证明级数∑(n=1,∞) (-1)^(n-1)[2+(-1)^n]/(n^2)的收敛性，若是收敛，是绝对收敛还是条件收敛。 判定级数∑(n=1,∞)（-1）n（n+1）！/n^n-1是...

\u5224\u65ad\u7ea7\u6570\u2211(n=1,\u221e)n\uff3e(n+1/n)/(n+1/n)\uff3en\u7684\u655b\u6563\u6027\uff1f

limit{n->\u221e}(n^(n+1/n))/((n+1/n)^n)
=limit{n->\u221e}[n/(n+1/n)]^n*n*(1/n)
=limit{n->\u221e}[1/(1+1/n^2)]^n*limit{n->\u221e}n*(1/n)
=1/limit{n->\u221e}ln[n*ln(1+1/n^2)]*limit{n->\u221e}ln[(1/n)*lnn]
=1/limit{n->\u221e}ln(n*1/n^2)*limit{n->\u221e}ln(1/n)
=1/ln(0)*ln(0)
=1 \u4e0d\u7b49\u4e8e0
\u7ea7\u6570\u53d1\u6563

\u9898\u76ee\u4e0d\u660e\u786e\uff0c\u5e94\u4e3a \u2211 (-1)^n [(n+1)!/n^(n-1)] \u5427\uff01
\u03c1 = lim|a/a|
= lim(n+2)! n^(n-1)/[(n+1)^n (n+1)!]
= lim(n+2) n^(n-1)/[(n+1)^n ]
= lim(n+2)/(n+1) lim[n/(n+1)]^(n-1)
= 1* lim{[1-1/(n+1)]^[-(n+1)]}^[-(n-1)/(n+1)]
= e^lim -(n-1)/(n+1) = e^lim -(1-1/n)/(1+1/n) = 1/e < 1.
\u539f\u7ea7\u6570\u7edd\u5bf9\u6536\u655b\u3002

其对应的正项级数
∑(n=1,∞) [2+(-1)^n]/(n^2) < ∑(n=1,∞) 3/(n^2) = 3∑(n=1,∞) 1/(n^2)
3∑(n=1,∞) 1/(n^2) 收敛， 则 ∑(n=1,∞) [2+(-1)^n]/(n^2) 收敛，
∑(n=1,∞) (-1)^(n-1)[2+(-1)^n]/(n^2) 必收敛， 即绝对收敛。

|un|<3/n^2，而∑3/n^2 收敛，
所以原级数绝对收敛。

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