如何在线性代数中求出正交矩阵？
在线性代数中，正交矩阵是指其列向量组成的矩阵中的每个列向量互相正交，并且每个列向量的模长为1。因此，求解正交矩阵的方法如下：
首先，选择一个线性无关的向量组成矩阵A，即A的列向量线性无关。这些列向量可以是随机的，也可以是基于特定问题的选择。
对矩阵A进行QR分解，将A分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积，即A=QR。QR分解的算法有多种，包括Gram-Schmidt算法、Householder变换和Givens旋转等。其中，Gram-Schmidt算法是最简单的方法之一，但是可能会导致数值稳定性问题。而Householder变换和Givens旋转算法则相对更为稳定。
通过Q矩阵得到正交矩阵O。因为Q矩阵是正交矩阵，所以将它的每个列向量除以其模长即可得到正交矩阵O。即：
O = Q / ||Q||
其中，||Q||表示Q矩阵的模长，即矩阵的每个列向量模长的平方和的平方根。
通过以上方法，我们可以得到一个正交矩阵O。需要注意的是，正交矩阵不一定是唯一的，因为存在多个正交矩阵可以满足同样的要求。
正交基的求法比较固定，就是施密特正交化的过程。
将基a1=(1,1,1) a2=(0,1,1) a3=(0,0,1)化成标准正交基。
ab如果垂直，则a点乘b等于0，因此可以这样正交化
a1不变，a2' = a2-a1(a1 .a2)/|a1|^2，这样a2' .a1 = a2 .a1 - (a2.a1)a1.a1
a3 = a3 - a1(a1 .a3)/|a1|^2 - a2'(a2' .a3)/|a2|^2
带入运算即可。
扩展资料：
对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。
矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。
矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。
解线性方程组的克拉默法则。
参考资料来源：百度百科-线性代数
最标准的方法就是施密特正交化，这个关键字搜索百度百科，有具体步骤
绛旓細棣栧厛锛岄夋嫨涓涓嚎鎬ф棤鍏崇殑鍚戦噺缁勬垚鐭╅樀A锛屽嵆A鐨勫垪鍚戦噺绾挎ф棤鍏銆傝繖浜涘垪鍚戦噺鍙互鏄殢鏈虹殑锛屼篃鍙互鏄熀浜庣壒瀹氶棶棰樼殑閫夋嫨銆傚鐭╅樀A杩涜QR鍒嗚В锛屽皢A鍒嗚В涓烘浜ょ煩闃礠鍜屼笂涓夎鐭╅樀R鐨勪箻绉紝鍗矨=QR銆俀R鍒嗚В鐨勭畻娉曟湁澶氱锛屽寘鎷珿ram-Schmidt绠楁硶銆丠ouseholder鍙樻崲鍜孏ivens鏃嬭浆绛夈傚叾涓紝Gram-Schmidt绠楁硶鏄渶绠鍗...
绛旓細鍒欏皢A鐨勬瘡涓鍒楅兘鍗曚綅鍖栵紙姣忎竴鍒楅兘闄や互鏍瑰彿4锛屽嵆2锛夛紝寰楀埌鐨勭煩闃垫槸姝ｄ氦鐭╅樀 鍗(A/2)^-1=(A/2)T 鍥犳2A^-1=(A/2)T 2A^-1=A/2 A^-1=A/4
绛旓細A^锛-1锛変负A鐨勯嗙煩闃碉紝涔熷氨鏄姝ｄ氦鐭╅樀鏈韩蹇呯劧鏄彲閫嗙煩闃 鍗宠嫢A鏄浜ょ煩闃靛垯A鐨刵涓锛堝垪)鍚戦噺鏄痭缁村悜閲忕┖闂寸殑涓缁勬爣鍑嗘浜ゅ熀銆愬嵆绾挎涓嶇浉鍏炽
绛旓細鍦ㄧ嚎鎬т唬鏁颁腑锛屼笁闃姝ｄ氦鐭╅樀鏄寚涓涓3x3鐨勭煩闃碉紝鍏惰鍚戦噺鍜屽垪鍚戦噺閮芥槸鍗曚綅闀垮害涓旂浉浜掓浜ゃ傝绠椾笁闃舵浜ょ煩闃电殑鍊奸渶瑕侀伒寰互涓嬫楠わ細1.纭畾鐭╅樀鐨勭淮搴︼細棣栧厛锛屾垜浠渶瑕佺煡閬撹璁＄畻鐨勭煩闃垫槸涓涓3x3鐨勭煩闃点傝繖鏄洜涓烘浜ょ煩闃电殑瀹氫箟鍙傜敤浜庢柟闃点2.纭畾鐭╅樀鐨勫厓绱狅細瀵逛簬涓涓笁闃舵浜ょ煩闃碉紝鍏跺厓绱犲彲浠ユ槸浠绘剰瀹...
