤闄愬澶ф垨鍑忓皬锛岃屾槸淇濇寔鍦ㄦ煇涓壒瀹氱殑鑼冨洿鍐呫備緥濡傦紝鍑芥暟f(x) = sin(x)鍦ㄥ叾瀹氫箟鍩熷唴鏄湁鐣岀殑锛屽洜涓簊in(x)鐨勬渶澶у兼槸1锛屾渶灏忓兼槸-1锛屾墍浠(x)鐨勫...