绛旓細宸茬粡瑙ｅ喅锛屾椂闂村緢涔呭繕璁颁簡銆 鏄細涓や釜鐨勫唴绉嵆锛氬悜閲忕殑鐐圭Н锛堟暟閲忕Н锛夛紱鐩存帴浣跨敤瀵瑰簲x,y,x鏉ョ浉涔.
绛旓細绗笁鍒楃殑妯′负c^2+1/4锛=1璇存槑绗笁鍒楁槸鍗曚綅鍚戦噺銆傜涓鍒楀拰绗笁鍒楀仛鍐呯Н=0锛岃鏄庣涓鍒楀拰绗笁鍒楁浜わ紝绗竴鍒楀拰绗簩鍒楁浜ゆ樉鐒讹紝绗笁鍒楀拰绗簩鍒楁浜ゆ樉鐒讹紝绗簩鍒楁槸鍗曚綅鍚戦噺鏄剧劧銆傝繖灏辨槸A鏄姝ｄ氦鐭╅樀鎵瑕佹弧瓒崇殑鏉′欢锛氫粬鐨勫垪鍚戦噺鏄袱涓ゆ浜ょ殑鍗曚綅鍚戦噺缁勩傚綋鐒讹細鐩存帴AA^T=E锛屾瘮杈冨厓绱犱篃琛 ...
绛旓細宸茬粡瑙ｅ喅锛屾椂闂村緢涔呭繕璁颁簡銆 鏄細涓や釜鐨勫唴绉嵆锛氬悜閲忕殑鐐圭Н锛堟暟閲忕Н锛夛紱鐩存帴浣跨敤瀵瑰簲x,y,x鏉ョ浉涔.
绛旓細鎶婄壒寰佸姹傚嚭鏉锛岀劧鍚庡啀姹傜壒寰佸悜閲忥紝鍏蜂綋鍋氭硶鍙互鐪嬪浘鐗囩殑銆
绛旓細涓夐樁姝ｄ氦鐭╅樀鏄绾挎т唬鏁颁腑鐨勪竴涓噸瑕佹蹇碉紝瀹冨湪淇″彿澶勭悊銆佸浘鍍忓鐞嗐佹暟鎹帇缂╃瓑棰嗗煙鏈夌潃骞挎硾鐨勫簲鐢ㄣ傛眰瑙ｄ笁闃舵浜ょ煩闃电殑鏂规硶鏈夊緢澶氾紝浠ヤ笅鏄竴浜涘父瑙佺殑鏂规硶锛1.Gram-Schmidt姝ｄ氦鍖栬繃绋嬶細杩欐槸鏈甯哥敤鐨勪竴绉嶆柟娉曪紝閫氳繃Gram-Schmidt姝ｄ氦鍖栬繃绋嬪彲浠ュ皢涓缁勭嚎鎬ф棤鍏崇殑鍚戦噺姝ｄ氦鍖栧苟鍗曚綅鍖栵紝寰楀埌涓涓浜ょ煩闃点傝繖绉...
绛旓細姝ｄ氦鏄绾挎т唬鏁鐨勬蹇碉紝鏄瀭鐩磋繖涓鐩磋姒傚康鐨勬帹骞裤傝屾浜ゅ叧绯诲線寰鏄寚鍚戦噺涔嬮棿鎴栬鐭╅樀鎵т箣闂寸殑鍏崇郴銆傛浜ゅ叧绯(orthogonality relation)鐗瑰緛鏍囨弧瓒崇殑涓绫绘亽绛夊紡.璁綢rr<c>={x;xz}...,x.,}鏄痗鐨勫叏浣撲笉鍙害澶嶇壒寰佹爣锛寎g},}2}...,g‑}鏄疓鐨勫叡鎵肩被浠ｈ〃绯.涓嬮潰鐨勭瓑寮忕О涓虹壒寰佹爣鐨勬浜ゅ叧绯:...
